Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Ноябрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь 19



СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск N19 от 17.11.2007

Подписчиков: 306

Рассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka BrainMan, ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel ICQ 455-198-168
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/, http://www.softhome.ru/
E-mail рассылки (для всех писем): matematics@mail.ru
Страница рассылки: http://content.mail.ru/pages/p_26428.html
Архив рассылки: http://content.mail.ru/arch/arch_26428.html
Сайт рассылки: ( http://algebra.jino-net.ru)
Математический форум: http://algebra.jino-net.ru/forum/
  

  Слово автора   

 

  

Здравствуйте,уважаемые подписчики!

.Вы получили очередной выпуск рассылки, просим прощения,что отправляем с опазданием, были проблемы со связью. Хочется отметить,что количество подписчиков рассылки постепенно увеличивается, а вот активность, к сожалению, нет. Наша рассылка рассчитывает на Ваше участие в ней, Вы присылаете нам задачи, мы публикуем их и вместе решаем. Если у Вас будет интересный материал о математике, статьи, истории, факты, новости, задачи -присылайте, поделитесь интересной информацией с другими. Судьба рассылки в Ваших руках. Пишите нам, хочется услышать Ваше мнение ,Ваши замечания и предложения. Также приглашаем Вас на математический форум http://algebra.jino-net.ru/forum/, где Вы сможете познакомиться, обсудить интересующие Вас темы математики и науки, пообщаться, решить новые задачи и задачи из предыдущих выпусков рассылки. Помогите начать работу форума. 

В нашем выпуске:

Рейтинг участников

Решение задач предыдущих выпусков

Новые задачи для абитуриентов, логические задачи

Абитуриенту: Решение задач на проценты

Статья:  "Проблема Гольдбаха"

Анекдоты

 

  
 

Рейтинг

 

 

В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения)

Лидеры рейтинга
1. Анатолий Безуглов 101 балл
2. Павел Иванов 97 баллов
3. Светлана 64 балла
4. Ольга 56 баллов
5. Евгений 19 баллов
6. Алекс Томилов 17 баллов

 

 

Решения задач

  
 
 

Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения , я их размещу в этом разделе.  Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки , решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки.

Задача 101                                                                                                            4 балла

Решить неравенство:
х- V(4-2х) < 0

Решение                                                                                                                            

Решение Павла Иванова    (1балл)

Пусть у=х-V4-2x. Ясно, что х<=2. Если х=0, то у=-2. Если у=0, то х2+2х-4=0. Решив это квадратное уравнение, получим х1=-1-V5 и х2=-1+V5. Используем метод интервалов:

_______-______._____+____._____-____.________
                       -1-V5             -1+V5               2

у<0, если х принадлежит (-беск.;-1-V5)и(-1+V5;2)
Ответ: если х принадлежит (-беск.;-1-V5)и(-1+V5;2)
 

 Ответ не верный, не правильно стоят знаки на интервалах, если в квадратном уравнении а>0, то на интервале справа - знак + и далее знаки чередуются, ведь  нашли же  при х=0 у=-2<0 ? 0 принадлежит промежутку (-1-V5; -1+V5)

Решение

Неравенство х- V(4-2х) < 0 равносильно неравенству: V(4-2х) > x ,   неравенства с радикалами обычно решаются с помощью возведения обеих частей в квадрат, но есть одно правило: возводить неравенство в квадрат запрещается при тех значениях неизвестной, при которых хотя бы одна из частей неравенства отрицательна. Согласно этому правилу возводить в квадрат обе части неравенства можно только в том случае, если правая часть его неотрицательна, разберем два случая:

{ х >= 0                           {x<0
{V(4-2x)>x    (1)    и       {V(4-2х) > x    (2)

в первом случае возводим обе части неравенства в квадрат, добавляя ограничения на х : х=<2,

{ х >= 0                                     
{(V4-2x )2 > x2        решаем систему

{х >= 0
{х2 +2x  - 4 =< 0  и  х =<2

решением второго неравенства системы (х2 +2x - 4 =< 0) будет промежуток (-1-V5; -1+V5) а решением  системы (1)    [0; -1+V5)

во втором случае  (2) в квадрат возводить неравенство нельзя и незачем, поскольку оно выполняется автоматически V(4-2х) > 0 > x, то есть решением будут все значения х, входящие в одз ( х=<2 ) и, удовлетворяющие условию x<0,    т.е  х<0, объединяя решения двух случаев получим  

ответ : х принадлежит промежутку (-беск.;-1+V5)

Задача 104                                                                                                            5 баллов

Материальная точка движется по оси ОХ по закону x(t) = 2/3t3 +t2 - 4t
(х - координата в метрах, t- время в секундах). Через сколько секунд
после начала движения ее скорость будет равна 8 м/с?
1) 1,5 2) 2,0 3) 3,0 4) 2,5 5) 3,5

Решение                                                                                                                            

Решение Анатолия Безуглова    (+5 баллов)

Вообще-то это задача относится не к математике, а в большей степени к
физике, точнее механике.
Для решения необходимо вспомнить, что скорость есть производная от
координаты точки:
v(t)=dx/dt
x(t) = 2/3t3 +t2 - 4t
Тогда v(t)=2t2 +2t - 4
Теперь приравняем скорость к 8 м/с
2t2 +2t - 4=8
2t2 +2t - 12=0
Дискриминант:
Д=22 -4*2*(-12)=4+96=100=102
t1=(-2+10)/(2*2)=2
t2=(-2-10)/(2*2)=-3
Второй ответ не является неудовлетворительным, так как он показывает
скорость до начала движения (отрицательное число), а нам требуется после.

Ответ; через 2 с, второй вариант из предложенных.

Решение Павла Иванова    (+5 баллов)        

v равно производной от х. Значит v=2t2+2t-4. Если v=8, то 2t2+2t-12=0. Решив это квадратное уравнение, получим t1=-3 (не удовлетворяет условию) и t2=2.
Ответ: 2  

Задача 105                                                                                                            6 баллов

 На одной яблоне растут только зеленые, а на другой только красные яблоки. Мальчики собрали все яблоки с обоих яблонь и увидели, что на каждые 4 зеленых яблока приходится 5 красных. Они съели 16 красных и 16 зеленых и увидели, что теперь на каждые 2 зеленых яблока приходится 3 красных. Сколько яблок каждого цвета было в начале?

Решение                                                                                                                            

 Решение Павла Иванова    (+6 баллов)

Пусть х- зелёные яблоки, у- красные. Тогда составим систему уравнений:
{x/у = 4/5 (1)
{(x-16)/(y-16) = 2/3 (2)
Из (1) выразим х = 4y/5 и подставим в (2). Получим, что y = 40, тогда x = 4*40/5 = 32.
Ответ: зелёных-32, красных-40.

Задача 106                                                                                                            6 баллов

Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять.
Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца?)


Решение                                                                                                                            

Решение Анатолия Безуглова    (+6 баллов)

 Для начал рассмотрим, что имел продавец вначале: у него была шапка
(стоимостью 10 р) и какая-то сумма в в кассе Х.
После ухода покупателя у него осталась та же сумма в кассе и еще 10 руб
за шапку, остальные разменянные деньги он отдал покупателю.
После того как продавец отдал деньги соседке у него стало: шапки больше
нет, но есть деньги за нее 10 руб, и еще нет 25 руб, которые отдал соседке вместо фальшивых.
Ответ: таким образом убыток продавца составил 25 руб. - номинал
фальшивой купюры.

Другой вариант решения:
Попробуем записать все доходы и расходы продавца:
Получил от покупателя 25 рублей: +25 (потом оказались фальшивыми)
Отдал эти деньги соседке: -25
Получил размен от соседки: +10+10+5
Отдал сдачу покупателю: -10-5
Отдал покупателю шапку (-10р)
Отдал соседке вместо фальшивых свои: -25 руб.
Если все сложить получаем: -25 рублей - следовательно обманули его на 25руб.

Третий вариант решения:
Рассмотрим кто что получил:
Соседка ничего не потеряла и не приобрела: вместо фальшивых продавец
отдал сои деньги.
Покупатель: вместо фальшивых получил шапку (10руб) да еще 15 руб сдачи:
итого +25 руб.
Учитывая, что в сумме то у них ничего не изменилось, получаем что у
продавца убытки равны прибыли покупателя, то есть насколько стал богаче
покупатель, настолько и обманули продавца. Следовательно продавец был
обманут на 25 руб.

 

 
 

Новые задачи

 Адрес для решений: matematics@mail.ru
   

Новые задачи в нашем выпуске: первые несколько задач из школьной программы,(в основном из раздела "арифметика") по темам, материал которых кратко излагался в нашей рассылке  и пара интересных логических задач, найденных в старых газетах.

Задача 107                                                                                                            3 балла

Некоторый товар сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%.Как изменилась цена этого товара?

1) Останется неизменной   2) подорожал на 1%   3) подешевел на 1%   4) определить невозможно

Задача 108                                                                                                            4 баллла

Собака погналась за лисицей, когда расстояние между ними было 90 м.Через сколько минут собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака 350 м?

Задача 109                                                                                                            3 балла

На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по составу команды, всего 123 мальчика и 82 девушки. Сколько мальчиков было в каждой команде?

Задача 110                                                                                                            6 баллов

Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие 20% воды. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы из них получить 8 кг сухих грибов?

Задача 111                                                                                                           5 баллов

 Шуточная задача

Лежит у КПП шпион и слушает какой пароль для входа в секретную часть. Идет первый военный. Ему говорят: "22". Он отвечает: "11". Ему говорят: "Проходи". Идет второй военный. Ему говорят: "26" Он отвечает: "13". "Понятно", - подумал шпион и пошел к КПП.
Ему говорят: "100". Он отвечает: "50". Короче, повязали его. Перед расстрелом шпион спрашивает: "А что надо было ответить?

Задача 112                                                                                                          6 баллов

Еще одна старинная задача

Три человека заплатили за обед 30 руб. (по 10 р.). После их ухода хозяйка кафе обнаружила, что их обед стоит не 30 руб, а 25, и отправила мальчика с 5 рублями вдогонку. Каждый из путников взял себе по рублю, а 2 рубля они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10, а по 9 руб. Их было трое: 3х9=27, и еще два рубля у мальчика: 27+2=29. Куда делся рубль?

 

  
 
Абитуриенту Бонус
 
 

Сегодня в этом разделе для абитуриентов мы проведем практическое занятие и решим несколько задач на проценты
Примеры решения  задач на проценты.

Задача 1. Из молока, жирность которого составляет 5% изготовляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка 0,5%. Сколько творога получают из 1т молока?

Решение. Пусть получено х т творога, жирностью 15,5 %. тогда остается (1-х) т сыворотки,жирностью 0,5%. Следовательно в 1т молока содержится 

                                     15,5х/100 + 0,5(1-х)/100 = (15х+0,5)/100 т жира

                                  по условию  (15х+0,5)/100 = 5/100. откуда х =0,3(т)

                                                          Ответ: 0,3 (т)

  Задача 2. В начале года на книжку было внесено 1640 руб., а в конце года было взято 882 руб. Ещё через год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет сберкасса в год?

Решение. Пусть х - доля вклада, которая начисляется в виде процентов на вклад, т.е. пусть начисляется 100x % в год. Тогда через год на книжке должна быть сумма:  1640 +1640*х= 1640(1+x) руб. После снятия 882 руб. на книжке оказалось 1640 (1+x)-882 руб. Ещё через год на книжке после начисления процентов будет сумма в (1640(1+x)-882)(1+x)  руб. Отсюда получаем уравнение для x:(1640(1+x)-882)(1+x)=882 или 1640(1+х)2 -882(1+х) -882 =0 решаем это уравнение:

Корнями этого уравнения являются числа -62/41 и 1/20. Следовательно, x=1/20, т.е. начисляется 5% в год.
Ответ. Сберкасса начисляет 5% в год.


 Задача 3. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Решение: Пусть взято х частей первого металла и у частей второго. Тогда 1/3*х+2/5*у = 17/44*(х+у), откуда у= 35/9*х

Ответ: 9 и 35 частей

Уважаемые подписчики, присылайте ваши вопросы и пожелания, какие темы, ответы на какие вопросы или решения каких задачи вы бы хотели увидеть в следующих выпусках этого раздела рассылки.

 

 
 
 
Статья  
 
 

Christian Goldbach, 1690–1764
Немецкий математик. Родился в Кёнигсберге в Пруссии (ныне Калининград, Россия). В 1725 году стал профессором математики в Санкт-Петербурге, тремя годами позже приехал в Москву в качестве домашнего учителя для будущего царя Петра II. Во время путешествий по Европе Гольдбах познакомился со многими ведущими математиками своего времени, включая Готфрида Лейбница, Абрахама де Муавра и семью Бернулли. Многие его работы выросли из переписки с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (Leonhard Euler, 1707–83). Утверждение, которую мы теперь называем проблемой Гольдбаха, впервые было выдвинуто в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру.

Проблема Гольдбаха

Любое четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Самые простые математические утверждения иногда бывает сложнее всего доказать. Так, Великая теорема Ферма была окончательно доказана лишь в конце XX века — через несколько сот лет после того, как была сформулирована. Существует еще одно утверждение, чем-то похожее на теорему Ферма, которое математики не смогли доказать до сих пор. Его называют проблемой Гольдбаха, и формулировка этого утверждения предельно проста. В нем всего лишь говорится, что каждое четное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел. (Поясним: простое число — это число, которое делится только на 1 и на себя само. Так, 2, 3, 5, 7 — простые числа, а 4 (2 х 2), 6 (3 х 2), 9 (3 х 3) — нет.) Впервые это утверждение выдвинул Христиан Гольдбах в 1742 году. Из него следует, что 10 (возьмем пример попроще), как четное число, можно записать в виде суммы 7 + 3, где 7 и 3 — простые числа. Другая формулировка утверждения Гольдбаха, немного менее известная, — что любое нечетное число, большее или равное 9, можно представить в виде суммы трех простых чисел (например, 13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3).

С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипотезу, математики не сомневались, что она, как и Великая теорема Ферма, верна. Тем не менее, в отличие от теоремы Ферма, никто никогда не претендовал на то, что сумел ее доказать. К решению этой проблемы существует подход «в лоб» — надолго запустить компьютерную программу, которая бы последовательно проверяла это утверждение на всё больших и больших четных числах. Таким способом можно было бы опровергнуть теорему, будь она неверна. Но так нельзя доказать теорему — по той простой причине, что никогда нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила. В действительности мы знаем, что проблема Гольдбаха верна по крайней мере для всех четных чисел, не превышающих 100 000.

В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что количество простых чисел, которые при сложении образуют четное число, конечно, а также, что проблема Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено.

Почему математики тратят столько времени на решение таких задач, как Великая теорема Ферма или проблема Гольдбаха? Ведь в этом нет практического смысла, из их решения нельзя извлечь никакой выгоды. На мой взгляд, это очень древний и очень свойственный человеческой природе вид деятельности — поиск самоочевидной, бесспорной истины. Философы тысячелетиями ищут истину. Математики надеются обнаружить такие истины, работая с системами, построенными на чистой логике. И то, что эти доказательства столь трудно достижимы, наверное, объясняется скорее самой природой логики, невозможностью найти истину в этом ненадежном, изменчивом мире, а не свойством математики как таковой.


Источник: http://elementy.ru/


АНЕКДОТЫ
 
 

***

Программист с женой отправились в супермаркет. Сделав все
необходимые закупки, они вышли на улицу, и жена сказала:
- Стой здесь и смотри в оба за этими сумками, особенно за десятой, пока
я схожу и разыщу такси.
Когда жена вернулась, то увидела обалдевшего мужа, переставляющего сумки
с места на место:
- Ты сказала следить за десятой, но я насчитал только 9!
- Их было десять!
- Нет, давай вместе считать: 0, 1, 2:

***

Тормознули менты мужика - плати штраф.
- Ok, - говорит мужик, только отгадай загадку. Отгадаешь - заплачу, не
отгадаешь - уеду. Почему 2 + 2 = 4 и 2 * 2 = 4, а вот 3 + 3 = 6,
а 3 * 3 = 9 ?
Один мент думал, думал - отпустил. Другой подходит
- Чего ж ты, дурак, в высшую математику лезешь! Тебя как учили? -
Отнимай и дели!

***

Студент спрашивает лектора по аналитической геометрии:
- А где в жизни могут пригодиться все эти ваши эллипсы?
- Ну как же... Эллипсы нужны при нарезании колбасы кружочками..

***

 

Информация

По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail
 
 

Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!

 
В избранное