Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь #32


СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск No.32 от 15.03.2008 Подписчиков: 926
Рассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka Riateche, ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel, ICQ 455-198-168
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/, http://www.softhome.ru/,
http://content.mail.ru/pages/p_27136.html,
http://subscribe.ru/archive/job.education.egeent/ - Рассылка "Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ".
E-mail рассылки (для всех писем): matematics@mail.ru
Сайт рассылки: http://algebra.jino-net.ru
Математический форум: http://algebra.jino-net.ru/forum/
 
Слово автора

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Перед вами 32-й выпуск рассылки "Скорая математическая помощь". Если у вас есть интересные задачи, пожалуйста, присылайте их.
Этот выпуск получился довольно большим, и я решил добавить ссылки для быстрого перехода в другие разделы. Они находятся слева в начале каждого раздела.

Приятно, что наши читатели отзываются на письма рассылки. Значит, 900 подписчиков - это не случайная цифра, нас действительно читают. Если у вас есть какие-либо замечания, присылайте их, мы обязательно опубликуем ваши письма.
Алексей Вольнов >>
Добрый день.
Прошу обратить внимание на неточности в решении Иванова для общего случая (рассылка №31)
Рассмотрим два метода решений
1. Окрашивать 6 граней всех центральных + одного наружного кубика
2. Окрашивать по 2 противоположные грани (всех кубиков – 8 угловых) + 1угловой
Неточности:
1. Для n >=3 формула не ( n -1)^3*6, а ( n -2)^3*6 граней.
2. Этот метод верен только для 3<= n <=6, а для остальных следует применять второй, то есть ( n ^3-8+1)*2. Он более оптимален, так как даёт выигрыш в К раз, где К=3 для n =2, К>1 для n >6 и К приближается к 3 при увеличении n до бесконечности.

Рассылка выходит раз в неделю по субботам. У нас уже более 900 подписчиков. Спасибо, что читаете нас!
Готовится к открытию сайт нашего проекта.
Напоминаю, что адрес для всех писем в рассылку: matematics@mail.ru. Пожалуйста, подписывайтесь в конце ваших писем! Это облегчает сортировку почты.

Riateche, ведущий рассылки

 
Рейтинг

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения). Спасибо всем, кто активно участвует в решении задач!
Лидеры рейтинга
1Павел Иванов272
2Анатолий Безуглов236
3Юрий Иванов178
4Михаил Грудцын131
5Wazovsky68
6Светлана64
7Андрей Ерослаев28
8Сергей Беспалов17
 
Новые задачи

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Если у вас есть интересные задачи или вы просто не можете решить нужную вам задачу, присылайте ее в рассылку, решим вместе! Принимаются задачи любой сложности по математике и информатике.
Задачи 185-186 прислал Павел Майшев, задачи 187-192 взяты с сайтов http://repetitors.info/, http://domzadanie.ru/.
Адрес для решений: matematics@mail.ru.
 
Задача No.185Павел Майшев Сложность: 7
1) Необходимо решить уравнение:
A = B*sin (-f)+C*exp(f/(w*TA))
Известные величины: А, В, С, w, TA. Необходимо выразить угол f (фи).
 
 
Задача No.186Павел Майшев Сложность: 7
2) Необходимо решить систему уравнений:
A = x*sin a_1 + y*sin (2a_1);
B = x*sin a_2 + y*sin (2a_2);
C = x*sin (a_1 + f_1) + y*sin 2(a_1 + f_1);
D = x*sin (a_2 + f_2) + y*sin 2(a_2 + f_2).
Известные величины: А, В, С, D, f1, f2.
Величины, которые необходимо выразить: х, у, a1, a2.
 
 
Задача No.187http://repetitors.info/Сложность: 7
Кофе с молоком.
Есть два одинаковых стакана, в которые налито поровну: в один – молоко, в другой – кофе. Из первого стакана переливают ложку молока в стакан с кофе. Потом размешивают, и из второго стакана обратно в первый переливают ложку смеси кофе с молоком. Чего теперь больше: молока в кофе или кофе в молоке?
 
 
Задача No.188http://repetitors.info/Сложность: 7
Вирус.
Есть колония Бактерий. Очень большая — N штук... В ней поселяется Вирус. Каждую секунду Вирус жрет одну бактерию, и, наевшись, тут же делится на два себе подобных. Бактерии питаются всем подряд (не бактериями и не вирусами, конечно) и тоже каждую секунду делятся пополам. Сожрет ли когда-нибудь Вирус все Бактерии?
 
 
Задача No.189http://repetitors.info/Сложность: 7
100 колдунов.
Было у великого султана 100 колдунов. Все они, конечно, были шарлатанами, и султан это заподозрил. Собрал он их и сказал:
"Завтра поутру устроим вам проверку, кто настоящий колдун, а кто нет. Проверка будет такой. Выведут вас в поле, построят в ряд. Потом каждому на голову наденут колпак либо черного, либо белого цвета. И, начиная с конца ряда, к каждому из вас по очереди будет подходить мужик с топором, спрашивая, какого цвета колпак на голове. Тем, кто назовет цвет своего колпака неверно, прямо на месте отрубят голову, остальных — отпустят."
Уточнение. Стоя в ряду, каждый колдун видит всех, кто стоит перед ним, и слышит все, что происходит сзади. Цвет своего колпака никакими уловками никто узнать не может. Каждый колдун может сказать только одно слово — «черный» или «белый». И только в свою очередь. Иначе — всем хана.
Услышав такую новость, колдуны собрались, и задумались, как им действовать, чтобы спасти наибольшее число своих коллег.
Сколько колдунов можно (со 100% вероятностью) спасти в таких условиях?
 
 
Задача No.190http://domzadanie.ru/Сложность: 7
Магические числа
Поменяйте цифры в числах 123 и 45 местами так, чтобы в результате умножения составленных чисел, получилось максимальное произведение?
В любом случае одно из чисел должно оставаться трехзначным, а другое двухзначным.
 
 
Задача No.191http://domzadanie.ru/Сложность: 7
Богатое ранчо
Владелец ранчо предложил ковбою купить 4 коровы и 3 лошади по цене 370 долларов либо 3 коровы и 4 лошади по цене 330 долларов.
Сколько стоит одна корова и одна лошадь?
 
 
Задача No.192http://domzadanie.ru/Сложность: 7
Лишний рубль
Я собрался ехать домой к матери, и мне надо было на билет примерно 50 рублей. Я занял у двух своих друзей по 25 рублей у каждого. Билеты мне обошлись в 45 рублей. Когда я шел назад, то встретил третьего знакомого, которому срочно надо было три рубля. Я их ему занял. Когда пришел, то отдал первым двум своим друзьям по рублю. Дома у матери я взял 48 рублей, чтоб отдать друзьям (24+24=48). Когда я вернулся обратно, то встретил третьего своего друга, который отдал мне 3 рубля. Итого у меня на руках оказалось 48+3=51 рубль, но ведь я занимал всего 50 рублей?
Вопрос: откуда лишний рубль?
 
 
Статья

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Числовые великаны вокруг и внутри нас

Нет надобности приискивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих - надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле - все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел.

Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. Хорошо известно, что зайдет ли речь о числе звезд вселенной, об их расстояниях от нас и между собою, об их разме­рах, весе, возрасте - во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение «астрономическое число» сделалось крылатым. Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют «маленькими», оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей солнечной системе планеты, которые, ввиду их незначительных размеров, получили у астрономов наименование «малых». Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их «крошечными». Но они представляют собой «крошечные» тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными: на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Возьмем такую «крошечную» планету с диаметром 3 км. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 кв. км, или 28 000 000 кв. м. На 1 кв. м может поместиться стоя человек 7. Как видите, на 28 миллионах кв. м найдется место для 196 миллионов человек.

Песок, попираемый нами, также вводит нас в мир числовых исполинов. Недаром сложилось издавна выра­жение: «бесчисленны, как песок морской». Впрочем, древние недооценивали многочисленность песка, считая ее одинаковой с многочисленностью звезд. В старину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.

Величайший числовой гигант скрывается в том воздухе, которым мы дышим. Каждый кубический сантиметр воздуха, каждый наперсток заключает в себе 27 квинтиллионов (т. е. 27 с 18 нулями) мельчайших частиц, называемых «молекулами».

Невозможно даже представить себе, как велико это число. Если бы на свете было столько людей, для них буквально недостало бы места на нашей планете. В самом деле: поверхность земного шара, считая все его материки и океаны,- равна 500 миллионам кв. км. Раздробив в квадратные метры, получим 500 000 000 000 000 кв. м. Поделим 27 квинтиллионов на это число, и мы получим 54 000. Это означает, что на каждый квадратный метр земной поверхности приходилось бы более 50 тысяч человек!

Было упомянуто раньше, что числовые великаны скрываются и внутри человеческого тела. Покажем это на примере нашей крови. Если каплю ее рассмотреть под микроскопом, то окажется, что в ней плавает огромное множество чрезвычайно мелких телец красного цвета, которые и придают крови ее окраску. Каждое такое «красное кровяное тельце» имеет форму крошечной круглой подушечки, посредине вдавленной (рис. СО). Все они у человека примерно одинаковых размеров и имеют в поперечнике около 0,007 мм, а толщину - 0,002 мм. Зато число их огромно. В крошечной капельке крови, объемом 1 куб. мм, их заключается 5 миллионов. Сколько же их всего в нашем теле? В теле человека примерно в 14 раз меньше литров крови, чем килограммов в его весе. Если вы весите 40 кг, то крови в вашем теле около 3 литров, пли 3 000 000 куб. мм. Так как каждый куб. мм заключает 5 миллионов красных телец, то общее число их в вашей крови: 5 000 000x3 000 000=15 000 000 000 000. 15 триллионов кровяных телец! Какую длину займет эта армия кружочков, если выложить ее в ряд один к другому? Нетрудно рассчитать, что длина такого ряда была бы 105 000 км. Более чем на сто тысяч километров растянулась бы нить из красных телец вашей крови. Ею можно было бы обмотать земной шар по экватору: 100 000 : 40 000=2,5 раза, а нитью из кровяных шариков взрослого человека - три раза.

Объясним, какое значение для нашего организма имеет такое измельчение кровяных телец. Назначение этих телец - разносить кислород по всему телу. Они захватывают кислород, когда кровь проходит через легкие, и вновь выделяют его, когда кровяной поток заносит их в ткани нашего тела, в его самые удаленные от легких уголки. Сильное измельчение этих телец способствует выполнению ими этого назначения, потому что чем они мельче, при огромной численности, тем больше их поверхность, а кровяное тельце может поглощать и выде­лять кислород только со своей поверхности. Расчет показывает, что общая поверхность их во много раз превосходит поверхность человеческого тела и равна 1200 кв. м. Такую площадь имеет большой огород в 40 м длины и 30 м ширины. Теперь вы понимаете, до какой степени важно для жизни организма то, что кровяные тельца сильно раздроблены и так многочисленны: они могут захватывать и выделять кислород на поверхности, которая в тысячу раз больше поверхности нашего тела.

Числовым великаном по справедливости следует назвать и тот внушительный итог, который получился бы, если бы вы подсчитали, сколько всякого рода пищи поглощает человек за 70 лет средней жизни. Целый железнодорожный поезд понадобился бы для перевозки тех тонн воды, хлеба, мяса, дичи, рыбы, картофеля и других овощей, тысяч яиц, тысяч литров молока и т. д., которые человек успевает поглотить в течение своей жизни. Рис. 61 дает наглядное представление об этом неожиданно большом итоге, более чем в тысячу раз превышающем по весу человеческое тело. При виде его не веришь, что человек может справиться с таким исполином, буквально проглатывая - правда, не разом - груз длинного товарного поезда.

http://matematiku.ru/
 
Абитуриенту

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Вариант ЕГЭ по математике (источник: http://repetitors.info)

B1. Пусть (х0; у0) - решение системы
V(25-10x+x^2) + y = 4,
y - 3x + 11 = 0.
Найдите произведение х0 у0.

B3. Найдите значение выражения logpi^2 (a^2*b/pi^3), если logpi V(a) = 3, logpi b = 5.

B4. Найдите наименьшее значение функции y = куб.корень(sin 2x cos x + cos 2x sin x - 7).

B5. Пусть x0 - наименьший положительный корень уравнения cos2 x - 5sin x cos x + 2 = 0. Найдите tg x0.

B6. При каком значении a функция y = 2ax+7 / 2x2 имеет максимум при x = 4?

B7. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?

B8. Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м2. Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки?

B9. Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60o. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6(V(3)+2).

B10. Площадь треугольника АВС равна 20V(3). Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.

C2. При каких значениях параметра n уравнение 15 10x - 20 = n - n 10x+1 не имеет корней?

C3. Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором угол A=60o. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость ?, параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : PO = 2 : 3. В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью [альфа]. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 9pi*V(3).

C4. Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области определения функции y=(ax - aax+2)-0.5 есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа.
 
Решения задач

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения, мы их разместим в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки, решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки. Сегодня прислано несколько решений из задач прошлых выпусков, поэтому мы решили опубликовать ранее присланные решения этих же задач еще раз.
Ждем ваших решений.
 
Задача No.156Прислал NorayrСложность: 5
|x+y|=|2x-7y|-|y-2x|.
 
Павел Иванов >> 1. у=0
Если x>=0, то х=2х+2х
-3х=0
х=0
Если x<0, то -х=-2х-2х
3х=0
х=0 (не удовлетворяет усл. x<0)
2. у>0
Если x<-у, то -х-у=7у-2х-у+2х
х=-7у
Если x>=-у и х<у/2, то х+у=7у-2х-у+2х
х=5у (не удовлетворяет усл. х<у/2)
Если x>=у/2 и х<7у/2, то х+у=7у-2х-2х+у
х=7у/5
Если x>=7у/2, то х+у=2х-7у-2х+у
х=-7у (не удовлетворяет усл. х>=7у/2)
3. у<0 Если x<7у/2, то -х-у=7у-2х-у+2х
х=-7у (не удовлетворяет усл. х<7у/2)
Если x>=7у/2 и х<у/2, то -х-у=2х-7у-у+2х
х=7у/5
Если x>=у/2 и х<-у, то -х-у=2х-7у-2х+у
х=5у (не удовлетворяет усл. х>=у/2)
Если x>=-у, то х+у=2х-7у-2х+у
х=-7у
Ответ: х=0, если у=0; х=-7у, если x<-у, у>0; х=7у/5, если х принадл. [у/2;7у/2), у>0; х=7у/5, если х принадл. [7у/2;у/2), у<0; х=-7у, если x>=-у, у<0. (Баллы: 5)

 
Задача No.169Сложность: 5
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый сле дующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток (если он есть) съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что: а) хотя бы один орех будет съеден; б) все орехи не будут съедены.
 
Юрий Иванов >> Возможны два случая:
Попробуем доказать по индукции:
база индукции
Пусть n=4
1) после деления орехов А: А=0, Б=2, В=2, съедено 0 орехов
2) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=3, съедено 0 орехов
3) После деления орехов В: А=2, Б=1, В=0, остаток 1 орех, съеден В, съеден 1 орех
4) После деления орехов А: А=0, Б=2, В=1, съеден 1 орех
5) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=2, съедено 1 орех
6) после деления орехов В: А=2, Б=1, В=0, съеден 1 орех вернулись к состоянию 3
Аналогично для n=5 имеем:
1) после деления орехов А: А=0, Б=2, В=2, остаток 1 орех, съеден А, съеден 1 орех
2) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=3, съедено 1 орех
3) После деления орехов В: А=2, Б=1, В=0, остаток 1 орех, съеден В, съедено 2 ореха
4) После деления орехов А: А=0, Б=2, В=1, съедено 2 ореха
5) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=2, съедено 2 ореха
6) после деления орехов В: А=2, Б=1, В=0, съедено 2 ореха, вернулись к состоянию 3
Аналогично для n=6 имеем:
1) после деления орехов А: А=0, Б=3, В=3, съедено 0 орехов
2) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=4, остаток 1 орех, съеден Б, съеден 1 орех
3) После деления орехов В: А=3, Б=2, В=0, съеден 1 орех
4) После деления орехов А: А=0, Б=3, В=1, остаток 1 орех, съеден А, съедено 2 ореха
5) после деления орехов Б: А=1, Б=0, В=2, остаток 1 орех, съеден Б, съедено 3 ореха пришли к состоянию 5 (n=4)
В самом общем случае:
Остаток от деления на 2 не превосходит 1, т.е. 1 или 0, т.е. на каждом шаге м.б. съедено не больше одного ореха
Деление возможно только до того момента когда останется 3 ореха, причем орехи после деления будут распределяться следующим образом: у текущего делящего 2 ореха, у следующего за ним 1 орех и у последнего 0, при такой ситуации дальнейшее деление представляет собой циклический процесс с периодом 3. (Баллы: 5)

Павел Иванов >> а) Т.к. орехов больше 3, то возьмём, например, 4 ореха (минимально возможное кол-во орехов). А-Аня, Б-Боря, В-Витя. 1):А-4, Б-0, В-0; 2):А-0, Б-2, В-2; 3):А-1, Б-0, В-3; 4):А-2, Б-1, В-0 (Витя съедает орех; ясно, что при большем кол-ве орехов будет съедено больше орехов , т.е. при любом кол-ве орехов, будет съеден хотя бы один орех)
б) 5):А-0, Б-2, В-1; 6):А-1, Б-0, В-2; 7):А-2, Б-1, В-0... Видно, что мы пришли к пункту 4), значит орехи будут "делиться" подобным образом до бесконечности, т.е все орехи никогда не будут съедены, если орехов 4. Но остаток от деления на два всегда равен 1, следовательно, при любом кол-ве орехов в конечном итоге прийдём к числу орехов 4, тогда орехи никогда не будут съедены при любом кол-ве орехов. (Баллы: 5)

 
Задача No.170Сложность: 5
У Пети есть n^3 белых кубиков 1*1*1. Он хочет сложить из них куб n*n*n, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася закрасить, чтобы помешать Пете? Решите задачу, если а) n=2; б) n=3.
 
Юрий Иванов >> Для того, чтобы помешать Пете Вася должен окрасить кубики так, чтобы хотя бы одна грань снаружи размером 1*1*1 была покрашена в черный цвет. Определим окраску кубиков:
для случая 2*2*2 все кубики (8 шт) обращены к человеку тремя гранями одновременно, значит, чтобы помешать Пете Вася должен окрасить 2 противоположные грани в черный цвет (т.е. если брать за основу правильный кубик кости, у которого сумма точек на противоположных равна 7) для случая 3*3*3 окрашенными в белый цвет гранями должны быть следующие кубики:
8 угловых кубиков по три грани, с общей вершиной
6 центральных кубиков каждой грани - 1 окрашенная грань
12 центральных реберных кубиков - 2 соседних окрашенных грани
1 кубик - без окраски
ввиду того, что кубики могут быть окрашены и размещены произвольно, то надо закрасить минимум 2 кубика полностью в черный цвет (один уйдет в центр, второй в в любое место кубика 3*3*3)
В самом общем случае при кубике n*n*n и n >= 3 необходимо окрасить (n-1)*(n-1)*(n-1) + 1 кубик.
Ответ: n=2 - 2 противоположных грани, n>=3 - (n-1)*(n-1)*(n-1) + 1 кубик целиком. (Баллы: 5)

Павел Иванов >> а) Рассмотрим один из кубиков: любой из кубиков при n=2 имеет три видимые грани и три невидимые. Т.е. Вася должен закрасить как минимум 2 противоположные грани рассмотренного кубика , чтобы помешать Пете.
Ответ: 2.
б) Рассмотрим один из кубиков, находящихся по углам: любой из этих кубиков имеет три видимые грани и три невидимые. Т.е. Вася должен закрасить как минимум 2 противоположные грани рассмотренного кубика , чтобы помешать Пете. Рассмотрим один из кубиков, находящиеся между угловыми кубиками: любой из этих кубиков имеет две видимые грани и четыре невидимые. Т.е. Вася должен закрасить как минимум 2 пары двух противоположных граней (4 грани) рассмотренного кубика , чтобы помешать Пете. Рассмотрим один из кубиков, находящихся в центре грани куба 3*3*3: любой из этих кубиков имеет одну видимую грань и пять невидимых. Т.е. Вася должен закрасить все 6 граней рассмотренного кубика , чтобы помешать Пете. Рассмотрим кубик, находящийся внутри куба 3*3*3: он имеет шесть невидимых граней. Т.е. Вася должен закрасить все 6 граней рассмотренного кубика , чтобы помешать Пете. Т.о. Вася должен как минимум закрасить полностью 2 кубика (один пойдёт в центр, другой будет виден), т.е. 12 граней, чтобы помешать Пете.
Ответ: 12. (Баллы: 5)

 
Задача No.172Сложность: 7
Два кошелька
Есть два кошелька с монетами. В одном из них монет ровно в 2 раза больше, чем во втором. Когда все монеты из кошельков выложили, оказалось, что их ровно 20. Как такое может быть?
 
Михаил Грудцын >> В первом кошельке лежит 10 монет, а во втором - 10 монет и первый кошелек. (Баллы: 7)

Павел Иванов >> В обоих мешках по 10 монет (в сумме 20 монет), но один мешок вложен в другой, т.е. получается в одном 20 монет, что в 2 раза больше, чем 10. (Баллы: 7)

 
Задача No.176Сложность: 7
Прямой эфир
Как доказать телезрителям, что они на самом деле смотрят передачу в прямом эфире, а не в записи?
 
Михаил Грудцын >> Практически невозможно. Идеальная запись - показ со сдвигом в несколько секунд после события. Тогда можно и звонки в студию организовать, и тут же отвечать на них, и в то же время отслеживать минимальную цензуру -"запикать" мат или еще что нибудь в таком духе. (Баллы: 7)

Павел Иванов >> Нужно показать сегодняшнюю газету, телезритель хотя бы будет знать, что передача идёт сегодня.Можно показать вид с улицы, узнают примерное время суток, или часы. Хотя улицу могут снять за день раньше, а часы перевести, не будет смысла обманывать телезрителя. А вообще, я поверю надписи "Прямой эфир": ни один телевизионный канал, по-моему, просто так это не напишет. (Баллы: 7)

 
Задача No.178Свешникова ОльгаСложность: 7
Уважаемые господа,
направляю Вам задачу, которая использовалась при переводных экзаменах в нашем лицее. Появились затруднения в ее решении без применения Х.
Текст задачи:
Из Москвы в Тулу, расстояние между которыми 180 км, в 4 часа выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, делавший через каждые 4 часа привал на 2 часа. В 10 часов 30 минут утра в след за ним выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Пробыв в Туле 3 часа, автомобиль выехал обратно в Москву. В котором часу он встретит велосипедиста?
Заранее спасибо за помощь и грамотное объяснение.
 
Анатолий Безуглов >> Для начала определим во сколько автомобиль выедет обратно из Тулы в Москву и где в это время будет велосипедист.
Из Москвы автомобиль выехал в 10:30. Время пути до Тулы: 180 км / (60 км/ч) = 3 ч.
Следовательно в Тулу он прибудет в 13:30. В условии сказано, что в Туле он пробыл 3 часа, значит время отправления обратно в Москву 16:30.
Теперь разберемся с велосипедистом.
Выехал он в 4 часа, ехал со скорость 12 км/ч и через каждые 4 часа делал привал на 2 часа. Следовательно первый привал будет с 8 часов до 10 часов, за это время он проедет 4 ч * 12 км/ч = 48 км. Второй привал будет 14 часов до 16 часов, за это время он проедет еще 48 км. Следовательно в 16:30 он будет двигаться к Туле, и до привала еще далеко, так как предыдущий был только полчаса назад - мы убедились, что в момент встречи оба будут двигаться навстречу друг другу.
Теперь посмотрим где будет находиться велосипедист когда автомобиль выедет из Тулы.
К 16:30 он проедет 48 + 48 + 0,5*12 = 102 км.
Итак в 1630 автомобиль и велосипедист начали движение навстречу друг другу, расстояние между ними 180-102 = 78 км, скорость сближения 60км/ч+12км/ч = 72 км/ч.
Таким образом, суммарный путь, который им нужно пройти теперь до встречи составляет 78 км, а суммарная скорость 72 км/ч, следовательно встретятся они через 78 км / (72 км/ч) = 1,08333 часа = 65 минут, при этом автомобиль проедет 60 км/ч * 1,083333 = 65 км, а велосипедист 12 км/ч * 1,08333 = 13 км. Время встречи 16:30 + 65 мин = 17:35, точка встречи - 65 км до Тулы.
Ответ: автомобиль встретит велосипедиста в 17:35 (Баллы: 7)

Михаил Грудцын >> Сначала рассчитаем, на какое расстояние уехал велосипедист, когда стартовал автомобиль. Он выехал в 4 утра, к 8 проехал 4*12=48 км, и остановился до 10 час. Затем поехал дальше, и к 10.30 он проехал 48+6=54 км. В это время стартовал автомобиль. К 11.30 велосипедист проехал 66 км, а автомобиль - 60 км. Дальше автомобиль движется со скоростью 60 км/час, то есть 1 км в мин, а велосипедист со скоростью 12 км/час, то есть 1 км за 5 мин. Очевидно, что к моменту 11 час 37,5 мин=11 час 30+5+2,5 мин автомобиль проедет 60+7,5=67,5 км, а велосипедист 66+1+0,5=67,5 км, то есть автомобиль догонит велосипед в 11 час 37 мин 30 сек. (Баллы: 7)

Юрий Иванов >> Не знаю как расценивают у вас применение Х в задачах... но попробовать можно следующее:
1) Исходные данные
Расстояние от Москвы до Тулы - Sмт = 180 км
Скорость велосипедиста Vв = 12 км/ч
Скорость автомобиля Va = 60 км/ч
Старт велосипедиста Твс = 4 часа утра
Старт автомобиля Тас = 10 ч. 30 мин. утра
2) Определим время выезда автомобиля из Тулы:
Очевидно - на дорогу 3 часа (180/60) + в Туле 3 часа = 6 час.
Таст = 10 ч 30 мин + 6 ч = 16 ч 30 мин
3) Определим расстояние на которое продвинется велосипедист к моменту выезда автомобиля из Тулы
Время велосипедиста в дороге
Твд = 16 ч 30 м - 4 ч 0 м = 12 ч 30 м
С учетом того, что велосипедист каждые 4 ч останавливался на 2 ч получим, что в дороге он находился 2 полных периода (4 часа езды и 2 отдыха) и 30 мин т.е. расстояние пройденное велосипедистом за это время составит:
Sв = 4*2*12 + 0,5*12 = 96 + 6 = 102 км
Таким образом, велосипедисту и автомобилю необходимо проделать путь в 78 км чтобы встретиться.
4) Заметим, что велосипедист не будет останавливаться до встречи с автомобилем (у него в запасе 3,5 часа поездки или 42 км, автомобилю на это же расстояние потребуется 1,3 ч)
значит до встречи они будут двигаться навстречу друг к другу со скоростью 60 + 12 км/ч и встреча произойдет через Твстречи = 78/72 = 13/12 ч = 1 ч 05 мин
И встретятся они в 16 ч 30 мин + 1 ч 05 мин = 17 ч 35 мин на расстоянии 65 км от славного города Тула.
Ответ: 17 ч 35 мин (Баллы: 7)

 
Задача No.179Сложность: 7
О сплаве, состоящем из неодинаковых весовых долей золота, серебра и меди, известно, что:
- ни один из металлов, которые иследуются в лаборатории, не составляет в сплаве долю большую, чем золото;
- если золото составляет некоторую из низших долей веса в сплаве, то его не исследуют в лаборатории;
- лишь один металл не исследуют в лаборатории;
- в лаборатории не исследуют тот металл, весовая доля которого в сплаве однозначно определена предыдущими условиями;
если серебро или медь составляет среднюю долю в сплаве, тогда медь составляет долю большую, чем металл, который добывают в Топонго. Спрашивается: какую долю - большую, среднюю, меньшую - составляет каждый из металлов в сплаве, какой металл не исследуют в лаборатории и какой добывают в Топонго?
 
Михаил Грудцын >> Из первого и второго условия ясно, что золота в сплаве больше всего, а из третьего - что чистый металл не исследуют. Поскольку меди в сплаве больше, чем металла, который добывают в Топонго, ясно, что в Топонго добывают серебро, а металлы расположены в сплаве так: золото, медь, серебро. Не исследуют медь. (Баллы: 7)

 
Задача No.180Сложность: 7
Профессор Кукушка послал своим коллегам в семь стран свои научные работы, перепутав конверты. Чех Кукачка, интересующийся орлами, получил письма на датском языке и статью о фламинго, которая была предназначена французу Куку. Последний получил итальянское письмо и статью о клесте, предназначенную для голландца Кокока, который получл испанское письмо и монографию о лазоревке, интересующую датчанина Кукена, получившего статью об орлах. Итальянец Куколо, интересующийся пчелоедом, получил немецкое письмо, а немец Кукук, интересующийся ласточками, - французское. Кто получил статью, предназначавшуюся для испанца Кукило, и на каком языке было написано письмо, которое Кукило получил?
 
Михаил Грудцын >> Испанец получил письмо на чешском языке и статью на немецком о ласточках. При всех других вариантах кто-то получит либо письмо, либо статью на своем языке, а это противоречит условию. (Баллы: 7)

Юрий Иванов >> Статью на испанском языке получил голландец (см. условие). Теперь попытаемся определить на каком языке была написано письмо, полученное испанцем. Исходя из условий испанец мог получить письмо на чешском или голландском языке. Датчанин получил статью об орлах, которая интересовала Чеха про язык письма ничего не сказано, стало быть он совпал, значит письмо полученное испанцем на голландском языке. Теперь аналогично предположив, что итальянец получив письмо на немецком языке получил и статью на немецком - т.е. статью о ласточках Методом исключения немец получил письмо на французском языке и статью о птице, интересующей испанца. А испанец получил письмо о пчелоеде (Баллы: 7)

 
Задача No.181Сложность: 7
Вершины произвольного выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму пяти углов при вершинах полученной пятиконечной звезды.
 
Михаил Грудцын >> Я эту задачу встречал, когда учился в школе 25 лет назад. Там надо звезду перевести в треугольник. А углы треугольника в сумме дают 180 градусов. Поэтому у звезды сумма углов тоже 180 градусов. (Баллы: 7)

Юрий Иванов >> Обозначим вершины выпуклого многоугольника A1 A2 A3 A4 A5 (дальше все углы будут обозначены этими же буквами), точки пересечения отрезков соединяющих вершины B1 B2 B3 B4 B5
B1B2B3B4B5 - пятиугольник. Сумма углов при вершинах которого равна B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = (5-2)*180=540 (градусов - по формуле сумма углов многоугольника)
Рассмотрим звезду - она составлена из 5 треугольников приставленных к пятиугольнику B1B2B3B4B5
Выразив углы A1 A2 A3 A4 A5 через углы внутреннего многоугольника получим
А1 = В1 + В2 - 180
А2 = В2 + В3 - 180
А3 = В3 + В4 - 180
А4 = В4 + В5 - 180
А5 = В5 + В1 - 180
Сумма углов при вершинах звезды составит
А1 + А2 + А3 + А4 + А5 = В1 + В2 - 180 + В2 + В3 - 180 + В3 + В4 - 180 + В4 + В5 - 180 + В5 + В1 - 180 = 2 * (B1 + B2 + B3 + B4 + B5) - 180 * 5 = 2 * 540 - 900 = 1080 - 900 = 180
Ответ: 180 градусов (Баллы: 7)

 
Задача No.182Сложность: 6
У одного путешественника не было денег, но была золотая цепочка, состоящая из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца неделю, если тот будет давать ему ежедневно в виде платы одно из звеньев цепочки. Какое наименьшее число звеньев надо распилить, чтобы путешественник мог ежедневно в течение семи дней расплачиваться с хозяином гостиницы? (При расчете хозяин может возвращать постояльцу полученные от него ранее звенья.) Теперь решите эту задачу в предположении, что у путешественника есть цепочка, состоящая из n звеньев, и ему надо пробыть в гостинице n дней.
 
Михаил Грудцын >> Достаточно распилить одно 3-е от края звено. Тогда получается три куска - 1, 2 и 4 звена. Оплата происходит так: 1 - 1 звено, 2 - 1 забрал, дал 2 звена, 3 - добавил 1 звено, получилось 3, 4 - забрал 1 и 2 звена, дал 4, 5 - добавил 1 звено, 6 - забрал 1, дал 2 звена, 7 - отдал 1 последнее звено. Все. (Баллы: 6)

Юрий Иванов >> Задача не так проста как кажется на первый взгляд. Во-первых встает вопрос в понятии распила звена цепи. Возможны варианты, например, для цепи из 3х звеньев 1 2 3. Распилив звено 2 мы можем получить три цепочки по одному звену в каждом (вариант А) или 2 цепочки - 1 и 2 звена соответственно (вариант Б). Для цепочки из семи звеньев задача решается достаточно просто: Пусть есть цепочка из 7 звеньев - 1 2 3 4 5 6 7. Тогда для варианта А: пилим звено 3. Получаем 3 цепочки с 1, 2 и 4 звеньями в каждой (цепочка 1 - 1 2 звенья, 2 - 3 звено, 3 - звенья 4 5 6 7)
Оплата проводится следующим образом:
1 день отдал цепочку 2
2 день отдал цепочку 1, забрал цепочку 2
3 день отдал цепочку 2
4 день отдал цепочку 3, забрал цепочки 1 и 2
5 день отдал цепочку 2
6 день отдал цепочку 1, забрал цепочку 2
7 день отдал цепочку 2
Для варианта Б: необходимо два распила, чтобы отделить от цепи звено 3 и свести задачу к режиму оплаты.
В общем случае имеем цепь произвольной длины n.
Более простым вариантом является вариант Б, когда распил звена эквивалентен разделению цепочки на 2. В этом случае путешественник должен был поступить так:
1. Разделить цепочку пополам, если это возможно перейти к пункту 3.
2. Если невозможно распилить цепочку пополам (число звеньев нечетное), тогда распилить цепочку так, чтобы в одной части было на одно звено больше чем в другой
3. Взять одну из цепочек (для п. 1 все равно какую, для п. 2 взять цепочку меньшей длины)
4. Если длина выбранной цепочки больше 3 звеньев, то к выбранной цепочке применить манипуляции пп. 1-3. последнюю цепочку (2 или 3 звена) делим на две цепочки (1 и 1, или 1 и 2 звена соответственно). Покажем, что любой из дней может быть оплачен подобной комбинацией цепочек. По индукции:
База n=2 очевидно пилим посередке получили цепочку из 1 и 1 звена оплатить можно
n=3 аналогично распил 1 и 2 звена оплачены любые из 3х дней Пусть утверждение верно для всех n<=K. возможны два варианта
1) К+1 - не является степенью 2
2) К+1 - степень 2
Для случая 1, разделив цепочку в соответствии с алгоритмом приведенным ранее, получим log_2 (K+1) + 1 цепочек.
По предположению индукцию утверждение верно для n=K, лишнее звено присоединяется к одной из полученных цепочек таким образом, чтобы выполнялось следующее условие:
Пусть длина изменяемой цепочки - Р звеньев, тогда сумма звеньев, длина которых меньше Р должна быть больше либо равна Р-1 Для любой цепочки длина которой <= K утверждение верно по предположению индукции. Значит утверждение доказано.
Для случая 2, разделив цепочку в соответствии с алгоритмом приведенным ранее, получим log_2 (K+1) + 1 цепочек. из которых можно составить любое число до К+1 включительно
(у нас есть log_2 (K+1) + 1 чисел - степеней 2 и все очень просто, любое число представимо в двоичной системе исчисления)
Отсюда мораль - количество делений равно log_2 K где К максимальное число, которое получается возведением двойки в степень меньшее n.
Для варианта А, т.е. когда распил звена цепи приводит к образованию 3 цепочек из К, Р и 1 звена решение немного сложнее, но и проще Производим деление описанным ранее способом до тех пор пока длина минимальной цепочки (длина которой > 1 звена) не станет равной количеству одиночных звеньев отделенных в результате распила или больше их количества на единицу оплата аналогична предыдущему случаю только в качестве разменных монет используются одинарные звенья.
Ну и наконец возникает вопрос, а почему хозяин гостиницы не брал предоплаты. Тогда можно было бы вобще не пилить звенья . (Баллы: 6)

 
Задача No.183Сложность: 7
В пруд запустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?
 
Михаил Грудцын >> 7 щук съели 21 щуку, 2 остались голодными. (Баллы: 7)

Юрий Иванов >> Максимальное количество щук будет получено если голодные щуки будут поедать уже сытых к этому времени щук.
В начальный момент времени все щуки голодны.
Не ограничивая общности считаем, что наелась одна щука, съев 3 других она оставила 26 голодных щук,
Для того, чтобы наелась каждая следующая щука необходимо, чтобы она съела уже сытую и двух голодных. Ответ: В результате у меня получилось 14 сытых щук (Баллы: 7)

 
Задача No.184Сложность: 7
У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?
 
Михаил Грудцын >> Он завел свои настенные часы, и запомнил их показания, хотя они и неправильные. Придя к другу, он тут же посмотрел на его правильные часы, и запомнил время. Уходя, он опять посмотрел на его часы, и понял, сколько времени он пробыл в гостях. Вернувшись, он посмотрел на свои неправильные часы, вспомнил их показания, когда он уходил, и понял, сколько времени его не было дома. Отняв от времени отсутствия время пребывания в гостях, он получил время на дорогу туда и обратно, а разделив его пополам, получил время дороги. Теперь осталось сложить время ухода из гостей и время дороги в один конец, чтобы получить истинное время, которое он и поставил. (Баллы: 7)

Юрий Иванов >>
1. Перед выходом завел часы и посмотрел на время которое они показывали (Т1)
2. Придя к другу посмотрел на часы, запомнил время прихода (Т2)
3. Уходя от друга запомнил время ухода (Т3)
4. Придя домой посмотрел на время возвращения (Т4)
5. Определил время отсутствия дома (Т5 = Т4 - Т1)
6. Определил время нахождения у друга (Т6 = Т3 - Т2)
7. Определил время на дорогу в один конец (Т7 = (Т6 - Т5)/2)
8. Установил новое время (Т8 = Т3 + Т7)
С допущением что на дорогу туда и назад он затратил одно и то же время. (Баллы: 7)

 
Шуточные задачи

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Размещаю решения шуточных задач, присланные нашими читателями. Условия задач в предыдущем выпуске рассылки.
Куперман Марк Ефимович >>
Добрый день!
Я являюсь подписчиком "Математической помощи"; в конкурсах не участвую.
Хотелось бы узнать насчёт шуточной задачи 1 (У стола отпилили 1 угол+ Сколько углов останется?).
Думаю, что вопрос не очень простой. Авторского ответа я не знаю, но думаю, что правильнее было бы задать вопрос: сколько углов может быть у него теперь?
Ответ: Может остаться 5, 4 или 3 угла - в зависимости от того, как проходит линия распилки.
Поясню решение. Имеем прямоугольник АBCD (к сожалению, пока не могу привести чертёж на компьютере, сканера также нет). Допустим, нужно отпилить угол А. Линия распила должна пройти через точки на сторонах АВ и АD. Если эти точки не совпадают с конечными точками (В или D), то получим пятиугольник. Но одна из этих точек может совпасть с конечной точкой, и в этом случае мы получим трапецию (4 угла); кроме того, линия распила может пройти через 2 конечные точки (В и D), тогда получим треугольник.
Ни один из этих вариантов распила не противоречат условию задания (во всех вариантах отпиливается 1 угол), и данный ответ считаю верным. Думаю, если отпилить 2 угла (линия распила проходит через точки на двух сторонах, образующих этот угол), то число углов в новой фигуре может быть от 3-х до 6-ти; если отпилить 3 угла, то соответственно от 3-х до 7-ми.
Прошу написать, правильно ли это решение и можно ли предлагать это задание в другой конкурс?
(Коментарий ведущего: да, ваши рассуждения правильны. Правда, я не понял, о каких конкурсах вы говорите. Единственный "конкурс" - коллективное решение задач.)

Михаил Грудцын (+7 баллов) >>
1. Получится 5, 6, 7 и 8 углов.
2. 4 яблока, а морковь - это овощ.
3. Осталось 5 лампочек, только 2 из них уже не горят.
4. 2 детей - дочка и сын.
5. Смотря, чьи это башмаки.
6. Смотря, где стоят эти столы. Кроме того, ножек у стола может быть 4, 3 или 1.
7. У кошки не могут родиться щенята.
8. 4, потому что ужи - это не птицы.
9. Ни одного, потому что воробьи не могут сесть на воду.
10. У колеса углов не бывает.
11. Собаки читать не умеют.
12. Раз поднос уронили, то чашек не осталось ни одной.
13. На дубе яблоки не растут.
14. Петухи яиц не несут.
15. Бананы на елке тоже не растут.
16. У курицы 2 ноги, так же как у петуха. Поэтому гуляло 4 ноги.
17. 5 стаканов и стоит, только 1 пустой.
18. Вышитые ягоды нельзя съесть.
 
Анекдоты

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Лучший момент в жизни математика – это когда он уже вывел доказательство, но ещё не нашёл ошибки в расчетах.

Как говорил мой знакомый профессор математики: "математики бывают трех видов - те, кто умеют считать, и те, кто не умеют."

Издательством "Юный математик" выпущен трехтомник числа "Пи".

Чем шире кругозор, тем тупее угол обозрения.

Мальчика спрашивают:
-У тебя было шесть яблок. Половину ты отдал своему брату. Сколько яблок у тебя осталось?
- Пять с половиной.

Не только каждая проблема имеет хотя бы одно решение – каждое решение имеет хотя бы одну проблему.

Дорогие студенты! Помните, что деньги решают всё! Даже сложные дифференциальные уравнения.

Ключевой вопрос математики: не все ли равно?

- Профессор, задайте мне еще один дополнительный вопрос.
- Извольте. Вам известны условия пересдачи экзамена?!

Надо измерить объем коровы. Инженер помещает бедное животное в резервуар с водой. Математик задает функцию на поверхности. Физик говорит: предположим, корова сферически симметрична.

Лектор: "Теперь мы докажем теорему. Фактически я докажу это один. "
 
Информация

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Статья
Абитуриенту
Решения задач
Шуточные задачи
Анекдоты
Информация
 Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт, рассылка on-line дневник и т.п., вы можете разместить там ссылку на страницу моей рассылки (http://algebra.jino-net.ru). Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в начале выпусков рассылки. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если Вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у Вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.

Спасибо за внимание!
 
В избранное