Блокнот математика 2 дня назад
Давайте разберемся с гравитационным замедлением времени. Итак, принцип эквивалентности гласит, что в бесконечно малой окрестности точки в пространстве-времени никак нельзя отличить равномерное ускорение от гравитации. Бесконечно малая окрестность — это шкаф/лифт/ракета, и недолго по времени. Главное, чтобы размеры были достаточно малы и не позволяли использовать неоднородность процессов в пространстве. Например, два отвеса выдадут кривизну поверхности планеты, но только если они достаточно далеко друг от друга, чтобы можно было засечь схождение. А далеко — нельзя.
Картинка не соответствует тексту. Но девушка красивая.
Теперь рассмотрим шкаф на карусели. Он вращается, и сидящий в нем наблюдатель ощущает тяжесть. Пусть все это в космосе, чтобы не мешала гравитация Земли. Наблюдатель почувствует тяжесть и скажет, что это гравитационное поле. Если угловая скорость w и радиус r подходящие, то центростремительное ускорение w²r может быть даже равно g. В центрифугах космонавтов до 8g раскручивают.
С точки зрения покоящегося наблюдателя (лабораторной системы отсчета) шкаф движется со скоростью v=wr. И испытывает замедление времени по Лоренцу, с множителем γ,
γ²=1 - w²r²/c²
Один оборот — это, по сути, движение близнеца. Сначала он удалился, потом приблизился. Поэтому его 4-траектория короче, чем у покоящегося, и, стало быть, времени прошло меньше именно у него. То есть при встрече оба согласны, что меньше времени прошло по часам в шкафу.
Но в шкафу считали, что у них гравитация. Значит, это она замедлила часы.
Она может. Однако в шкафу известно только ускорение, а замедление времени только через него не выразить. А как можно?
Метрика Шварцшильда показывает коэффициент:
Здесь а — гравитационный радиус "планеты", M — ее масса, G — гравитационная постоянная, а R — радиус "планеты". Ускорение свободного падения g вычисляется так: g=GM/R²
Но это ускорение по сути центростремительное: g=w²r. В итоге получается замедление времени
Если принять радиус фиктивной планеты R=r/2, то получится ровно такое же замедление, как в неподвижной системе отсчета.
То есть наблюдатель в шкафу может, сверив часы, определить радиус планеты, которая, как он полагает, создает тяготение.
Откуда там эта двойка? И нельзя ли без фиктивной планеты?
Можно. Пусть гравитация слабая (wr намного меньше с). Тогда кинематическое замедление по Лоренцу можно приблизить такой формулой:
1-0.5v²/c²=1-0.5w²r²/c².
Теперь вычислим потенциальную энергию той силы, которую в шкафу считают силой тяжести, а извне — центробежной силой. Она (энергия) в центре равна нулю, а сила есть w²r. Берем интеграл по радиуса от 0 до радиуса карусели (тоже r) с обратным знаком:
U=-0.5w²r².
Это гравитационный потенциал. Коэффициент замедления времени через потенциал выражается: это
1+U/c²=1-0.5w²r²/c²,
что совпадает с кинематическим значением.
Откуда эта формула: 1+U/c²? Об этом в другой раз.
Теперь посмотрим на сильные поля, или быстрое вращение при большом радиусе колеса. Почему нельзя быстро раскрутить достаточно большую карусель, чтобы обод достиг линейной скорости света?
Дело в том, что равномерное вращение с угловой скоростью w означает, что линейная скорость, равная по величине wr, меняется по направлению. Иными словами, имеется кинематическое ускорение, направленное к центру и равное по величине w²r. Это означает, что к скорости wr, направленная по касательной, за бесконечно малое время dt прибавляется скорость w²rdt, направленная к центру (под прямым углом).
Формулу суммы скоростей в общем случае мы уже обсуждали; для частного случая перпендикулярных скоростей она такая:
u+v=u+γ(u)v;
результат зависит от порядка слагаемых, "корень Лоренца" γ приведен выше. Из формулы следует, что реальное центростремительное ускорение больше кинематического (необходимого для движения по окружности в принципе), и выражается через него формулой A=γ(wr)w²r.
При близких к с скоростях обода "тяготение" устремится к бесконечности, и по формулам выше время остановится. Никакой диск не сможет разогнать свой обод до скорости света: растущая до бесконечности центробежная сила порвет любой материал, даже воображаемый.
Если же вообразить диск из абсолютно твердого материала, то с такого обода ничего нельзя втащить ближе к центру. Это как горизонт событий черной дыры: сорваться дальше от центра можно и нужно, а вытащить что-то к оси невозможно. Бесконечной силы только-только хватает, чтобы вращаться, для сокращения ничего не остается. Разогнать такой диск еще тоже не получится: время на ободе встало, добавлять скорость по касательной никак: релятивистская сумма с+v=c, и без шансов.
Что у нас получилось? По принципу эквивалентности, в шкафу полагают причиной тяжести гравитацию, и согласны с тем, что их часы отстают от лабораторных. Стало быть, любая гравитация должна замедлять часы, причем согласовано, причем в релятивистском пределе (скорость стремится к скорости света) часы встанут.
И вот интересный вывод, который мы используем в следующей заметке: ускорение как таковое не замедляет время! Замедляет время скорость по формулам СТО, а также гравитация. Ускорение можно выразить как гравитацию, но гравитация через одно лишь ускорение не выражается. Нужен гравитационный потенциал, или что-то еще (размер "планеты" у нас выше).
https://zen.yandex.ru/media/math_notebook/gravitaciia-vremia-karusel-6105cc2b75ac2b0843c65fd7?&
Это интересно
0
|
|||
Последние откомментированные темы:
-
Ответы на детские вопросы про "Лунную Афёру"
(1)
kauperwud
,
28.02.2022
-
Космический корабль в несколько километров: все, что известно о новом проекте Китая
(2)
андрей1
,
27.02.2022
-
ЗАГАДКИ "ПАРАДОКСА ФЕРМИ" БОЛЬШЕ НЕТ?
(3)
donskarloss@gmail.com
,
27.02.2022
-
Марсианские реки
(1)
donskarloss@gmail.com
,
27.02.2022
-
Семь спорных причин считать, что на Земле существовали цивилизации до людей
(1)
donskarloss@gmail.com
,
24.02.2022
20240425152003