Все выпуски  

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров
Статус: Профессор
Рейтинг: 537
∙ повысить рейтинг »
epimkin
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 255
∙ повысить рейтинг »
CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 40
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2628
Дата выхода:07.02.2020, 10:46
Администратор рассылки:Гордиенко Андрей Владимирович (Специалист)
Подписчиков / экспертов:119 / 107
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 197661: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Помогите решить задачу, пожалуйста!...

Консультация # 197661:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Помогите решить задачу, пожалуйста!

Дата отправки: 28.01.2020, 10:02
Вопрос задал: nata (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, nata!
Дано: Функция F(x,y,z) = 1 / (9·x + 2·y + 6·z + 1)3
Область интегрирования ограничена поверхностями : V : x1 = 0 , y1 = 0 , z1 = 0 , y2 = 2 , x + z = 5 .
Вычислить тройной интеграл I = V∫∫∫F(x,y,z)dxdydz
Решение : Решаем задачу по методике, описанной в учебной статье "Тройные интегралы. Вычисление объёма тела" mathprofi.ru/troinye_integraly.html
Сначала изобразим ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY .
Рассмотрим поверхности, кот-е параллельны оси OZ (их уравнения НЕ содержат буквы Z), их 3 :
x1 = 0 , y1 = 0 , y2 = 2 . Обозначим их на чертеже (см чертёж ниже).

x изменяется от x1=0 до x2=5 . x2 находим из уравнения x + z = 5 пр и крайнем заданном значении z=0 .
z изменяется от z1=0 до z2=5 . z2 находим из уравнения x + z = 5 при крайнем заданном значении x=0 .
y-границы [0,2] заданы в Условии задачи в явном виде.
Заданное тело является призмой с прямоугольником в основании и равнобедренным прямоугольным треугольником в проекции XOZ.

Зададим порядок обхода подинтегральных проекций. Удобнее ориентироваться по 2мерным чертежам.
0 <= z <= 5-x
0 <= y <= 2
0 <= x <= 5

Перейдём к повторным интегралам. Для начала выполним упрощённую задачу, вычислим объём V0 призмы с пустой функцией [при F(x,y,z) = 1] см формулу (1) на рисунке.
С интегралами лучше разбираться по отдельности. Начнём с z-интеграла (см формулу 2). Для подстановки пределов интегрирования используем формулу Ньютона-Лейбница (см Ссылка2 )

Результат Iz0(x,y) = 5 - x вычисления z- интеграла подставим в вычислитель y-интеграла. Получили Iy0(x) = 10 - 2·x (формула 3).

Результат вычисления внутренних интегралов Iy0(x) = 10 - 2x подставляем во внешний x-интеграл. Получили объём тела
V0 = 25 ед3
Проверить правильность вычисления интеграла на этой стадии легко, потому что V0 имеет физический смысл - объём призмы. Объём равен произведению площади залитого голубым цветом треугольника XOZ-проекции на вертикальную Δy-толщину призмы, то есть:
(x22/2)·(y2 - y1) = (52/2)·(2-0) = 25 . Проверка успешна!

Теперь проделаем те же вычисления интегралов с заданной (не-пустой) функцией F(x,y,z) = 1 / (9·x + 2·y + 6·z + 1)3 . Рисунок N2 с формулами прилагаю ниже.

Ответ: тройной интеграл равен -0,033 . Число снова получилось отрицательное (как и в Вашей предыдущей задаче rfpro.ru/question/197660 ), но такая уж абстрактная функция F(x,y,z) досталась нам с Вами.
Вычисления выполнены, проверены и много-кратно пере-проверены в Маткаде ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad .

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 06.02.2020, 16:37

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 06.02.2020, 16:47

Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!


Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!


В избранное