Сформулируем проблему выбора инвестиционного портфеля. Начальные данные:

• в начальный момент инвестор имеет некоторую конкретную сумму для инвестирования;
• рассматривается инвестиция на строго определенный промежуток времени - покупка некоторого набора ценных бумаг на N лет (период владения, holding period);
• в конце периода владения инвестор продает все ценные бумаги, которые были куплены в начале периода.

Требуется:

• выбрать оптимальный портфель (набор ценных бумаг) из множества возможных портфелей.
  

Напомним некоторые моменты, которые мы рассматривали в прошлом выпуске нашей рассылки.

Рассматривается инвестиция на N лет. Если Vo - начальная стоимость инвестиции, а V - конечная стоимость, то фактической доходностью за период N лет называют число r, удовлетворяющее равенству: Vo*(1+r)=V, т.е. r=(V/Vo)-1.

В случае, когда конечная стоимость V не известна, рассматривают ожидаемую доходность  за период N лет - r=(E(V)/Vo)-1, где E(V) - ожидаемая стоимость в конце периода (математическое ожидание случайной величины V). Формула ожидаемой стоимости в конце периода (для конечного числа состояний) имеет вид: E(V)=P1*V1+P2*V2+…+Pn*Vn, где Vi, i=1,…,n, - все возможные значения стоимости инвестиции в конце периода, Pi - вероятность того, что в конце рассматриваемого периода стоимость инвестиции равна Vi (V=Vi), i=1,…,n, P1+…+Pn=1. Таким образом, ожидаемая доходность учитывает фактор неопределенности конечной стоимости V и дает оценку средней величины доходности за рассматриваемый период N лет.

С понятием доходности неразрывно связано понятие риска, характеризующее неопределенность конечного результата инвестиций - возможные отклонения фактической доходности от ожидаемой величины. Основываясь на множестве возможных исходов (прогнозируемых значений доходности), сопровождаемых оценками вероятностей данных исходов, в качестве меры риска рассматривают дисперсию и стандартное отклонение доходности как случайной величины. Справедливы следующие формулы, дающие оценку дисперсии и стандартного отклонения доходности (для конечного числа состояний): , E(R)=P1*R1+P2*R2+…+Pn*Rn, где Ri, i=1,…,n, - все возможные значения доходности инвестиции R в конце периода, Pi - вероятность того, что в конце рассматриваемого периода доходность будет равна Ri (R=Ri), i=1,…,n, P1+…+Pn=1,  - дисперсия доходности,  - стандартное отклонение доходности.

Более подробно о риске и доходности см. в предыдущем выпуске - Выпуск №5 Риск и доходность инвестиций.

Ненасыщаемость (nonsatiation), избигание риска (risk-aversion), кривые безразличия (indifference curve)

В рамках подхода Марковитца используются следующие два предположения о поведении инвесторов:

• предположение о ненасыщаемости (nonsatiation) - из двух портфелей идентичных по всем показателям за исключением ожидаемой доходности, инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью;
• предположение об избегании риска (risk-aversion) - из двух портфелей идентичных по всем показателям за исключением значения стандартного отклонения доходности (степени риска), инвестор выберет портфель с наименьшим значением стандартного отклонения доходности (т.е. имеющий меньший риск).

Проводилось достаточно много исследований с целью проверки данных предположений (как общего плана, так и применительно к фондовому рынку) - в целом результаты этих исследований не противоречат гипотезам ненасыщаемости (nonsatiation) и избегания риска (risk-aversion). С практической точки зрения это означает, что рациональный инвестор вправе рассчитывать на  большую ожидаемую доходность при инвестировании в более рискованный актив (при прочих равных условиях).

Тем не менее, не следует предполагать, что степень избегания риска (risk-aversion) одинаковая у всех инвесторов. Отношение инвесторов к риску принято отображать, используя кривые безразличия (indifference curve) - двухмерные графики, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение доходности, а по вертикальной оси - необходимое вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность. Таким образом, кривая безразличия для рассматриваемого инвестора характеризует требуемое инвестором вознаграждение от инвестиций с заданным уровнем риска, иначе говоря, задает величину требуемого дополнительного вознаграждения за единицу дополнительного риска. Именно кривые безразличия часто используют при выборе (на основе значений риска и доходности) между двумя активами с различной величиной как доходности так и риска.

Более подробное обсуждение гипотезы избегания риска (risk-aversion) см. в предыдущем выпуске - Выпуск №5 Риск и доходность инвестиций.

Доходность портфеля ценных бумаг

Все вычисления доходности портфеля основаны на следующем математическом утверждении: математическое  ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий данных случайных величин. Применительно к стоимости портфеля это утверждение имеет достаточно прозрачную форму - ожидаемая стоимость портфеля ценных бумаг равна сумме ожидаемой стоимости каждой из ценных бумаг, входящих в портфель.

Проиллюстрируем вычисление доходности портфеля на примере портфеля из трех акций.
Пример (ожидаемая доходность портфеля, состоящего из трех акций) Инвестор в начале года приобрел 100 акции компании A,  200 акций компании B, и 100 акций компании C по цене 40 у.е., 35 у.е. и 62 у.е. за акцию A, B, C соответственно. Инвестор ожидает, что в конце периода стоимость одной акции компании A составит 46.48 у.е., B - 43.61 у.е., C - 76.14 у.е. Вычислим ожидаемую доходность инвестиционного портфеля инвестора: начальная стоимость портфеля Vb=100*40+200*35+100*62=17200; ожидаемая стоимость портфеля в конце периода Ve=100*46.48+200*43.61+100*76.14=20984; таким образом, r=(Ve/Vb)-1=0.22 (22%).

Часто применяется альтернативный метод вычисления ожидаемой доходности портфеля на основе доходности входящих в него ценных бумаг. Рассмотрим этот метод для вышеприведенного примера. Вычислим долю акций компаний A, B, C в общей стоимости портфеля на начало года, имеем: w1=100*40/17200=0,2325 (23,25%) - доля акций компании A, w2=200*35/17200=0,4070 (40,70%) - доля акций компании B, w3=100*62/17200=0,3605 (36,05%) - доля акций компании C. Отметим, что в силу определения w1+w2+w3=1. Вычислим доходность акций компаний A, B, C по итогам года, имеем, r1=(46,48/40)-1=0,162 (16,2%) - доходность акций компании A, r2=(43,61/35)-1=0,246 (24,6%) - доходность акций компании B, r3=(76.14/62)-1=0,2281 (22,81%) - доходность акций компании C. Стоимость портфеля на конец года задается формулой Ve=(w1*Vb)*(1+r1)+(w2*Vb)*(1+r2)+(w3*Vb)*(1+r3), поэтому доходность портфеля имеет следующий вид r=(Ve/Vb)-1=w1*(1+r1)+w2*(1+r2)+w3*(1+r3)-1=w1*r1+w2*r2+w3*r3=0,22.

Полученное равенство справедливо и в общем случае, а именно: ожидаемая доходность портфеля всегда равна сумме ожидаемой доходности каждой ценной бумаги, входящей в портфель, взвешенной на долю данной ценной бумаги в общей стоимости портфеля на начало периода инвестирования.

Риск портфеля и ковариационная матрица доходности

Т.к. сложность вычисления дисперсии портфеля (используя определение) растет экспоненциально с увеличением числа бумаг входящих в портфель, хотелось бы иметь оценку дисперсии исходя из оценок дисперсии доходности ценных бумаг входящих в портфель. Т.е. получить формулу аналогичную той, которую мы получили для ожидаемой доходности портфеля. Однако дисперсия доходности портфеля ценных бумаг отнюдь не всегда совпадает с взвешенной суммой дисперсий ценных бумаг, входящих в портфель. Математически это означает, что дисперсия суммы случайных величин отнюдь не всегда совпадает с суммой дисперсий данных случайных величин. Этот факт можно проиллюстрировать на примере игры в "орлянку".
Пример (игра в "орлянку") Рассматривается игра в "орлянку". В этой игре каждый из участников несет определенный риск. Однако выигрыш первого игрока является проигрышем второго и наоборот, т.е. сумма выигрышей игроков равна тождественно нулю. Соответственно и дисперсия суммы выигрышей равна нулю притом, что дисперсия выигрыша каждого из игроков отлична от нуля.

Как видно из примера, при вычислении дисперсии доходности (риска) портфеля существенную роль играет не только сами значения дисперсии доходности ценных бумаг входящих в портфель, но и взаимосвязь между доходностью рассматриваемых ценных бумаг.

В качестве меры характеризующей взаимосвязь между двумя случайными величинами принято использовать коэффициент ковариации. Рассмотрим две случайные величины X и Y, для которых известно множество пар значений (X,Y), которые могут принимать X и Y, с оценками вероятностей данных событий (того, что выпадет данная пара значений): (X1,Y1) с вероятностью P1, (X2,Y2) - P2, …, (Xn,Yn) - Pn, P1+…+Pn=1. Ковариацией случайных величин X и Y называется величина Cov(X,Y), равная математическому ожиданию произведения случайных величин X-E(X) и Y-E(Y), т.е. Cov(X,Y)= E((X-E(X))*(Y-E(Y)))=(X1-E(X))*(Y1-E(Y))*P1+(X2-E(X))*(Y2-E(Y))*P2+…+(Xn-E(X))*(Yn-E(Y))*Pn, где E(X), E(Y) - математическое ожидание случайных величин X и Y соответственно.

Коэффициент ковариации может принимать как положительное значение, так и отрицательное. Применительно к доходности ценных бумаг: положительное значение ковариации означает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одном направлении; отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию изменяться в противоположном направлении; нулевое  или относительно небольшое значение ковариации означает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слабо выражена.

Нельзя не упомянуть также о другой общепринятой характеристике взаимосвязи - коэффициенте корреляции Corr(X,Y), который равен коэффициенту ковариации  нормированному на стандартное отклонение случайных величин X и Y, т.е. Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/(std(X)*std(Y)). В отличие от коэффициента ковариации коэффициент корреляции безразмерен (т.е. не изменяется при изменении единицы измерения X и Y) и может принимать значения только из интервала от -1 до 1 включительно.

Проиллюстрируем понятие коэффициента ковариации (корреляции) на примере трех частных случаев:

• если случайные величины X и Y совпадают, коэффициент ковариации X и Y равен дисперсии X (Y), а коэффициент корреляции равен 1, т.е. Cov(X,Y)=D(X), Corr(X,Y)=1;
• если X=-Y, то Cov(X,Y)=-D(X), Corr(X,Y)=-1;
• если X и Y - независимые случайные величины, то Cov(X,Y)=0, Corr(X,Y)=0.

Рассмотрим портфель P, который представляет собой набор k ценных бумаг. Обозначим через Wi долю ценной бумаги i в общей стоимости портфеля P на начало года, i=1,…,k, W1+…+Wk=1. Как мы отмечали выше, для вычисления дисперсии доходности портфеля необходимо знать коэффициент ковариации всевозможных пар доходности ценных бумаг входящих в портфель. Данные ковариации пар принято записывать в виде ковариационной матрицы CovP размерности (k,k), в которой на пересечении i-ой строки и j-го столбца находится коэффициент ковариации доходности i-ой ценной бумаги Xi и доходности j-ой ценной бумаги Xj, т.е. CovP(i,j)=Cov(Xi,Xj), i,j=1,…,k.

Для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин X и Y - D(X+Y) - справедливо следующее основополагающее тождество: D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2*Cov(X,Y). Данное равенство можно продолжить на произвольное число слагаемых, что позволяет вычислять дисперсию доходности портфеля P используя следующую формулу:

Отметим несколько свойств ковариационной матрицы:

• ковариационная матрица является симметричной матрицей, т.е. элементы матрицы расположенные над диагональю повторяются в соответствующих ячейках расположенных под диагональю: CovP(i,j)=CovP(j,i) (=Cov(Xi,Xj) в силу определения), i,j=1,…,k;
• ковариационная матрица не отрицательно определена; это утверждение следует из того, что дисперсия любой случайной величины, в частности D(P), не отрицательна.

Проиллюстрируем применение вышеуказанной формулы для вычисления дисперсии доходности портфеля P на примере случаев k=2 и k=3.
Следствие (дисперсия доходности портфеля, состоящего из двух ценных бумаг) Для случая k=2 имеем D(P)=W1*W1*D(X1)+2*W1*W2*Cov(X1,X2)+W2*W2*D(X2).
Следствие (дисперсия доходности портфеля, состоящего из трех ценных бумаг) Для случая k=3 имеем D(P)=W1*W1*D(X1)+2*W1*W2*Cov(X1,X2)+2*W1*W3*Cov(X1,X3)+W2*W2*D(X2)+2*W2*W3*Cov(X2,X3)+W3*W3*D(X3).

Эффект диверсификации

Риск, с которым связано владение активом, можно разделить на две части - рыночный риск (системный, недиверсифицируемый риск) и специфический риск (нерыночный, диверсифицируемый риск). Рыночный риск  связан с динамикой экономики в целом, с общезначимыми событиями (война, революция, смена президента и т.п.) - например, если в экономики наблюдается спад, то это отражается и на доходности финансовых инструментов. Рыночный риск нельзя  исключить, т.к. это риск всей системы. Специфический риск связан с индивидуальными особенностями конкретного актива, а не состоянием рынка в целом - например, владелец акции предприятия подвергается риску потерь в связи с забастовкой на данном предприятии, некомпетентностью его руководства и т.п. Подобный риск можно свести практически к нулю за счет выбора широко диверсифицированного портфеля, т.е. инвестировать деньги в акции не одной единственной компании, а в акции сразу нескольких (специально выбранных) компаний.

Напомним, что в теории, в рамках модели CAPM, предполагается, что специфический риск не подлежит вознаграждению в виде большей ожидаемой доходности, т.к. его можно устранить за счет диверсификации. Что касается рыночного риска, то инвестор вправе рассчитывать на вознаграждение за рыночный риск инвестиций в виде большей ожидаемой доходности (при прочих равных условиях).

Чтобы проиллюстрировать идею диверсификации рассмотрим две ценные бумаги A, B с одинаковой ожидаемой доходностью E(A)=E(B) и одинаковым уровнем риска, характеризуемым дисперсией доходности D(A)=D(B).

Выберем из множества портфелей, содержащих только ценные бумаги A и B, оптимальный портфель исходя из соотношения ожидаемой доходности и уровня риска, характеризуемого дисперсией доходности портфеля.

В данном случае, выбор оптимального портфеля эквивалентен выбору долей Wa, Wb ценных бумаг A и B в общей стоимости портфеля на начальный момент инвестиции, Wa+Wb=1. В силу условия ожидаемая доходность портфеля постоянна и равна ожидаемой доходности каждой из ценных бумаг, действительно (см. также выше - Доходность портфеля ценных бумаг), E(P)=Wa*E(A)+Wb*E(B)=E(A)*(Wa+Wb)=E(A). Таким образом, оптимальный портфель следует выбирать из условия минимизации дисперсии доходности портфеля.

Как мы отмечали выше (см. Риск портфеля и ковариационная матрица доходности) для вычисления дисперсии портфеля необходимо знать значение коэффициента ковариации ценных бумаг A и B - Cov(A,B) или коэффициента корреляции, в данном случае - Corr(A,B)=Cov(A,B)/D(A).

Имеем, D(P)=Wa*Wa*D(A)+2*Wa*Wb*Corr(A,B)*D(A)+Wb*Wb*D(A)=D(A)*(Wa+Wb)* (Wa+Wb)-2*Wa*Wb*D(A)(1-Corr(A,B))=D(A)*(1-2*Wa*Wb*(1-Corr(A,B))).

Так как коэффициент корреляции, в частности Corr(A,B), находится в пределах от -1 до 1 включительно, поэтому дисперсия портфеля D(P), включающего ценные бумаги A и B в любой пропорции, в любом случае не превосходит дисперсию D(A) (=D(B)) ценной бумаги А (B).

В случае, когда Corr(A,B)=1 (например, в случае, когда доходность ценной бумаги A всегда совпадает c доходностью ценной бумаги B), как и естественно было ожидать D(P)=D(A) не зависимо от выбора Wa, Wb.
 
В случае, когда Corr(A,B)<1, для положительных значений Wa и Wb, Wa+Wb=1, дисперсия доходности портфеля D(P) будет строго меньше дисперсии доходности каждой из ценных бумаг входящих в портфель D(A) (=D(B)), причем минимум D(P)=D(A)*(1+Corr(A,B))/2 будет достигаться для Wa=Wb=1/2 (данные значения максимизируют произведение Wa*Wb при наличии ограничения Wa+Wb=1).

Таким образом, в случае, когда Corr(A,B)<1, включив в портфель P ценные бумаги A и B в равной пропорции, получим портфель с той же доходностью E(P)=E(A)=E(B), что и в случае инвестирования в одну ценную бумагу A (B), однако дисперсия доходности D(P) (соотв. риск портфеля) будет строго меньше дисперсии доходности ценной бумаги A (B). Более того, в случае, когда Corr(A,B)=-1, оптимальный портфель будет иметь нулевую дисперсию - это означает, что  вероятность получить доходность отличную от ожидаемой равна нулю - безрисковая инвестиция.

Correlation risk

При практическом применении концепции диверсификации нельзя забывать, что все вышеизложенные рассуждения были основаны на предположении, что нам известна ковариационная матрица для рассматриваемых инструментов. На практике ковариация инструментов априори не известна, поэтому её приходится оценивать (обычно её вычисляют на основе исторических данных). Соответственно нельзя забывать о риске неправильной оценки и нестабильности ковариационной матрицы для рассматриваемых инструментов.

Рекомендуем Вам также ознакомиться со статьей Much ado about correlation, в которой обсуждаются некоторые вопросы, связанные с нестабильностью коэффициентов ковариации между инструментами.

Идея диверсификации применительно к ПИФам

Как показали исследования западных ученых, анализировавших динамику доходности акций во второй половине 60х начале 70х годов 20го века, правильно сформированный портфель, состоявший из 20 активов, был способен фактически полностью исключить специфический риск, а в случае международной диверсификации количество акций могло быть ограничено десятью. В настоящее время это уже не так - сейчас требуется более широкая диверсификация портфеля по составу акций.

Применительно к российской практике - среднее число акций за 2006 год в российских ПИФах варьировалось от семи (ПИФ "Стремительный" УК "Адекта") до 77 ("Лукойл Фонд перспективных вложений"). Причем, фондов акций, содержащих в портфеле не менее 50 бумаг, было всего пять-шесть - см. график (на графике каждая точка соответствует конкретному фонду). Большая часть ПИФов - около 60 % ПИФов акций - инвестировали активы в 15-30 ценных бумаг.

С достаточно занимательной статьей, в которой приведены некие рассуждения на тему связи доходности российских ПИФов с числом бумаг в их портфелях, можно ознакомиться по ссылке.

Читайте в следующих выпусках

В следующем выпуске мы рассмотрим некоторые аспекты behavior finance - насколько теоретически/математически правильное поведение характерно для типичного инвестора. Эта тематика отчасти связана с исследованиями на тему избегания риска (risk-aversion), затронутой в этом выпуске, и представляет собой некоторый набор простых типовых/бытовых задач и типичное поведение средне статистического человека, в рассматриваемой ситуации. Надо сказать, что результаты данных исследований весьма любопытны и зачастую не всегда логичны с точки зрения математики…

В последующих выпусках мы перейдем к теме вероятностных моделей курсовой стоимости ценных бумаг и современным моделям оценки риска.

Также мы готовим несколько "внеочередных" выпусков, посвященных возможностям получения дополнительного образованию, сертификации, самообразования.

Тестирование

На нашем сайте мы публикуем перечень вопросов для самоконтроля по рассматриваемой теме. Данный перечень будет ориентирован на курс CFA. Чтобы проверить свои знания по рассматриваемой теме, предлагаем Вам пройти тестирование. Страничка, посвященная самоконтролю и тестированию, находится здесь.

Обращаем Ваше внимание, что набор тестов дополнен тестом "Official CFA Sample Level I Questions" - данный тест дает, в краткой форме, представление о содержании курса и формате экзамена CFA Level I.

Обратная связь
 
Свои замечания, конструктивные предложения и дополнения к материалам рассылки Вы можете оставить на нашем форуме. Нам интересно Ваше мнение!

Популярные материалы "Ленты Новостей" проекта MarketAnalysis.ru

Фондовые биржи мира

Американская Nasdaq намерена продать свою долю Лондонской фондовой биржи LSE
Арабы предложили $4 млрд. за биржи OMX
Акционеры Лондонской биржи LSE одобрили поглощение Borsa Italiana
Чикагская срочная товарная биржа CBOT поглотила своего соседа-конкурента CME
Китайский вариант NASDAQ

Российские фондовые биржи

Cтратегия развития ММВБ
РТС исполнилось 12 лет
МФБ подводит итоги 10-летия
Новым главой биржи РТС стал Роман Горюнов
Биржа ММВБ ввела статические лимиты

Брокеры

Фактические комиссии брокеров
Учебные курсы и семинары от брокеров

Фондовый рынок

Владимир Путин занялся биржевыми прогнозами
Простым китайцам разрешат играть на гонконгской бирже

Коллективные инвестиции

Алгоритм выбора ПИФа
ПИФы vs ОФБУ: итоги первого полугодия 2007 года
Методика оценки ПИФов и ОФБУ в условиях информационного вакуума по составу портфелей
Сравнение риска и доходности: ПИФ vs ИДУ
О банкротстве ПИФов
Насколько эффективны ПИФы-гиганты
Россияне начали массово забирать средства из ПИФов
Средний класс не верит в ПИФы

Образование

Обзор кредитов на образование
Высшее образование дорожает