Подписчиков:388+421

Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Вы получили новый выпуск нашей рассылки. По прежнему приглашаем любителей математики принять участие на нашей страничке, если у вас возникли вопросы по решению задач и примеров по курсу средней школы- обращайтесь, присылайте Ваши вопросы. Новогоднии праздники еще не закончились, наверное поэтому так мало подписчиков приняли участие в решении задач, однако много писем пришло с просьбой помочь решить задачи, причем задачи из программы вузов. К сожалению, мы пока решаем задачи из курса средней школы, и поэтому прошу прощения, если не всем подписчикам помогла с решением задач, стараюсь, но не успеваю. Размещайте свои задачи на форуме http://algebra.jino-net.ru/forum/ , чем больше будет открытых тем и больше будет посетителей форума, тем быстрее Вы получите ответы на свои вопросы.

* Новые задачи: задачи присланные читателями, интересные задачи.

* Абитуриенту: Корни многочлена, квадратный трехчлен

* Статья: Математики связали уравнение Лоренца

Рейтинг

В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения).

Решения задач

Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения , я их размещу в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки , решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки. Решения некоторых задач в этом выпуске не оценены, не волнуйтесь, заслуженные баллы будут добавлены, ждем решений задач с прошлого выпуска.

Пловец плывёт в бескрайнем водоёме с постоянной скоростью V по гладкой замкнутой траектории в течение времени Т. В водоёме течение постоянного направления и постоянной скорости W. Какое максимальное расстояние проплывёт пловец за время Т ,при условии, что движение начинается и заканчивается в одной точке? По какой траектории?

Решение Юрия Иванова

Максимальная длина траектории в стоячей воде достижимо при движении по
окружности, найти длину траектории просто А при введении скорости течения, мне кажется, достаточно рассмотреть проекцию плоской кривой (окружности) на плоскость которая перпендикулярна прямой проходящей, через точку лежащую на диаметре, противоположную точке начала движения и являющуюся касательной к окружности радиуса TW (но это при условии, что скорость пловца выше скорости течения)см. рисунок. Длина полученной траектории составляет L при скорости течения 0.

К сожалению,мы не можем в рассылке поместить чертеж задачи. Верное решение опубликуем в одном из следующих выпусках, подождем еще варианты решений наших подписчиков, тут больше наверное физики, чем математики :)

Дети играли в игру, в которой нужно угадать число, находящееся в группе чисел.
Они задумали число между 1 и 300 (1 и 300 входят в число задуманных).
Трое ребят сделали следующие утверждения относительно "секретного" числа:

(А) Антон: это число между 1 и 100;

(Б) Борис: это число не между 101 и 200;
(В) Володя: это число не между 1 и 100;

Но двое из этих мальчиков признались вскоре, что они сказали неправду.

В каком интервале находится "секретное" число?

(a) от 1 до 100; (b) от 101 до 200; (c) от 201 до 300;

(d) от 101 до 300; (e) Невозможно определить

Решение Павла Иванова:(7 баллов)

Возможны два случая:
1) Утверждение А верно, тогда Б - верно и В - неверно;
2) Утверждение А неверно, тогда В - верно.
Исключаем первое, так как двое из этих мальчиков сказали неправду, отсюда следует и что утверждение Б неверно. Из условий В и не Б получается, что загаданное число от 101 до 200.
Ответ: (b)

Решение Юрия Иванова:(5 баллов)

Рассмотрим гипотезы предложенные ребятами А, Б и В

Сразу отметим, что гипотезы А и В взаимоисключающие, поэтому гипотеза Б
при поставленных ограничениях заведомо ложная.
Теперь, предположив, что А истинна получим противоречие с главным
условием 2 лживых утверждения (утверждение Б получается верным)
Проверив гипотезу В получаем, что она единственно верная, значит
правильный ответ (d)
Юрий, все Ваши рассуждения правильные , а вывод вы сделали неверный , првильный ответ (b) поэтому только + 5 баллов

Остатки от деления 5-ти значного числа abcde при его делении на 2, 3, 4, 5, и на 6 равны : a, b, c, d, и e, в том же самом порядке.

Найдите это число и скажите, какая цифра спряталась за буквой b, если под разными буквами спрятались не обязательно разные цифры ?

если остаток от деления на 2 равен а, то это может быть либо 1, либо 0,
а = 0 быть не может, иначе это было бы не пяти, а 4-х значное число.
итак а=1

Теперь ограничения на значения:
0<=b<3 => b = 0, 1, 2

0<=c<4 => c= 0,1,2,3

0<=d<5 => d=0,1,2,3,4
0<=e<6 => d=0,1,2,3,4,5
e - нечетное => e=1, 3 или 5 (т.к. а=1)
запишем число в десятичной форме и найдем остатки от деления полученного
числа на 3, 4, 5, 6

10000+1000b+100c+10d+e
При делении на 3 получим остаток: b+c+d+e+1=3K+b или с+d+e+1=3K
При делении на 4 получим остаток: 2d+e=4L+c
При делении на 5 получим остаток e=5M+d
При делении на 6 получим остаток 4 + 4b + 4c + 4d + e = 6N + e или b+c+d+1 = 3N/2

в Вашем решении нет ответа( может я просто его не поняла) , пока баллы не присваиваю, дорешайте. Ждем еще решений этой задачи от остальных подписчиков

 Василию, Петру, Семену и их женам Наталье, Ирине, Анне вместе 151 год.
Каждый муж старше своей жены на 5 лет. Василий на 1 год старше Ирины.
Наталье и Василию вместе 48 лет, Семену и Наталье вместе 52 года.
Кто на ком женат, кому сколько лет? (Возрасты должны быть выражены в целых числах.)

Решение Павла Иванова (+7 баллов)

Пусть В-Василий, П-Пётр, С-Семён, Н-Наталья, И-Ирина и А-Анна.
Из условия "Василий на 1 год старше Ирины" и "Наталье и Василию вместе 48 лет" следует, что Василий не муж Ирины и Василий не муж Наталье(тогда бы В+В+5=48, что невозможно, т.к. 43 не делится на 2). Т.е. Василий - муж Анны. Из условия "Семёну и Наталье вместе 52 года" следует, что Семён не муж Наталье(тогда бы С+С+5=52, что невозможно, т.к. 47 не делится на 2). Следовательно, Семён - муж Ирины, значит, Пётр - муж Натальи. Составим систему уравнений:
{В=А+5 (1)
{С=И+5 (2)
{П=Н+5 (3)
{В=И+1 (4)
{Н+В=48 (5)
{С+Н=52 (6)
{В+П+С+Н+И+А=151 (7)
Вычтем из (6) (5), получим С-В=4, откуда С=4+В. Выразим из (5) Н и подставим в (3), получим П=53-В. Выразим И и А из (4) и (1). Вообщем выразим всё через В и подставим в (7), получим
В=26. Тогда П=27, С=30, Н=22, И=25 и А=21.
Ответ: Василий - Анна, Семён - Ирина, Пётр - Наталья. Василию - 26, Петру - 27, Семёну - 30, Наталье - 22, Ирине - 25, Анне - 21.

Всё правильно, +7
Решение Юрия Иванова :( + 7 баллов)

Здесь и далее всех людей именовать будем по первым буквам их имен.

Определим вначале кто на ком женат.
Итак, заметим, что Н и В не муж и жена, т.к. В+Н=48 (если В муж Н, то
В=Н+5, тогда 48 - 5 = 2Н и возраст Н не является целым
Аналогично, С и Н не муж и жена (С+Н=52, С=Н+5, значит 2Н=47, снова не целое)
Отсюда Н - жена П, значит П=Н+5.
В+П+С+Н+И+А=151
Значит, если С+Н=52
В+П+И+А=99 (*)
Если Н+В=52, подставили
П+С+И+А=103 (**)
Вычли из (**) (*)
получили
С-В=4
Дальше По условию В=И+1, значит С=И+5
С - муж И.
Далее, независимо от пар, можно записать, что 2(А+Н+И)+15=151, т.е.
женщинам А+Н+И=68
Мужчинам соответственно 151-68=П+В+С=83
Теперь П=Н+5
В=48-Н
С=52-Н
П+В+С=Н+5+48-Н+52-Н=83
Н=105-83=22
В=48-22=26
С=52-22=30
П=22+5=27
И=30-5=25
А=26-5=21

В+П+С+Н+И+А=22+26+30+21+25+27=151
Все мужья старше жен на 5 лет
и прочая
Понятно, что ж, всё верно. +7

Встречаются два математика. Один спрашивает у другого:
- Я знаю, у тебя три дочери. Сколько им лет?
- Если перемножить количество лет моих дочерей, то получится 72, а если сложить - получится номер вон того дома.
- Но этих данных недостаточно.
- Да. Старшая дочь играет на пианино.

Сколько лет дочерям?

Решение Павла Иванова (+7 баллов)

.Условию "если перемножить количество лет, то получится 72" удовлетворяют следующие варианты:
2 2 18, 2 3 12, 2 4 9, 2 6 6, 3 3 8, 3 4 6. Если сложить, получиться 22, 17, 15, 14, 14, 13.
Т.е. математик сразу определил бы, сколько кому лет, если бы не увидел на доме число 14. Но т.к. он сказал: "Но этих данных недостаточно.", получается что , он как раз увидел на доме 14! Услышав, что старшая играет на пианино, он ,скорее всего, исключил вариант 2 6 6(т.к. нет старшей сестры: сёстры-двойняшки одного возраста).
Т.е. Ответ: 3 3 8

Решение Юрия Иванова (+2 баллa)

Данных действительно маловато, у меня получилось три правдоподобных
варианта и два не очень :
Итак есть три дочери, возраст которых является делителем 72 и
произведение возрастов дает нам 72.
Собственно, находим разложение 72 на простые множители, это 2*2*2*3*3, А дальше простая комбинаторика дает нам 5 правдоподобных вариантов

2, 3 и 12 лет
3, 4 и 6 лет
2, 4 и 9 лет
1, 8 и 9 лет
1, 4 и 18 лет
ну и 2 менее правдоподобных
1, 2, 36 лет
и 1, 1, 72 года (чем черт не шутит, Чаплин в 81 год в первый раз стал отцом) Но наиболее правдоподобным мне представляется вариант 2, 4, 9 лет

Ну вот, Юрий, Вы совсем не учли, что среди дочерей могут быть близнецы не только по 1 году, поэтому не обратили внимания на вторую часть задачи и пропустили важное решение , но про Чаплина мне понравилось:)- получаете 2 балла.

Новые задачи

Адрес для решений: matematics@mail.ru

Если у вас есть интересные задачи или вы просто не можете решить нужную вам задачу, присылайте ее в рассылку, решим вместе! Сегодня предлагаем вам задачи, которые прислали наши подписчики (за присланные задачи они получают по 3 балла), а также задачи из сборника задач для поступающих.

Присылайте решения задач №138,140 из прошлого выпуска.

Это задача для студентов и преподавателей а также знатоков аналитической геометрии

Написать уравнение плоскости, в которой лежит квадрат АВСD и
канонические уравнения всех его сторон, если Р (1,2,3) и Q(2,0,1)лежат
на одной из сторон этого квадрата, а S (1,1,1) - центр квадрата

Бонус

В этом разделе коротко повторяем темы из области арифметики, алгебры, для того чтобы  помочь в подготовке к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, централизованному тестированию и единому государственному экзамену по математике.

Статья

Математики связали крючком уравнения Лоренца

Двое математиков университета Бристоля (University of Bristol) — доктор Хинки Осинга (Hinke Osinga) и профессор Бернд Кроскопф (Bernd Krauskopf) —связали крючком аттрактор Лоренца, чтобы представить уравнения этого учёного, описывающие природу хаотических систем.

В получившемся творении 25 тысяч 511 петель — на всё ушло восемьдесят пять часов работы. Учёные предлагают бутылку шампанского любому, кто сможет повторить их подвиг.

Идея создания модели родилась во время рождественских каникул два года назад. Доктор Осинга, научившаяся вязать крючком в семь лет, коротала время за этим занятием, когда профессор Кроскопф спросил её: "Почему бы вам не связать что-нибудь полезное?".
"Представьте себе лист, плавающий в бурной реке, и посмотрите, как он уходит влево или вправо, крутится вокруг скалы где-то вниз по течению, — объясняет Осинга. — Листья, которые перестают цепляться за скалу, должно быть, следуют своим уникальным путём в воде. Каждая петля в нашей модели представляет собой один такой лист, который остаётся у скалы".

Источник: BBC News

Информация

По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail

Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!