РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Gluck Статус: 9-й класс Рейтинг: 103 ∙ повысить рейтинг »

CradleA Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 55 ∙ повысить рейтинг »

Лысков Игорь Витальевич Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 43 ∙ повысить рейтинг »

Электротехника и радиоэлектроника

Номер выпуска:	1079
Дата выхода:	07.01.2022, 19:15
Администратор рассылки:	Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Подписчиков / экспертов:	11 / 36
Вопросов / ответов:	1 / 1

Консультация # 202023:

Здравствуйте, уважаемые эксперты, прошу Вас обратить внимание на мой вопрос по ТОЭ
Необходимо 1. Рассчитать все токи и напряжение на L в три момента времени (какие моменты?).
2. Рассчитать классическим методом переходный процесс в виде i₂(t),i₃(t), U_L(t).
3. Определить длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.
Уважаемые профи, пожалуйста, проверьте решение задачи на расчет переходного процесса классическим методом. Я совершенно не уверена в том,что нарешала.
Дано:
L = 20 мГн;
R1 = 2 кОм;
R2 = 2 кОм;
R3 = 2 кОм;
E = 10 B.

Решение:
1. Находим токи i1, i2, i3 и напряжение uL в три момента времени t = 0, 0+ и ?. Момент t = 0–. Он соответствует стационарному состоянию цепи до коммутации. До коммутации ключ К разомкнут, ток проходит через R2. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. До момента коммутации катушка индуктивности будет представлять собой ветвь короткого замыкания. Тогда i2(0–)=E/(R1+R2), i2(0–)=10 B/(2 Ом+2 Ом)=2,5А, i1(0–)=E/(R1+R2), i2(0–)=10 B/(2 Ом+2 Ом)=2,5А, i3=0.
В момент времени t = 0+, согласно закону коммутации, ток в катушке скачком измениться не может: i2(0+)= i2(0–)=2,5А. Ток i1(0+)=E/R = 10B/2Ом=5A. И ток i3(0+)=0.
В момент времени il(t?)в установившемся режиме iпр = E/R = 5A.
2. Расчет токов i2(t), i3(t) и напряжения uL(t) после коммутации классическим методом. Составим характеристическое уравнение:
f(t) = fпр + fсв = fпр + Ae^(pt), где р – корень характеристического уравнения, определяющий в конечном итоге длительность переходного процесса. Для этого из цепи исключаются источники тока.
Z(p) = R1+pL+R3= 0;
pL= –R3–R1= –2;
p= –2/L= –0.1c^(-1)
iсв= Aept= Ae-0.1t
i(t)= iпр + iсв = 5+ Ae-0.1t,
При t(0+): i(0+)=5+ Ae-0.1t =>2.5 = 5 + A=>A = -2.5.
i2(t) = 5-2.5e-0.1tA
Найдем вел ичину напряжения на индуктивном элементе.
u(L) = Ldi/dt ? u(L) = 20B * d/dt(5-2.5e-0.1tA) = 5e-0.1tB.

Дата отправки: 02.01.2022, 19:08
Вопрос задал: Мария (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: L = 20 мГн; R₁ = 2 кОм; R₂ = 2 кОм; R₃ = 2 кОм; E = 10 B.
Рассчитать все токи и напряжение на L в 3 момента времени t = 0-, 0+, ∞.
Рассчитать классическим методом переходный процесс в виде i₂(t), i₃(t), U_L(t),
Вычислить длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.

Решение: Ваша RL-цепь содержащит т-ко 1 реактивный элемент L . В предложенной Вами методичке "Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа" Ссылка1 переходный процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка, имеющего обобщённый вид
U( t) = R·i_L + U_L(t) , где U_L(t) = L·di/dt

Согласно описанию Классического метода ищем Решение уравнения в виде суммы 2х составляющих :
i(t) = i_пр + i_св(t)    (1)
здесь i_пp - принуждённая составляющая тока, обусловленная действием источника напряжени E ,
i_св(t) - свободная составляющая тока, обусловленная свободными переходными процессами, протекающими в цепи без участия источника E .
Требование применить Классический метод принуждает нас использовать Характеристическое уравнение. Как составить это Характеристич уравнение? - алгоритм хорошо описан в другой методичке "Классический метод расчёта переходных процессов" Ссылка2 . Следуем его пунктам:

1. Расчёт цепи до коммутации и определение начальных условий (токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях). До коммутации ток в цепи постоянный, поэтому ёмкость (где она присутствует) заменяем разрывом цепи, а индуктивность - перемычкой.
Применительно к Вашей эл-схеме : Вычисляем токи i₁, i₂, i₃ и напряжение u_L в момент времени t = 0- . Ключ К исходно разомкнут, ток проходит через элементы R1, R2, L . Катушка индуктивности в этот момент коротко-замкнута. Тогда:
u_L = 0  ,  i₂(0-) = E / (R₁ + R₂) = 10 B / (2 кОм + 2 кОм) = 2,5 мА ,
i₁(0-) = i₂(0-) = 2,5 мА  ,  i₃(0-) = 0 .

2. Расчёт цепи после коммутации и определение принуждённой составляющей решения. После коммутации в момент t = ∞ ток также постоянен, поэтому снова заменяем индуктивность перемычкой :
u_L = 0 , i₂(∞) = E / R₁ = 10 B / 2 кОм = 5 мА , i₁(∞) = i₂(∞) = 5 мА , i₃(∞) = 0 .

3. Составление характеристического уравнения цепи: Из цепи, сложившейся после коммутации, исключаем источник энергии. Производим разрыв цепи в любой, произвольно выбранной точке. В Вашем случае удобнее всего заменить источник E разрывом цепи.

Заменяем элементы цепи их комлексными сопротивлениями, вычисляем входное сопротивление полученной цепи относительно точки разрыва. Для момента времени t+ получаем:
Z(j·ω) = R₁ + 1 / (1 / j·ω·L + 1 / R₃)
Произведение j·ω заменяем на оператор p : Z(p) = R₁ + 1 / (1 / p·L + 1 / R₃)
Приравниваем найденное сопротивление нулю : R₁ + 1 / (1 / p·L + 1 / R₃) = 0 - характеристическое уравнение составлено

Вычисляем p-корни характеристич-го уравнения: 1 / (1 / p·L + 1 / R₃) = -R₁
1 / p·L + 1 / R₃ = -1 / R₁
p·L = -1 / (1 / R₁ +1 / R₃) = - R_э
Здесь R_э = 1 / (1 / R₁ +1 / R₃) = R₁·R₃ / (R₁ + R₃) = 2·2 / (2 + 2) = 1 кОм - эквивалентное сопротивление параллельно-соединённых резисторов R₁, R₃ .

Единственный корень p = - R_э / L = 1 кОм / 20 мГн = 0,05 мксек^-1
Постоянная времени τ = 1 / |p| = 20 мксек.
Свободная составляющая тока i_св = A·e^p·t = A·e^-t/τ , где А - постоянная интегрирования.
Вы можете вычислять в международной системе СИ, это избавит Вас от приставок кило, микро, но вынудит использовать множители типа 10³, 10^-6 … Инженеры-практики предпочитают использовать приставки, теоретики - множители.

Для вычисления постоянной интегрирования запишем у равнение для тока i₂ :
i₂(t) = i₂(∞) + A·e^-t/τ
Учтём начальные условия для i(2) и закон коммутаци: i₂(0-) = i₂(0+) = 2,5 мА , i₂(∞) = 5 мА.
i₂(0+) = 2,5 = 5 + A·e^0/τ = 5 + A·1 = 5 + A
Таким образом, A = 2,5 - 5 = -2,5 мА .
Мы получили выражение для тока i₂(t) = 5 - 2,5·e^-t/τ в миллиАмперах.

Вычислим напряжение u_L на индуктивности дифференцированием выражение тока i₂(t) :
u_L(t) = L·di_L / dt = L·(5 - 2,5·e^-t/τ)' = L·[5' - 2,5·(e^-t/τ)'] = L·(0 - 2,5·(-1/τ)·e^-t/τ) = (2,5·L / τ)·e^-t/τ
Подставляем L = 20 мГн, τ = 20 мкс , ток в мА, тогда приставки милли·милли в числителе и мк знаменателе сокращаются:
u_L(t) = (2,5·20 / 20)·e^-t/τ = 2,5·e^{-t/ 64;} Вольт.

Вычислим i₃(t) по закону Ома: i₃(t) = u_L(t) / R3 = (2,5·e^-t/τ В) / (2 кОм) = 1,25·e^-t/τ мА .
Ответ: До коммутации i₂ = 2,5 мА, i₃ = U_L = 0 .
После коммутации i₂(t) = 5 - 2,5·e^-t/τ мА, i₃(t) = 1,25·e^-t/τ мА , u_L(t) = 2,5·e^-t/τ В .
Длительность переходного процесса по уровню 5% ≈ 60 мкСек. График, выполненный в приложении Маткад (ссылка3) прилагаю.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 06.01.2022, 16:13

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 06.01.2022, 15:46

Рейтинг ответа: 0 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка