Здравствуйте!

Сегодня в выпуске решения задач из выпуска No14:

• После соревнований
• Расписание дежурств
• Четыре девушки

Дополнительные варианты решения первой и третьей задач будут представлены на следующей неделе. Обратите внимание на задачу "Расписание дежурств". К ней приведено журнальное решение, которое, на мой взгляд, не является оптимальным и убедительным. Попробуйте найти в нем упущения. Оказалось, что есть два ответа. Все, кто присылал свои ответы, указали только один вариант, кроме Владимира, решение которого приведено после задачи (возможно вам удастся в нем разобраться). Будьте внимательны!

После соревнований

На городских соревнованиях пять первых мест заняли спортсмены нашего завода - Андреев, Борисов, Васильев, Данилов и Емельянов.

Вот что известно о распределении мест между ними.

1. Борисов занял место, которое настолько же ниже места, занятого токарем, на сколько место, занятое слесарем, ниже места, занятого Борисовым.
2. Электрик занял место на три позиции выше, чем Васильев.
3. Андреев занял четное место, а литейщик - нечетное.
4. Столяр занимает место на две позиции выше, нежели Емельянов.

В каком порядке распределились места между пятью спортсменами?
Какая профессия у каждого из них?

Ответ:

1 место - электрик Данилов
2 место - токарь Андреев
3 место - столяр Борисов
4 место - слесарь Васильев
5 место - литейщик Емельянов

Ответы и решения прислали:

1. "." <necris-warrior>
2. Вячеслав Ханин
3. Лапина Н.А.
4. Andrew Kuksov
5. Светлана (Воронеж)
6. Vladimir
7. Анатолий Малиновский (UA)

Светлана:

1. Из условия 2 следует, что Васильев занял либо 4, либо 5 место.

Следовательно, Электрик либо 1, либо 2 место.

2. Из условия 4 следует, что Емельянов занял 3, 4 или 5 место

Следовательно столяр - 1,2,3 место.

3. Из условия 1 следует, следующие варианты:

Если разница между местами равна 1, то слесарь Борисов токарь
а) 4 3 2 места
б) 5 4 3
в) 3 2 1
Если разница между местами равна 2, то слесарь Борисов токарь
г) 5 3 1

Решение I.

1а) Из 1 пункта выберем вариант, когда Васильев занял 4 место. Тогда Электрик занял 1 место.
2а) Из 2 пункта выберем вариант, когда Емельянов занял 3 место. Тогда Столяр занял 5 место.
3а) Из 3 пункта остается вариант, когда Борисов занял 2 место. Но получится, что токарь занял 1 место, а его занял Электрик. Следовательно, неправильный вариант.
Возвращаемся к п. 2а)
4а) Из 2 пункта выберем вариант, когда Емельянов занял 5 место. Тогда Столяр занял 3 место.
5а) Из 3 пункта можно выбрать варианты а),в) или г).
Проверим вариант а) когда Борисов занимает 3 место.
Тогда, токарь занял 2 место, а слесарь - 4 место.
Следовательно, Васильев может быть слесарем и занимать 4 место.
Борисов занимает 3 место, тогда из п.4а) он является Столяром
Имеем, Токарь занял 2 место, из п. 4а) Емельянов занял 5 место
из п.1а) Электрик занял 1 место.
Из условия 3 Андреев занял четное место, следовательно он токарь и занял 2 место.
Из условия 3 литейщик - нечетное место, следовательно - это Емельянов.
Остается Данилов, который является электриком и занимает 1 место.
Остальные варианты решений проверяются таким же образом.

Vladimir:

из (1) 1а т=1,2,3 1б с=3,4,5 и 1с разность с-т четна (2 или 4)
из (2) 2а э=1,2
из (3) 3а л=1,3,5
из (4) 4а ст=1,2,3
отсюда,
4 место может быть только у слесаря: с=4 и из 1с т=2 и из 1 у Борисова третье.
из 2а э=1 (второе) уже у токаря и из 4а ст=3 значит он Борисов
литейщику осталось 5 место
Получаем таблицу

э = 1
т = 2
ст = 3 Борисов
с = 4
л = 5

из (4) и таблицы Емельянов - 5 место, литейщик.
из 2 - Васильев 4-слесарь
из 3 Андрееву остается оставшееся четное, то есть 2-е - токарь
Электрику осталось быть Даниловым на первом месте.
И как писалось выше Борисов-столяр-3е место.

Расписание дежурств

Библиотека в нашем микрорайоне открыта по вечерам все дни, кроме субботы и воскресенья. Расписание дежурств пяти библиотекарей составлено так, что каждый вечер дежурят двое, причем ни одна пара не дежурит дважды в неделю, а каждый библиотекарь занят два вечера в неделю.

Анна и Борис недавно обвенчались и, конечно, очень рады тому, что в один из вечеров могут побыть вместе на работе. А Семен и Елена недавно развелись и ни один вечер не дежурят вместе.

Один из пятерых работает по понедельникам и вторникам. Никто не работает подряд в четверг и пятницу. Один из той пары, которая работает в среду, дежурит в один из других дней с Дмитрием. Борис занят по четвергам, а Елена по четвергам не дежурит. В какой бы вечер вы ни пришли, обязательно застанете в библиотеке по крайней мере одного из троицы: Бориса, Дмитрия, Елену.

Попробуйте восстановить расписание дежурств в библиотеке, если мы подскажем, что Дмитрий дежурит в понедельник.

Решение, приведенное в журнале:

Начнем с Бориса. Он дежурит в четверг, значит, в пятницу он не занят (см. условие). Дмитрий в среду не работает (см. условие). Значит, в этот день должны дежурить либо Борис, либо Елена (либо они оба). Это следует из условия: в любой день в библиотеке находится кто-нибудь из троицы: Борис, Дмитрий, Елена. А в пятницу должны дежурить либо Дмитрий, либо Елена, либо они оба. Значит, ни Дмитрий, ни Елена не дежурят в понедельник и во вторник подряд. Не дежурит в эти дни подряд и Борис. Следовательно, в понедельник и во вторник работает Семен или Анна.

Допустим, что это дежурство выпало на долю Семена. Тогда ясно, что в понедельник дежурит пара Семен и Дмитрий. Во вторник Дмитрий дежурить не может, в среду - тоже. Елена во вторник дежурить не будет. Значит, во вторник должен дежурить Борис (он остался единственным из троицы). Найдена еще одна пара: во вторник дежурят Семен и Борис. Теперь ясно, что в четверг Борис дежурит вместе с Анной. Для Дмитрия единственный день второго дежурства - пятница, а для Елены остались среда и пятница. Следовательно, в пятницу дежурят Елена и Дмитрий, а в среду - Анна и Елена. Вот и все.

Ответы и решения прислали:

1. Вячеслав Ханин
2. Лапина Н.А.
3. Andrew Kuksov
4. Светлана (Воронеж)
5. Vladimir
6. Анатолий Малиновский (UA)

Vladimir:

0) Расписание дежурств пяти библиотекарей составлено так, что каждый вечер дежурят двое, причем ни одна пара не дежурит дважды в неделю, а каждый библиотекарь занят два вечера в неделю.
1) Анна и Борис недавно обвенчались и, конечно, очень рады тому, что в один из вечеров могут побыть вместе на работе.
2) А Семен и Елена недавно развелись и ни один вечер не дежурят вместе.
3) Один из пятерых работает по понедельникам и вторникам.
4) Никто не работает подряд в четверг и пятницу.
5) Один из той пары, которая работает в среду, дежурит в один из других дней с Дмитрием.
6) Борис занят по четвергам,
7) а Елена по четвергам не дежурит.
8) В какой бы вечер вы ни пришли, обязательно застанете в библиотеке по крайней мере одного из троицы: Бориса, Дмитрия, Елену.
9) Дмитрий дежурит в понедельник.

из 6 7 9 получим исходное расписание

5 - - - - -
4 - 1 - - 0
3 - - - - -
2 - - - - -
1 - - - 1 -
  а б с д е

1 обозначает дежурство, а 0 - выходной.

д1 б4 обозначает что дима работает в пн. и борис в чт. (в расписании на этих полях будут 1), а "-е4" обозначает что елена в четверг не дежурит (в расписании будет 0)

из 5) и 0) получаем -д3 (сокращенно 5(0)-д3)
б4(4)-б5 (это будет означать что из б4 и 4) следует -б5 )

5 - 0 - - -
4 - 1 - - 0
3 - - - 0 -
2 - - - - -
1 - - - 1 -
  а б с д е

Конечная цель - составить таблицу чтобы в каждой строке и в каждом столбце было по две единицы. Если две единицы появились, строку или столбец дополняем нулями. Практически удобно делать это на шахматной доске, заполняя ее черными и белыми фигурами.

а и б могут работать вместе только вт, ср или чт. (из-за д1 и -б5)

Пусть вторник
а2,б2(0)-с2,-д2,-е2 (3) а1 (0) а1 д1 -б1 -с1 -е1
таким образом для с и е пн и вт запрещены и в оставшиеся 3 дня им не разместиться.- см 2)

Пусть среда, тогда
а3 б3(0)-с3 -д3 -е3 -b1 -b2

5 - 0 - - -
4 - 1 - - 0
3 1 1 0 0 0
2 - 0 - - -
1 - 0 - 1 -
  а б с д е

в пн и вт одновр. (3) могут быть только с или д или е
если с то у е нет места
если е то для с останутся чт и пт- противоречие (4).
если д то для е один из дней пт
е5(2)-с5(0)а5
с другой стороны из 5 получаем а2 либо а1. Поскольку а3 уже есть то на а в таблице получается три единицы - противоречие.
таким образом д1 д2 невозможно и а3 б3 тоже невозможно.

Таким образом для а и б вместе доступен только чт. (а4 б4 и -с4 -д4 -е4)

5 - 0 - - -
4 1 1 0 0 0
3 - - - 0 -
2 - - - - -
1 - - - 1 -
  а б с д е

либо д2 либо д5

если д2
д2(0)-д5(8)е5(2)-с5(0)а5
а4 и а5 противоречие с 4)

значит д5 (и -д2)

5 - 0 - 1 -
4 1 1 0 0 0
3 - - - 0 -
2 - - - 0 -
1 - - - 1 -
  а б с д е

Значит пн и вт вместе либо у е либо у с ( тогда у другого ср и пт)
Первый случай е1 е2
Если е1,е2(2)с3,с5(0)-е3 -е4 -е5 -с1 -с2 -а1 -b1

5 0 0 1 1 0
4 1 1 0 0 0
3 - - 1 0 0
2 - - 0 0 1
1 0 0 0 1 1
  а б с д е

из 8) и из таблицы следует что б3 и откуда -б2, -а3, а2
Окончательно

5 0 0 1 1 0
4 1 1 0 0 0
3 0 1 1 0 0
2 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1
  а б с д е

Второй случай с1 с2
с1,с2(2)е3,е5(0)-с3 -с4 -с5 -е1 -е2 -а1 -b1

5 0 0 0 1 1
4 1 1 0 0 0
3 - - 0 0 1
2 - - 1 0 0
1 0 0 1 1 0
  а б с д е

из 8) и из таблицы следует что б2 и откуда -б3, а3, -а2

Окончательно ответы

5 0 0 0 1 1
4 1 1 0 0 0
3 1 0 0 0 1
2 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0
  а б с д е

5 0 0 1 1 0
4 1 1 0 0 0
3 0 1 1 0 0
2 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1
  а б с д е

Четыре девушки

Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (пианино, виолончели, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий, испанский), но каждая только один. Известно:

1. Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански.
2. Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка.
3. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского языка.
4. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели.
5. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет? Кто какой знает язык?

Ответ:

Марина играет на гитаре и знает испанский
Лариса играет на пианино и знает немецкий
Жанна играет на виолончели и знает французский
Катя играет на скрипке и знает английский

Ответы и решения прислали:

1. Вячеслав Ханин
2. Andrew Kuksov
3. Лапина Н.А.
4. Светлана (Воронеж)
5. Коченкова Вика (Якутск)
6. Vladimir
7. Анатолий Малиновский (UA)

Светлана:

На скрипке не играют ни Лариса, ни Марина, ни Жанна, следовательно на ней играет Катя.
Лариса и Марина играют либо на гитаре, либо на пианино.
Следовательно, на виолончели играет Жанна, которая знает французский язык.
Марина не знает ни немецкого, ни английского, остается испанский и следовательно она играет на гитаре.
Значит Лариса играет на пианино, а т.к. она не знает английского, остается немецкий язык.
И остается английский язык - его знает Катя.

Коченкова Вика:

1. Английский по условию не знают Лариса и Марина, а Жанна говорит по-французски.
Значит, по-английски говорит Катя.
2. Раз немецкого не знают ни Жанна, ни Марина, ни Катя, значит по-немецки говорит Лариса.
3. Само собой разумеется, что Марина говорит по-испански и играет на гитаре.
4. Если Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели, ни на гитаре, то она играет на пианино.
5. Жанна не играет на скрипке, не играет на гитаре и не играет на пианино, т. е. играет на виолончели.
6. Остается, что Катя играет на скрипке.

Vladimir:

из 5 и 3 и 1 =>
Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского языка. И французского тоже. Следовательно она гитаристка и "испанка". Ее можно дальше не рассматривать. Как гитару и испанский.

Остались 3 девушки и три языка и три утверждения:

2) Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка.
4) Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели.
5) Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.

Из 2 Ларисе осталось только ф-но, а вместе с 5 остается немецкий.
Осталось 2 девушки.

Условие 4 оказалось лишним но ничему не противоречащим.
Из 5 Жанне остается только виолончель и французский.

Кате достались английский и скрипка.