Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Финансы и финансовая математика

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Оперативные финансовые и экономические новости" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июнь 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Автор
Станислав Агапов

Статистика

516 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Финансы и финансовая математика: Вычисление ЭПС для аннуитетной схемы


 

§ 21. Вычисление эффективной процентной ставки для аннуитетной схемы

Станислав Агапов

На протяжении двух предыдущих параграфов мы рассматривали общий метод, с помощью которого можно определить эффективную процентную ставку для произвольной ссуды. И хотя этот метод, при правильном его применении, достаточно удобен, в определённых случаях, а именно, для аннуитетной схемы погашения ссуды, эффективную процентную ставку можно найти ещё быстрее и проще. Собственно, основное преимущество метода, который мы далее рассмотрим, заключается в его большей компактности.

Перепишем формулу (18.3) — соотношение для определения эффективной процентной ставки, которое справедливо при погашении кредита аннуитетными платежами — с помощью уже знакомого нам множителя дисконтирования vτ = (1 + i )–τ :

(21.1)

 

Умножим обе части уравнения (21.1) на (1 – vτ ), приведём подобные слагаемые, а затем разделим результат на (S0 – R0 + R). В результате мы получим следующее соотношение:

(21.2)

 

Для нахождения корня уравнения (21.2) можно использовать уже знакомый нам метод Ньютона.Для этого введём функцию

и найдём её производную:

.

Теперь, если в качестве начального приближения выбрать

(21.3)

,
 

то с помощью формулы (19.1) можно получить последовательность чисел {x(k)}, приближающихся к точному значению множителя дисконтирования vτ .

Пример

Найдём эффективную процентную ставку для кредита из примера из параграфа 18. Условия, напомню, были такие:

  • срок кредитования — 3 года;
  • процентная ставка j — 18% годовых;
  • схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
  • комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
  • ежемесячная комиссия за ведение ссудного счёта — 0,1% от суммы кредита.

Кроме того, для определённости будем считать, что размер кредита составляет 12 млн. рублей.

Вычислять эффективную процентную ставку по этому кредиту по-прежнему будем с помощью какого-нибудь удобного табличного редактора. Вот так приблизительно будут выглядеть начальные условия (нет необходимости вручную вычислять размеры платежей — можно использовать нужные формулы непосредственно в ячейках таблицы):

Внесение начальных условий

Внесение начальных условий

Следующий шаг — это вычисление коэффициентов функции f(x):

Вычисление коэффициентов функции f(x)

Вычисление коэффициентов функции f(x)

Первый коэффициент по совместительству является начальным приближением x(0) . Переносим его в соответствующую ячейку и по методу Ньютона вычисляем несколько приближений месячного множителя дисконтирования (обратите внимание на формулу в левом верхнем углу):

Вычисление месячного множителя дисконтирования

Вычисление месячного множителя дисконтирования

Одновременно с этим вычисляем приближённые значения эффективной процентной ставки i :

Вычисление эффективной процентной ставки

Вычисление эффективной процентной ставки

Как видите, после восьми вычислений мы ещё раз подтвердили, что эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту составляет около 22,8%, на 4,8% больше, чем номинальная.

Замечание. Один раз заполнив формочку, подобную приведённой на рисунках, вы впоследствии сможете моментально определять эффективную процентную ставку по любому кредиту, погашаемому в соответствии с аннуитетной схемой, только лишь меняя начальные условия.
 

В заключение хочется сделать ещё одно важное общее замечание. Рассмотренный нами метод гарантированно сойдётся (то есть приведёт к искомым значениям множителя дисконтирования и эффективной процентной ставки), если в качестве начального значения выбрать величину (21.3). Если же взять какое-нибудь другое начальное приближение, то метод может сойтись ко второму корню функции f(x) — единице (соответствующее значение эффективной процентной ставки равно нулю). Например, в рассмотренном нами примере так произошло бы, возьми мы в качестве начального приближения любое число больше 0,992.

И ещё одно общее замечание относительно выбора численного метода. Существует великое множество численных методов, многие из которых вполне можно было бы применить для решения наших задач. Метод Ньютона был выбран из-за его, на мой взгляд, оптимального соотношения между сложностью применения и скоростью сходимости (вы ведь помните, мы ни в одном из примеров не делали больше восьми вычислений). Существуют более быстрые, но более сложные для понимания методы. Существуют более простые методы, с меньшим количеством ограничений и гарантированной сходимостью, но требующие большого количества вычислений. Например, если бы мы в последнем примере использовали широко известный метод простой итерации, то для достижения требуемой точности нам пришлось бы сделать около сотни вычислений. Понятно, что эти вычисления делает программа, но тем не менее.


 

Этот и все остальные выпуски рассылки вы можете найти на сайте www.finmath.ru

 

Дорогие друзья! Рассылка «Финансы и финансовая математика» уходит в отпуск до конца лета. После перерыва вас ждёт серия параграфов, посвящённых таким интересным вопросам, как потоки платежей, инвестирование, ценные бумаги, страхование. А пока что предлагаю вам время от времени посещать раздел «Библиотека» на сайте www.finmath.ru — несмотря на отпуск рассылки, сайт в течение лета будет обновляться.


В избранное