Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

По страницам математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 216 RSS
  Август 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.mathpages.ho.com.ua
Открыта: 02-08-2006

Автор
Vince

Статистика

216 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

По страницам математики. Выпуск 4.


По страницам математики. Выпуск 4.

Доброго времени суток всем, кто читает этот выпуск рассылки "По страницам математики".
Наш сайт (сайт этой рассылки, http://www.mathpages.ho.com.ua) растет и развивается. А вместе с тем и появляются новые статьи, которые Вы сможете прочитать в этом выпуске рассылки. Уже совсем скоро мы собираемся дополнить наш сайт форумом, отдельным ресурсом, на котором будем вылаживать электронные книги о математике, а также новостной лентой мира математики и науки в целом.

Введение

Подготавливать все новые и новые статьи с каждым выпуском все сложнее и сложнее, однако в этом выпуске будет как обычно 5 статей. Будем надеяться, что в них (статьях) Вы найдете что-нибудь полезное и интересное для себя. Каждая статья доступна на нашем сайте www.mathpages.ho.com.ua.
Содержание:
1) в рубрике "интересные статьи":
- "Еще раз о простых числах". Самый первый выпуск этой рассылки был посвящен генераторам простых чисел. В этом выпуске Вы познакомитесь еще с некоторыми интересными свойствами простых чисел.
2) в рубрике "конспект":
- "Площадь круга, сектора, сегмента".
3) в рубрике "за рамками программы":
- "Квадратура круга".
4) в рубрике "биографии":
- биография Николая Ивановича Лобачевского.
5) в рубрике "компьютерная математика":
- "Быстрая сортировка".
Надеюсь, Вам понравяться эти материалы. (мой e-mail)

Еще раз о простых числах

Характеристики простых чисел столь многогранны, что полной картины привести просто невозможно. Многие ученые занимались простыми числами, но и сегодня о них известно далеко не все.
Неизвестно, например, сколько простых чисел можно записать одними единицами. Пока найдены три таких числа: это число 11 и числа, состоящие из 11 и 19 единиц. Отметим, что количество единиц в записи таких чисел само должно быть простым числом. Ведь если k=mn , то число, состоящее из n единиц, делится на числа, состоящие из k и из m единиц. Например: 111111 = 1111001 = 1110101.
Любопытно, что для любого простого числа p, отличного от 2 и 5, найдется записываемое только с помощью единиц число, делящееся на p. Если p не равно 3, то таким свойством обладает, например, число, состоящее из (p - 1) единицы. В самом деле, мы знаем, что если p отлично от 2 и 5, то 10p-1 - 1 делится на p. Число 10p-1 - 1 записывается с помощью (p - 1) девятки. Так как p отлично и от 3, то, разделив 10p-1 - 1 на 9, получим частное, записанное с помощью (p - 1) единицы, делящееся на p. (На p = 3 число 11 не делится, но делится, например, число 111.)
Иногда можно взять и менее (p - 1) единицы. Например, число 111111 делится на 13. Еще Гаусс пытался выяснить, конечна или нет совокупность простых чисел p, для которых число из k единиц (k < p - 1) не делится на p. Ответ на этот вопрос до сих пор неизвестен.
Есть в теории простых чисел и такая интересная проблема: конечна или нет совокупность близнецов — так называют пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Примерами близнецов служат 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Чем дальше мы продвигаемся вперед по натуральному ряду чисел, тем реже встречаются простые числа, а уж совсем редко — близнецы. И до сего дня неизвестно, а не оборвется ли последовательность этих чисел. Пока же упорные поиски отдельных энтузиастов приводят к открытию новых и новых близнецов, достаточно далеко расположенных в натуральном ряду. С помощью ЭВМ были найдены, например, такие близнецы: 9*2211 - 1 и 9*2211 + 1.
Кроме близнецов в последовательности простых чисел существует аналогичная тройня (3, 5, 7). Оказывается, она единственная. В любой тройке (n-2, n, n+2), где n-2 > 3, одно из чисел обязательно делится на три.
Подробнее...

Площадь круга, сектора, сегмента

Кругом радиуса r называется конечная часть плоскости, ограниченная окружностью того же радиуса. Другими словами, круг радиуса r — фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (центра круга) не больше r.
Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус r.
Подробнее...

Квадратура круга

Квадратура круга — одна из наиболее популярных классических задач древности на точное построение циркулем и линейкой. Она заключается в построении квадрата, равновеликого данному кругу. История задачи насчитывает четыре тысячелетия. Еще египтяне в период Среднего царства (ХХ — XVII вв. до н. э.) на основании измерений пришли к выводу, что круг равновелик квадрату со стороной, равной 8/9 диаметра.
Поскольку сторона квадрата, равновеликого кругу радиуса r, равна корени из числа Пи, задача о квадратуре круга сводится к следующей: построить отрезок длины произведения радиуса окружности на корени из числа Пи. Но сделать это с помощью циркуля и линейки невозможно, так как Пи — трансцендентное число. Однако это было доказано лишь в 1882 году немецким математиком Ф. Линдеманом. А до этого задача о квадратуре круга вызывала необычайный интерес. Недаром в XVIII в. Парижская академия наук приняла специальное постановление: не рассматривать больше ни одного из присылаемых решений задачи квадратуры круга. Сам же термин стал синонимом неразрешимых задач.
Подробнее...

Николай Иванович Лобачевский

"Некоторые силы в природе следуют одной, другие — своей особой геометрии... Силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы…". На эти и подобные им рассуждения Николая Ивановича Лобачевского — создателя неевклидовой геометрии — физики обратили внимание уже только после разработки
теории относительности. Только после появления этой теории стало ясно, какой глубокий философский смысл был заложен в словах ученого. Годом открытия неевклидовой геометрии считается 1826 год, годом появления специальной теории относительности — 1905 год. В 1909 году немецкий физик Арнольд Зоммерфельд обнаружил тождественность всего математического аппарата теории относительности с геометрией Лобачевского, хотя теория относительности развивалась совершенно независимо от нее. Именно поэтому Н. И. Лобачевского можно относить к творцам современной физической науки.
История создания геометрии Лобачевского одновременно является историей попыток доказать пятый постулат Евклида. Этот постулат представляет собой одну из аксиом, положенных Евклидом в основу изложения геометрии: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются. Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома лишняя, т. е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим традиционной геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось. И лишь Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой пятый постулат заменен его отрицанием.
Подробнее...

Быстрая сортировка

"Быстрая сортировка", хоть и была разработана более 40 лет назад, является наиболее широко применяемым и одним их самых эффективных алгоритмов.

Метод основан на подходе "разделяй-и-властвуй". Общая схема такова:

  1. из массива выбирается некоторый опорный элемент a[i],
  2. запускается процедура разделения массива, которая перемещает все ключи, меньшие, либо равные a[i], влево от него, а все ключи, большие, либо равные a[i] - вправо,
  3. теперь массив состоит из двух подмножеств, причем левое меньше, либо равно правого,
  4. для обоих подмассивов: если в подмассиве более двух элементов, рекурсивно запускаем для него ту же процедуру.

В конце получится полностью отсортированная последовательность.

Рассмотрим алгоритм подробнее.

На входе массив a[0]...a[N] и опорный элемент p, по которому будет производиться разделение.

  1. Введем два указателя: i и j. В начале алгоритма они указывают, соответственно, на левый и правый конец последовательности.
  2. Будем двигать указатель i с шагом в 1 элемент по направлению к концу массива, пока не будет найден элемент a[i] >= p. Затем аналогичным образом начнем двигать указатель j от конца массива к началу, пока не будет найден a[j] <= p.
  3. Далее, если i <= j, меняем a[i] и a[j] местами и продолжаем двигать i,j по тем же правилам...
  4. Повторяем шаг 3, пока i <= j.

Рассмотрим работу процедуры для массива a[0]...a[6] и опорного элемента p = a[3].

Подробнее...

http://www.mathpages.ho.com.ua

mailto:romkisel@mail.ru
В избранное