Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по дискретной математике

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 106 RSS
←   Ноябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru/issues/8/19/525
Открыта: 17-04-2009

Автор
Калашников О.А.

Статистика

106 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Дискретная математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессор
Рейтинг: 3537
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1411
∙ повысить рейтинг » 		Lang21
Статус: Профессионал
Рейтинг: 307
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Дискретная математика

Номер выпуска:146
Дата выхода:17.11.2009, 07:30
Администратор рассылки:Alexey G. Gladenyuk, Управляющий
Подписчиков / экспертов:107 / 40
Вопросов / ответов:1 / 1

Вопрос № 174156: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Заранее спасибо! Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на частей четырьмя красками, так чтобы в первый цвет были окрашены 3 части, во второй – 2, в третий – 3 части, в четвертый – 1часть...

Вопрос № 174156:

Здравствуйте, уважаемые эксперты!
Заранее спасибо!

Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на частей четырьмя красками, так чтобы в первый цвет были окрашены 3 части, во второй – 2, в третий – 3 части, в четвертый – 1часть?

Сколько различных натуральных чисел можно получить, используя цифры 2,3,4,5,6?

Отправлен: 12.11.2009, 07:28
Вопрос задал: Волков Сергей Юриевич, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор :
Здравствуйте, Волков Сергей Юриевич.

1. Пусть квадрат разделен на 3 + 2 + 3 + 1 = 9 частей. Будем рассматривать каждую из этих частей как ячейку, в которую можно поместить одну из цифр множества {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}. Для нахождения искомого числа способов раскраски квадрата (или, в нашей интерпретации, числа способов размещения цифр в ячейках) проще всего воспользоваться формулой для числа перестановок с повторениями.

Имеем множество, состоящее из девяти элементов (n = 9): {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}. Элемент «1» повторяется n1 = 3 раза, элемент «2» повторяется n2 = 2 раза, элемент «3» повторяется n3 = 3 раза, элемент «4» повторяется n4 = 1 раз. Тогда эти элементы можно разместить по девяти ячейкам
P9(3, 2, 3, 1) = 9!/(3!2!3!1!) = 5040 способами.

2. Даже используя одну цифру, можно получить бесконечное множество различных натуральных чисел. Например, используя цифру 1, можно получить чис ла 1, 11, 111, … . И используя несколько различных цифр, можно получить бесконечное множество различных натуральных чисел.

По-видимому, интереснее другая трактовка задачи. Например, сколько различных натуральных чисел, не более чем пятизначных, можно получить, используя цифры 2, 3, 4, 5, 6?

В данном случае имеется множество, состоящее из пяти элементов. Эти элементы, как взятые порознь, так и в различных комбинациях друг с другом, образуют одно-, двух-, трех-, четырех- и пятизначные натуральные числа. Общее количество различных чисел равно сумме количеств различных одно-, двух-, …, пятизначных чисел.

Рассмотрим отдельно два случая.

2.1. Все цифры в записи чисел разные.
Тогда
- имеется A51 = 5!/(5 – 1)! = 5!/4! = 5 различных однозначных натуральных чисел. Их легко перечислить: 2, 3, 4, 5, 6;
- имеется A52 = 5!/(5 – 2)! = 5!/3! = 20 различных двузначных натуральных чисел;
- имеется A53 = 5!/(5 – 3)! = 5!/2! = 60 различных трехзначных натуральных чисел;
- имеется A54 = 5!/(5 – 4)! = 5!/1! = 120 различных четырехзначных натуральных чисел;
- имеется A55 = 5!/(5 – 5)! = 5!/0! = 120 различных пятизначных натуральных чисел.
Всего имеется
5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 различных натуральных чисел.

К такому же ответу можно придти, используя правило умножения. Количество однозначных натуральных чисел равно количеству элементов (5). Количество различных двузначных чисел равно произведению числа способов, которыми можно получить первую цифру в записи двузначного числа, на количество способов, которыми можно получить вторую цифру, т. е. 5 ∙ 4 = 20. Количество трехзначных чисел равно 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60. Количество четырехзначных чисел равно 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = 120. Количество пятизначных чисел равно 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120. Всего можно получит ь 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 различных натуральных чисел.

2.2. Цифры в записи чисел могут повторяться.
Тогда, используя правило умножения, находим:
- количество однозначных натуральных чисел равно пяти;
- количество двузначных натуральных чисел равно 5 ∙ 5 = 52 = 25;
- количество трехзначных натуральных чисел равно 5 ∙ 5 ∙ 5 = 53 = 125;
- количество четырехзначных натуральных чисел равно 54 = 625;
- количество пятизначных натуральных чисел равно 55 = 3125.
Всего имеется
5 + 25 + 125 + 625 + 3125 = 3905 различных натуральных чисел.

К такому же ответу можно придти, используя комбинаторные формулы для схемы выбора с повторениями:
- имеется ‾A51 = 51 = 5 однозначных натуральных чисел;
- имеется ‾A52 = 52 = 25 двузначных натуральных чисел…

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор
Ответ отправлен: 14.11.2009, 10:22

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 256485 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.10 от 13.11.2009
    В избранное