3. Почему мы так плохо понимаем Эйнштейна.

В первой рассылке на эту тему я всех «ученых» рассадил по своим «шкафам», чтобы Вам было лучше видно, что у всех есть свои трудности, а не только у физиков с теорией относительности. Например, у математиков и логиков есть парадоксы, а у философов – диалектика (я это назвал свой скелет в шкафу). Далее, я предположил, что это связано с тем, что нам в процессе обучения еще в школе о чем-то не рассказали. Я это назвал «пропустили некий ген».

Во второй рассылке я предположил, что такой ген может быть связан с моделированием – нас не учили правильно строить логические модели и оперировать с ними. Если модель одна - мы умеем с нею справляться, если их несколько и они не пересекаются, то это для нас тоже не проблема. Но если модели пересекаются – начинаются сложности.

Проблема бесконечности

Я не буду рассказывать Вам об истории  проблем с бесконечностью и не буду приводить связанные с нею парадоксы, а просто расскажу, как решить эти проблемы с помощью моделирования. И начнем  «от печки», с того времени, когда нас учили считать.

Прежде всего, нас выучили выделять и «обзывать» отдельные предметы. Дальше нас выучили объединять их вместе и «обзывать» объединение, обычно добавляя специальные множественные окончания. При этом у нас сложилась особая модель – количественная индуктивная модель. В этой модели мы создаем понятие единицы, алгоритм прибавления единицы и понятие числа. Числа я изображу такими строчками:

1  (это число 1), или так: …000000000000000001

11 (это число два) или так: …00000000000000011

………………    

111111111  (это число десять) или так: …000000001111111111

Я строил числа из единиц, а, затем, приписал ноли, чтобы сделать бесконечные строчки.

Процесс прибавления 1 называют индукцией. (Иногда конкретно – индукцией по 1). Полученный ряд (у меня столбец), в свою очередь, называют «ряд целых натуральных чисел». При таком изображении чисел в виде длинного бесконечного ряда их количество называют счетным. В рамках  индуктивной модели можно строить ряд не только из единиц, но и из десяток, из сотен, из точек, различных элементов, и различных предметов. Математики эти методы называют аддитивный и мультипликативный, соответственно (Здесь я несколько грубо упростил с мультипликативностью, но не придирайтесь – это можно уточнить). А в арифметике мы на основании этого свойства проводили операции сложения и умножения. Далее, индуктивная модель позволяет нам построить то, что мы называем «системой координат». Для этого необходимо построить методом индукции такой же ряд, но в из других знаков, пересекающейся с первым рядом в нулевой точке. Это точечные модели, но точность их мы можем всегда увеличить до точности необходимой нам. Как говорят математики: «сделать точность больше любой наперед заданной величины».

Но когда мы учились считать, мы создали и другую модель – систему счета. Мы по умолчанию пользуемся десятичной системой счета, но я возьму более простую - двухзначную, или двоичную. В этой модели числа представляются не одним знаком (единицей), а двумя, (например, 1 и 0), и очень важен их порядок.  Я ее приведу в таком виде:

0    (это число 0)  или так: ...00000

1    (это число 1)  или так: ...000001

10   (это число 2) или так: …0000010

11   (это число 3) или так: …0000011

100 (это число 4) или так: …00000100

101 (это число 5) или так: …00000101

……………….

1010 (это число 10) или так: …00001010

Эту модель я называю кардинальной моделью. Чем она отличается от счетной? Прежде всего, в кардинальной модели, для одного и того же числа, строчки стали короче, и поэтому чисел можно изобразить кардинально больше, и, наконец, они могут нести дополнительную информацию об объекте, для которого строится эта модель. Поэтому кардинальную модель можно назвать еще и качественной моделью. Далее, кардинальная модель не может быть сведена к индуктивной модели, потому, что строчек (чисел) в ней кардинально больше, чем в индуктивной модели. Нельзя ее представить и в аддитивной или мультипликативной форме – у нее мощность больше. Другими словами, если мы рассмотрим все строчки (числа) этой модели, то получим некое многообразие – кардинал, которое отличается от пространства любой размерности. Он не вписывается ни в одно пространство.

Кардинал и пространство отличаются  по своей структуре, по мощности и по модели.

Когда мы учимся в школе, нас учат строить модели интуитивно, и поэтому мы, как правило, не различаем счетную и кардинальную модели. Кроме того, в той области, в которой нам приходится сталкиваться с целыми числами, все наши расчеты, как правило, не превышают миллиардов (9-11 знаков). А в этом случае модели пересекаются.

У Вас может сложиться впечатление, что я что-то выдумываю. Но это не так. Это основы     теории множеств, и различие мощности кардинальной  и счетной модели доказано Кантором около ста лет тому назад. Кроме того, если Вы внимательно присмотритесь к конструкции кардинала, то увидите, что она напоминает виртуальный мир компьютера. Действительно, если выделить в кардинале счетное бесконечное множество, (например, состоящее из единиц) назвать его матрицей, а остальную часть представить, как двузначную производную (1,0 – биты), то это и будет модель виртуального мира, в котором мы с Вами сейчас общаемся.. А этот мир непредставим ни в каком пространстве. Другими словами:

На протяжении многих лет нас убеждают, что вселенная существует в виде материи в

трехмерном пространстве и во времени. Теория относительности и квантовая механика в эту модель не вписываются, приходится строить дополнительные конструкции. У нас есть готовая модель – кардинал, и нам нужно только перестроить свое мировоззрение, чтобы все стало на свои места.

Для создания модели «плоской земли» использовалось пространство имеющее «верх» и «низ». В модели Ньютона, в модели «круглой земли», мы используем трехмерное пространство, и это можно сделать в рамках счетной модели и счетного множества. А для физики Эйнштейна необходимо множество большей мощности, нужен кардинал. Как его построить я Вам рассказал: нужно каждую «точку» счетного множества представить двухзначной.

Теперь построим «обратную» модель. Для квантовой механики нужен кардинал меньшей мощности, чем счетное множество. Как его создать? Его можно выбрать из счетного множества, а для этого задать специальную функцию – функцию выбора. Может следует разделить счетное множество на равные части? На две или на десять? Нет, при этом Вы не создадите множества меньшей мощности, чем счетное. Нужна более «крутая» функция. Например, можно выбрать все числа вида  2^n. Но только n теперь представляет собою не то, что было в счетной модели - оно значительно меньшей мощности: это либо конечное число, либо число вероятностное. Если Вы этого не понимаете, то Вы не понимаете квантовой механики.

Это и есть тот ген, который нам не додали в школе.

Ответы  и  новые  задачи.

1. Теперь можно дать обоснованный ответ на задачу Зенона:

Ахиллес гонится за черепахой и никогда ее не догонит. Пока Ахиллес пробежит расстояние R1 отделяющее его от черепахи, она отползет на новое расстояние R2. Пока он пробежит это расстояние R2, она отползет на новое расстояние R3. И эти рассуждения можно продолжать бесконечно.

В той модели, которую создал Зенон, Ахиллес догонит черепаху, потому, что отрезки, на которые он мысленно делит время и расстояние до встречи Ахиллеса и черепахи, быстро уменьшается. А их количество представляет собою не счетное множество, а кардинал,  мощность которого много меньше мощности счетного множества.

В 19 выпуске я Вам предложил задачу с дисками Брахмы. В ней было 64 диска, которые перекладывают по определенному правилу монахи. И ответ был такой: монахи должны сделать (2^64 -1) переносов дисков. На «шкафу» философа количество дисков можно увеличивать бесконечно, для математика и физика я предлагаю количество дисков ограничить моделью. Другими словами, нужно знать, что же моделирует такие безумно большие числа?

В выпуске 12 у нас была такая задача:

Имеется 27 монет. Одна из них фальшивая. Но известно, что фальшивая монета тяжелее остальных. Найти фальшивую монету тремя взвешиваниями.

Я тогда привел решение Антона Бевзюк. Он предложил простенький алгоритм для решения задачи и вот что написал (привожу с моим комментарием):

«Вообще таким алгоритмом можно найти фальшивую монетку из 3^n монеток за n взвешиваний. Решающим условием является то, что известно, что фальшивая монетка тяжелее остальных. Если бы мы не знали, тяжелее она или легче, то решить было бы сложнее :)
Мне кажется, что это задачка слишком легкая :) по крайней мере, на
порядок сложнее задачка Эйнштейна или про собачку :)

Если бы Антон сделал еще один маленький шаг, то ответ был бы великолепен, но мы ведь еще не говорили о бесконечностях, и вернемся к этой задаче.» (Конец цитаты).

Согласитесь, что в этой задаче количество монет – это счетное множество, количество взвешиваний - тоже счетное, но когда мы их связываем в одну модель, как это сделано в задаче, нам приходится  модельно ограничивать  количество взвешиваний. 3^n это тоже кардинал. Нам хватит 30 взвешиваний, чтобы быть уверенным, что все разумные количества монет ( 2 с 14 нулями) будут перебраны. Если этого мало – возьмите 60 взвешиваний. Будет все равно некоторое ограниченное количество взвешиваний.

         Ответ на задачу о четырех муравьях

. Имеется квадратный лист бумаги со стороной 10 сантиметров. На каждом углу листа сидит муравей, глядящий на своего соседа в направлении по часовой стрелки. Т.е. муравей из верхнего левого угла смотрит на муравья из верхнего правого и т. д. В один момент времени все муравьи начинают с одинаковой (любой) скоростью бежать к тому, кого видят таким образом, что всегда смотрят на того же муравья. Через некоторое время они все соберутся в центре. Это очевидно, а теперь вопрос: какое расстояние пробежит до встречи каждый из муравьёв? Пояснение: муравьи из задачи  не умеют шевелить шеей, и бегут туда, куда смотрят. Ногами они шевелить умеют!

Во- первых я Вам приведу ответ математика – вот как решил эту задачу Андрей:

«Решение:

Пусть L -- длина стороны.

Начало координат поместим в левый нижний угол. Рассмотрим некоторое промежуточное положение муравьев. (x,y) -- координаты муравья, стартовавшего из начала координат. Тогда координаты того, на кого он смотрит -- (y,L-x). Тогда тангенс угла наклона 1-го муравья к оси x = (L-x-y)/(y-x). Он же равен dy/dx. Поэтому dy/dx = (L-x-y)/(y-x). Перейдем к новой с.к. x1=x-L/2, y1=y-L/2.

Тогда dy/dx = (x+y)/(x-y) (штрихи опустим). Или, перемножая и перенося, 0.5*d(x^2+y^2) - d(y/x)*x^2 = 0. Теперь перейдем к полярным координатам x=r*cos(w), y=r*sin(w). Тогда r*(dr-r*dw)=0, или

dr=r*dw, при r!=0.

Теперь о длинне пути P. dP^2=dx^2+dy^2=(r*dw)^2+dr^2 = 2*dr^2. Т.е. P=delta(r)*sqrt(2). delta(r)=пол-диагонали=L/sqrt(2).

P=L.

Задача слишком техническая, тут нет большой идеи. Решилась сходу, прямо так, как написал.» Конец цитаты.

Прежде чем предложить Вам следующий ответ, хочу провести полезную аналогию, полезную особенно для лирически настроенных математиков. Аналогию, касающуюся вопроса поведения в любви. Какую стратегию поведения в любви выбрать, нам подскажут муравьи из задачи :). Задача о 4 муравьях это трагическая история, имеющая счастливый конец. Муравьи выбирают неправильную стратегию бега. Им кажется, что они, глядя на объект своей любви, и не обращая внимания ни на кого больше, достигнут своей цели. Но это не так. Конечно, если сидящая  напротив мурашка бежит к вам, то вы встретитесь, но если она хотя бы чуть-чуть смотрит в сторону, а вы только на нее – быть беде. Вы разминетесь и будите за нею гоняться. Проверьте. Пусть один муравей бежит по диагонали, а другой (влюбленный) выбрал стратегию как в задаче и бежит, глядя только на первого. Они не встретятся.

Поэтому мне понравился ответ, который прислал Арандр:

«Вообще-то, я не любитель писать, но "Задача о четырех муравьях" мне понравилась.
Можно решить ее чисто математически, но самое простое решение такое:
Ответ: 10 см.
Так как движение муравьев симметрично относительно поворота картинки на 90 градусов,
то четырехугольник, составленный из муравьев на любой момент времени, будет квадратом,
а значит муравьи все время ползут под углом 90 градусов относительно друг друга, поэтому
убегающий муравей не приближается и не удаляется от догоняющего муравья своим бегом,
т.е. расстояние между ними сокращается исключительно за счет движения догоняющего
муравья, а по условию, начальное расстояние между догоняющим и убегающим муравьем
равно 10 см.
Конечно же, интересен общий случай, а что будет при трех муравьях? А при пяти, шести?
При двух и трех муравьях, убегающий приближается к догоняющему, при пяти и больше -
удаляется от догоняющего, это очевидно.
Не буду загружать математикой, просто напишу ответ:
В общем случае: L = Ln / (1-cos(360/k))
L - пробег муравья до встречи
Ln - начальное расстояние между муравьями
k - количество муравьев
360 - 360 градусов
При начальном расстоянии между муравьями 10 см.:
Для 2 муравьев  L = 5 см.
Для 3 муравьев  L = 6,6666667 см.
Для 4 муравьев  L = 10 см.
Для 6 муравьев  L = 20 см.
При бесконечном количестве муравьев, они до центра вообще никогда не доберутся,
потому что будут бегать друг за другом по кругу :)
Спасибо за задачку.
Всего наилучшего,
Arandr.

Согласитесь, что ответ очень хороший.

Новая задача.

Хотите найти клад? Вот какую задачу прислал Андрей:

"От сосны к березе, повернуть направо, пройти столько же. От сосны к дубу, повернуть налево, пройти столько же. Копать посередине." С этим указанием флибустьера Роджерса Вы прибыли на остров. Береза цела, дуб есть, сосна исчезла... Можно ли найти клад? (Повороты делать на 90 гр.)

Читайте, думайте, пишите, ТОМИ

mailto:tomi_magic@mail.ru