Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Логика для всех

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Занимательные задачи и головоломки" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Февраль 2002   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Автор
Natalia

Статистика

4.156 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Логика для всех


Служба Рассылок Subscribe.Ru

"Логика для всех" выпуск No43 oт 2002-02-14

Здравствуйте!

После выхода прошлого выпуска рассылки поступило еще одно решение (на этот раз правильное) задачи "Загадочное N". Именно оно и приведено ниже. Об остальных решениях - позже...

:) А ровно год назад вышел первый (точнее, нулевой) выпуск рассылки "Логика для всеx"...

Загадочное N

каждое высказывание в списке либо ложное, либо истинное

  1. Как минимум одно из двух последних высказываний истинно.
  2. Либо это высказывание первое истинное, либо - первое ложное.
  3. Здесь есть (ровно) три последовательных высказывания, которые ложные.
  4. Разница между номерами последнего истинного высказывания и первого (истинного) является делителем числа N.
  5. Сумма номеров истинных высказываний равна числу N.
  6. Это не последнее истинное высказывание.
  7. Все номера истинных высказываний являются делителями числа N.
  8. Число N равно проценту истинных высказываний.
  9. Количество делителей числа N больше суммы номеров истинных высказываний.
  10. Здесь нет трех последовательных истинных высказываний.


Какие высказывание истинные, а какие - ложные?
Каково минимально возможное значение числа N?

Василий Славутинский:

N и вправду оказалось загадочным :)))

можно выделить три группы утверждений, анализ которых может помочь в решении.

  1. 1 и 2
  2. 6
  3. 5 и 8

обозначения:

, - и
xor - исключающее или
or - или

итак,
1) утверждения 1 и 2.
рассмотрим, как будет зависеть истинность 1 от истинности/ложности 2.
запишем утверждение 2 символически

2 : (1, 2) xor (~1,2)

а отрицание

~2 : (1,2) or (~1,~2)

отсюда ясно, что допустимы будут только

(~1,2) и (~1,~2)

т.е. доказано, что утверждение 1 ложно.

ложность 1 сразу дает ложность 9 и 10.

2) утверждение 6
~6 значит "6 - последнее истинное утверждение", т.е. "6 истинно".
это противоречие
значит, 6 истино
ложность 9 и 10 уже доказана.
тогда истинность 6 дает (7 or 8) - т.е. хотя бы одно из них верно

3) утверждения 5 и 8
если ввести обозначения
i - номер утверждения
T(i) - истинность i-го утверждения (T(i) = 1 если i-e утвержд. истинно и T(i) = 0, если ложно)
S(f(i)) - сумма значений некот. ф-ии номера утверждения по всем номерам от 1 до 10

то утверждение 5 имеет вид

N = S(i*T(i))

а 8 имеет вид

N = S(10*T(i))

5 и 8 могут быть истинны одновременнно только в случаях, когда

а) все утверждения ложны. тогда N=0
б) все, кроме 10-го ложны.

но мы доказали уже истинность 6-го, что противоречит и а) и б).
значит, 5 и 8 не могут быть верны одновременно.

т.е. допустимы только варианты (~5,8) (5,~8) (~5,~8)
рассмотрим их

5) 5,~8
тогда из доказанного в 2) утверждения (7 or 8) следует истинность 7.
получаем: 5,6,7 верны, а 7 говорит нам, что N кратно и 5 и 6 и 7.
тогда минимальное N, удовлетворяющее этом условиям будет равно
N = 5*6*7 = 210
но такое большое N противоречит утвержд. 5
согласно 5 максимальное N равно сумме чисел от 1 до 10. Что равно 55, т.е. меньше 210.

6) ~5, 8
запишем таблицу полученных результатов (с учетом допущения 6))

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-       - +   + - -

доказанное в 1) отрицание 10-го влeчет за собой существ. 3 последовательных истинных высказываний.
это могут быть 2,3,4 или 6,7,8

6.1) если 2,3,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- + + + - +   + - -

но 3 тогда влечет за собой сущ-е трех последовательных ложных высказываний,
которым нет уже места.
пришли к противоречию

6.2) если 6,7,8
тогда из 7 следует min N = 6*7*8 = 210
а из 8 следует N <= 100
пришли к противоречию

7) остался последний вариант - ~5,~8
тогда из 2) следует истинность 7.
а доказанное отрицание 10-го дает истиность 2,3,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- + + + - + + - - -

из 4-го следует N кратно 7 - 2 = 5
из 7-го следует N кратно 2,3,4,6 и 7
минимальное N тогда равно (разлож. на простые множители)
2^2 * 3 * 5 * 7 = 420.

8) теперь надо проверить.
все проверяется в уме, кроме 9-го
сумма номеров истинных высказываний равна 2+3+4+6+7=22
найдем количество разных делителей числа 420
разложение на простые множители записано выше.
если в разложение числа на простые множители каждый простой множитель входит со степенью 1, то количество разных делителей равно кол-ву подмножеств множества множителей минус 2 (пустое множество и множество всех простых множителей соответствуют единице и самому числу, что выпадает из определения делителя)
в нашем случае это было бы 2^5-2=30.
но у нас две двойки.
это уменьшит количество разных множеств, а значит и делителей на количество множеств, в которые входит только одна двойка. т.е. множеств вида 2,(3,5,7)
(3,5,7) любое подмножество множества {3,5,7}
число подмножеств {3,5,7} вычисляется по той же формуле N=2^n
2^3=8
итого получим количество делителей равное 30-8=22.
т.е. кол-во делителей равно сумме номеров истинных высказываний и 9-е утверждение действительно неверно.

До новой рассылки!

  Вопросы, пожелания и замечания пишите на ntl@yandex.ru.

Natalia

  http://ntl.narod.ru/logic - Логика для всех

Использование материалов рассылки без согласования с ведущим рассылки не одобряется.

Архив Рассылки Рассылка 'Логика для всех' TopList Статистика Рассылки
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное