Все выпуски  

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров
Статус: Профессор
Рейтинг: 537
∙ повысить рейтинг »
epimkin
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 354
∙ повысить рейтинг »
CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 40
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2626
Дата выхода:02.02.2020, 10:16
Администратор рассылки:Гордиенко Андрей Владимирович (Специалист)
Подписчиков / экспертов:119 / 107
Вопросов / ответов:2 / 3

Консультация # 197660: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Помогите решить задачу, пожалуйста!...
Консультация # 197662: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Помогите решить задачу, пожалуйста!...

Консультация # 197660:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Помогите решить задачу, пожалуйста!

Дата отправки: 28.01.2020, 10:01
Вопрос задал: nata (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, nata!
Дано : Подинтегральная область D ограничена линиями D : y1(x) = 3x2 , y2(x) = -3√x , x3=2 .
Подинтегральная функция : F(x,y) = 9·x2·y2 + 6·x·y
Вычислить двойной интеграл D∫F(x,y)dxdy
Решение : Кто забыл, как вычислять двойные интегралы, я советую почитать замечательную учебную статью "Двойные интегралы для чайников" Ссылка1 , где пошагово и с картинками разъяснены принципы вычисления, а также геометрический смысл двойного интеграла.
Следуя рекомендациям статьи, строим графики ограничительных кривых y1(x) , y2(x) и вертикальной прямой x3 = 2 .
Находим точки пересечения кривых, приравняв правые части их выражений:
3·x2 = -3√x
Возводим обе части в куб-степень: 27·x6 = -x
Получаем 2 корня x1 = 5√(-1/25) = -0,517 и x2=0 .
Оказывается, подинтегральная область D не простая, она состоит их 2х областей D1 + D2 (график приложен ниже).

В бОльшей области D1 переменная x изменяется в пределах от x2=0 до x3=2 ,
а переменная y - от y2(x) до y1(x) .

В мЕньшей области D2 переменная x изменяется в пределах от x1=-0,52 до x2=0 ,
а переменная y - от y1(x) до y2(x) . Мы получили пределы интегрирования.
Теперь можно от двойного интеграла перейти к последовательному вычислению суммы повторных интегралов по двум областям : D2 и D1 . Тут мы используем свойство двойных интегралов: Если область интегрирования D можно разбить на 2 области D1 и D2, то сам двойной интеграл можно разбить на сумму 2х интегралов, см формулу1 на приложенной картинке с формулами и графиком.

Также используем ещё одно свойство повторных инте гралов : внутреннй интеграл можно вычислять отдельно, чтоб не запутаться в сложных вычислениях и избавиться от громоздких выкладок. Сначала вычисляем внутреннй интеграл бОльшей области D1 по переменной y . При этом переменную x считаем константой. См формулу2 .

Подставляем пределы и получаем функцию из внутреннего интеграла I1 для области D1 :
I1y(x) = 81·x8 + 27·x5 + 3·x3 - 3·x(5/3)

Затем вычисляем внешний интеграл для области D1 : выражение I1y(x) интегрируем по x , см формулу3 .
Подставляем пределы и получаем число, соответствующее значению двойного интеграла I1 для области D1 :
I1 = 4908 - 9·2(2/3)/2 = 4900,9

Аналогично вычисляем внутреннй интеграл мЕньшей области D2. Формула его уже вычислена выше, надо только заменить пределы (формула4).
Затем вычисляем внешний интеграл для I2 области D2 (формула5).
Подставляем пределы от x1 до x2 и получаем число, соответствующее значению двойн ого интеграла I2 для области D2 : I2 = -0,1
Получилось маленькое число I2 << I1, поскольку малые значения x<0,6 возводятся в высокие степени.
Ответ : Двойной интеграл равен I1+I2 = 4900,9-0,1 = 4901 единиц.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 02.02.2020, 05:20
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 197662:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Помогите решить задачу, пожалуйста!

Дата отправки: 28.01.2020, 10:03
Вопрос задал: nata (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, nata!
Дано : две линии : x2 + y2 =4x , x2 + y2 =6x
Вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Решение : Да простят меня эксперты-математики за то, что лезу "не в свои сани" со своим Маткадом. Ваше "Помогите … пожалуйста" побудило помочь, как умею.
Задача Ваша совсем простая, если не полениться нарисовать плоский график двух заданных Вам функций. График прилагаю ниже:

Обе функции - окружности с центрами на оси OX .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями - значит получить разность площадей двух кругов.
2 варианта решения возвратили одинаковые результаты.
Ответ : Искомая площадь равна 15,7 квадратных единиц.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 28.01.2020, 15:55

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 30.01.2020, 14:23

Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!


Консультирует epimkin (Бакалавр):

Здравствуйте, nata!
Вычисление при помощи введения полярных координат

Консультировал: epimkin (Бакалавр)
Дата отправки: 30.01.2020, 16:41
Прикреплённый файл: посмотреть » [4.46 Mб]

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 30.01.2020, 17:02

Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +2 одобряю!


Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!


В избранное