Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июль 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь #36


СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск 36 от 05.07.2008 Подписчиков: 1308
Рассылка о математике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka Riateche, ICQ 415-145-675
E-mail рассылки (для всех писем): mhelp-project@yandex.ru
Сайт рассылки: http://algebra.jino-net.ru
Слово автора

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость,
а это – важнейшие виды прекрасного.
Аристотель

Здравствуйте, уважаемые подписчики!
Сейчас рассылка снова выходит регулярно по субботам.

Riateche, ведущий рассылки

Рейтинг

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Напоминаю, что с 33-го выпуска действует новая система рейтинга. Участникам зачисляется по 2 балла за присланное условие новой задачи, 1-3 балла за решение задачи.

Лидеры рейтинга
1 Павел Иванов 60
2 Анатолий Безуглов 52
3 Юрий Иванов 50
4 Михаил Грудцын 47
5 Wazovsky 14
6 Светлана 13
7 Андрей Ерослаев 6
8 Владимир Изергин 5
Новые задачи

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Адрес для решений: mhelp-project@yandex.ru. Пожалуйста, присылайте подробные решения.

Задача 205 прислал Михаил Грудцын
Давно ищу решение, вроде у М. Гарднера было, но найти не могу.
Банда из нескольких преступников украли много денег, и стали их делить. Количество преступников и денег не важно.
Между преступниками есть четкая иерархия, от главного до последней шестерки. Делят они таким способом.
Главный предлагает свой способ дележа. Затем второй высказывает свое мнение, затем третий, и так далее до последнего. Если хотя бы половина согласна, этот способ принимается. Если больше половины не согласно, способ отклоняется. В этом случае главного убивают, второго назначают главным, и все повторяется.
Преступники очень логичны, мыслят мгновенно, и придерживаются следующих правил:
1. Каждый хочет урвать себе побольше.
2. Каждый хочет сохранить больше своих товарищей живыми, для дальнейшего существования банды.
3. Сговоры между отдельными членами банды против кого-то недопустимы.
Эти правила действуют только в момент дележа, потом никто никому мстить не будет.
Что предложит главарь, как они разделят куш, и главное, воспроизвести их рассуждения, почему они согласились с таким разделом?
Задача 206
Верно ли утверждение, что квадратный корень из числа всегда n всегда меньше числа n?
Задача 207
Существуют ли в ряду натуральных чисел два простых числа, разделенные ровно 10 составными числами?
Задача 208
Набор чисел 1, 3, 8, 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них на единицу меньше точного квадрата. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая этого свойства.
Решения задач

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения (адрес mhelp-project@yandex.ru), мы их разместим в этом разделе. Большая просьба - присылайте подробные решения или хотя бы указывайте метод.

Задача 193
У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 коп и 20 коп, причем 20-копеечных монет было больше, чем 15-копеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника вначале?
Юрий Иванов: Вначале попробуем посчитать сколько монет было у школьника и оценить сумму денег.
Пусть А1 и А2 - кол-во монет 15 и 20 коп соответственно, А1>A2
Было денег A1*20+A2*15, было монет А1+А2
(1/5)*(A1*20+A2*15) Потрачено на кино - 2 монеты
(2/5)*(A1*20+A2*15) Потрачено на обед - 3 монеты
Потрачено 5 монет.
Теперь подумаем чуток:
На кино ушло 2 монеты:
3 варианта распределения монет (15 и 20 коп соответственно):
А) 2 0, Б) 1 1, В) 0 2
Вариант А) 30 коп потратил, всего 150 коп, на кино 60 коп (варианты 15/20: 0 3, 4 0)
Б) 35 и 175 соответственно, на кино 70 коп, (2 2)
В) 40 и 200, на кино 80 коп (4 1, 0 4)
На кино потрачено 3 монеты. Значит подходит только 1 вариант 0 - 15 коп, 3 20 коп монеты (вариант А).
Остальные отпадают
Таким образом Ответ: 2 15 коп, 6 20 коп монеты
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Две монеты - это может быть 30=15+15, 35=15+20 или 40=20+20 коп.
Рассмотрим все три варианта.
1) Билет стоил 30 коп, тогда всего было 150 коп., после покупки билета осталось 150-30=120 коп.
Половину он истратил на обед, то есть 60 коп=20+20+20, тремя монетами. Это один из вариантов ответа.
2) Билет стоил 35 коп, тогда всего было 175 коп., после покупки билета осталось 175-35=140 коп.
Половину он истратил на обед, то есть 70 коп, которые тремя монетами выразить нельзя.
3) Билет стоил 40 коп, тогда всего было 200 коп., после покупки билета осталось 200-40=160 коп.
Половину он истратил на обед, то есть 80 коп, которые тремя монетами выразить нельзя.
Таким образом, получаем единственный ответ: Было 150 коп=6*20+2*15, осталось 60=3*20.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: две монеты по пятнадцать копеек, и шесть монет по двадцать копеек.
(+ 1 балл)

Задача 194
Володя написал на доске
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21,
причем вместо звездочек он поставил либо плюс, либо минус. Саша переправил несколько знаков на противоположные, и в результате вместо числа 21 получил число 20. Можно ли утверждать, что по крайней мере один из мальчиков допустил ошибку при подсчете результата?
Юрий Иванов: Утверждать можно!!! Ведь если в сумме перед одним из слагаемых знак поменять на противоположный, то значение выражения изменится на удвоенное число, стоящее после знак.
Т.е пусть есть выражение А+В-С.
Меняем + на -.
Получаем А-В-С, значение выражения изменилось на 2В
или пусть есть выражение А+В-С.
Меняем - на +.
Получаем А+В+С, значение выражения изменилось на 2С
При любом количестве знаков, изменения будут суммироваться с тем или иным знаком (+/-), но в любом случае измененное значение будет четным (сумма разность четных чисел - четное число)
А посему ответ: Увы и ах ошибка вкралась в исчисления!!!
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: 1*2*3*4*5*6*7*8*9=21. Если все звездочки заменить на плюсы, то получится 45. Если плюс перед числом а заменить на минус, то результат будет равен 45-2а. 45-21=24, то есть в данном случае а=12. Если же результат равен 20, то 45-20=25, а не целое. Поэтому
Ответ: можно утверждать, что Саша ошибся.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: 1-2+3-4+5-6+7+8+9=21, второй предположительно допустил ошибку.
(+ 1 балл)

Задача 195
Из книги выпал кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало их книги?
Юрий Иванов: По-моему надо определить номер последней страницы. Он должен быть больше
текущего номера и должен быть четным. Т.е. номер последней страницы 738.
Страниц выпало 738-387+1=352
Но мне кажется, что вопрос задачи должен звучать так: Сколько листов
выпало из книги (лист - 2 страницы)?
Ответ: 176 листов, 352 страницы
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Первая стр имеет номер 387, значит последняя должна быть четной. Тогда она может быть только 738.
Ответ: Количество страниц N=738-387+1=352 стр, или 176 листов.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: 396 страниц выпало из книги


Задача 196
Какое наибольшее количество месяцев одного года может иметь по 5 пятниц?
Юрий Иванов: Анализируем исходные данные:
1. В году 365/366 дней
2. Всего в году 52 недели (364 дня) + 1-2 дн
3. В году 12 месяцев (4 полных недели) всего 48 н.
остается 4 недели (4 пятницы)
+ 1 пятница за счет 1-2 дн дополнительных.
в месяце не может быть больше 5 пятниц
Значит всего осталось не распределено 5 пятниц
Ответ: 5 месяцев
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Если год начался в пятницу, то он закончится в субботу или в воскресенье (если он високосный).
Таким будет год 2010. В нем 5 месяцев по 5 пятниц - янв, апр, июль, окт, дек.
Очевидно, это и есть максимум. Ответ: 5 месяцев.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: 4 месяца


Задача 197
Два человека бегут по ступеням эскалатора метро. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступеней?
Юрий Иванов: Простая на первый взгляд задача, которая при детальном рассмотрении может повергнуть в тупик.
Уточним условия задачи.
1. Эскалатор стоит (А) или движется (Б)
2. Люди бегут в одном направлении (В) или в противоположных (Г)
Предположим, что независимо от собственной скорости оба человека считают ВСЕ ступеньки (даже те, которые они пропускают).
Самый простой вариант - А стоящий эскалатор. В этом случае независимо от скорости бегущих насчитают они одинаковое количество ступенек.
Вариант Б.
Эскалатор движется со скоростью V.
Вариант БВ.
Пусть люди бегут в одном направлении. Тогда больше ступенек насчитает тот человек, который пробудет на эскалаторе больше времени не зависимо
от направления движения эскалатора.
Теперь подключим направление движения.
Вариант БГ.
Пусть скорость человека 1 = V1
Пусть скорость человека 2 = V2
Пусть V1>V2
Рассматривать вариант, когда человек 1 бежит по ходу эскалатора, а 2-й против не имеет смысла, т.к. скорость 1-го чел. только увеличится на
скорость эскалатора, а скорость 2-го уменьшится на ту же величину (задача будет сведена к варианту БВ).
Пусть 1 человек бежит против движения эскалатора, чел. 2 по ходу движения эскалатора.
Тогда скорость человека 1 относительно земли составит V1-V(Д)
Тогда скорость человека 2 относительно земли составит V2+V(Е)
Если (Д)>(E) все останется по-прежнему
Если (Д)=(E), то они насчитают одинаковое количество ступенек
Если (Д)<(E), человек 2 насчитает меньше ступенек, чем человек 1.
Ответ: Возможны все варианты в зависимости от внешних условий
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Если человек стоит, то он сосчитает только 1 ступеньку. Если же идет, то уже больше.
Кто быстрее бежит, тот успеет побывать на большем количестве ступенек, пока они не уехали.
Но больше всего насчитает тот, кто бежит против движения. Если его скорость равна скорости эскалатора, то он вообще может бежать вечно, оставаясь на месте относительно стен.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: тот, кто бежит быстрее


Задача 198
Докажите неравенство
ДВА * ШЕСТЬ < ДВАДЦАТЬ.
(Здесь каждая буква обозначает цифру, причем разным буквам соответствуют разные цифры.)
Максим Кочубеев: 123 * 45678 < 12319378
Здесь, видимо, имелось в виду: доказать при любых допустимых подстановках цифр.

Задача 199
В теннисном турнире 127 участников. В первом туре 126 игроков составят 63 пары, победители которых выйдут в следующий тур, и еще один игрок выходит во второй тур без игры. В следующем туре 64 игрока сыграют 32 матча. Сколько всего матчей понадобится, чтобы определить победителя?
Юрий Иванов: 1. Первый тур 63 матча
2. Начиная со второго тура имеем убывающую последовательность степеней 2 (начиная с 5 заканчивая 0).
т.е. всего понадобится 63 + (32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) = 63 + (64-1)=126
Всего потребуется 126 матчей
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: По олимпийской системе, что бы выявить победителя, он должен сыграть, прямо или косвенно, со всеми остальными игроками. Поэтому всего состоится 127-1=126 игр.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: Всего понадобится 127 матчей


Задача 200
"Давайте сыграем в русскую рулетку, - так начинается одна из популярных в инвестиционных банках Уолл стрит тестовых задач. - Вы привязаны к стулу и не можете встать. Вот пистолет. Вот его барабан - в нем шесть гнезд для патронов, и они все пусты. Смотрите: у меня два патрона. Вы обратили внимание, что я их вставил в соседние гнезда барабана? Теперь я ставлю барабан на место и вращаю его. Я подношу пистолет к вашему виску и нажимаю на спусковой крючок. Щелк! Вы еще живы. Вам повезло! Сейчас, до того как мы начнем обсуждать присланное вами резюме, я собираюсь еще раз нажать на крючок. Что вы предпочитаете: чтобы я снова провернул барабан или чтобы просто нажал на спусковой крючок?"
Михаил Грудцын: Обозначим пустые ячейки номерами 1,2,3,4, а ячейки с патронами - буквами а и б. Ячейки перед 1-ым выстрелом располагаются в порядке 1,2,3,4,а,б.
Вероятность остаться в живых после 1-го выстрела 2/3. Если 1-ый выстрел попал на ячейку 1, 2, или 3, то 2-ой выстрел будет тоже холостым, а если на 4 ячейку, то смертельным. Поэтому вероятность остаться в живых после 2-го выстрела, если барабан не поворачивать, равна 3/4. Если же барабан повернуть, то вероятность, как и в 1-ом выстреле, равна 2/3.
Вывод: лучше барабан не поворачивать.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: Чтобы снова повернул барабан


Задача 201
Задача Диофанта.
Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме 20, 30 и 40.
Юрий Иванов: Задача сводится к решению системы уравнений
(1) х+у=20
(2) у+z=30
(3) z+x=40
суммируя уравнения получим х+у+z=45 (4)
(4)-(1) z=25
(4)-(2) x=15
(4)-(3) y=5
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Это числа 5, 15, и 25.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев:
2+2 3+3 5+5
2+2 3+3 10+10
2+2 3+3 15+15


Задача 202
Имеется резиновый жгут длиной 1 м. По жгуту со скоростью 1 см/мин ползет червяк. Свой путь он начинает с одного конца жгута. По истечении каждой минуты жгут растягивается и его длина возрастает на один метр. Понятно, что растяжение происходит равномерно по всей длине жгута. Возникает вопрос: доползет ли когда-нибудь червяк до конца жгута? При этом считаем нашего червяка бессмертным и неутомимым.
Юрий Иванов: Не. нереально
Пусть Sv(t)...
К сожалению, решение пришло не полностью.

Михаил Грудцын: Пройденное расстояние S=1/100+1/200+1/300+1/400+...=1/100(1+1/2+1/3+1/4+...)
В скобках стоит гармонический ряд, который, как известно, расходится. Его сумма возрастает неограниченно, значит когда-то червяк доползет до конца пути.
(+ 1 балл)

Максим Кочубеев: Да, доползёт
(+ 1 балл)

Задача 203
Перед вами четыре утверждения, три из которых являются ложными.
2 + 3 = 5.
7 - 3 = 3.
6 - 4 = 2.
9 + 3 = 11.
Найдите ложные утверждения.
Юрий Иванов: Утверждений здесь не 4, а 5, так что ложными являются утверждения в 1-й,
3-й и 5-й строке. :)
(+ 1 балл)

Михаил Грудцын: Это, очевидно, шифр. Предположим, что каждое число надо увеличить на 1. Получим:
3+4=6
8-4=4
7-5=3
10+4=12
Очевидно, верно только второе утверждение.
Довольно оригинальное решение, поощрим автора =) (+ 1 балл)

Максим Кочубеев: 7-3=3 9+3=11


Задача 204
Задача Эйнштейна.
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98 % жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2 % самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.
Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (рядом)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду
Это всё, что необходимо для решения задачи.
Юрий Иванов: Задача решаема и широко известна. Достаточно немножко логики, листка бумаги и все.
Одно замечание Эйнштейн считал, что только 2 % способно решить эту задачу в УМЕ.
Ответ
Норвежец.
Живет в желтом доме, 1-м считая слева направо, курит Dunhill, держит птицу, пьет воду
Немец.
Если честно, то где-то после 30 шага логических выкладок, получил, что
рыба живет именно здесь. Надо все таблицы вышлю:)
(+ 2 балла)

Михаил Грудцын: Здесь нужно рисовать таблицы соответствия:
1. Национальность - Цвет дома, Животное, Сигареты, Напиток
2. Цвет дома - Животное, Сигареты, Напиток
3. Животное - Сигареты, Напиток
4. Сигареты - Напиток

А затем писать + и - в соответствии с условиями.
Я все это проделал, и получилась вот такая таблица:

1.НОРВЕЖЕЦ в жёлтом доме, курит Dunhill, пьёт воду, держит кошку
2.ДАТЧАНИН в голубом доме, курит Marlboro, пьёт чай, держит лошадь
3.АНГЛИЧАНИН в красном доме, курит Pall Mall, пьёт молоко, держит птицу
4.НЕМЕЦ в зелёном доме, курит Rothmans, пьёт кофе, держит рыбу
5.ШВЕД в белом доме, курит Winfield, пьёт пиво, держит собаку

Таким образом, рыбу держит НЕМЕЦ.
(+ 2 балла)

Максим Кочубеев: Сосед курильщика Marlboro


Дискуссия

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Всего один участник откликнулся на наш призыв. Владимир Изергин прислал точное решение предложенной задачи:

Здравствуйте!
Спасибо за интересную задачу:
Определить количество "счастливых" билетов, т.е. номеров от 000000 до 999999, у которых сумма первых трех цифр равна сумме трех последних.
Эта задача может быть решена точно с обозримым количеством вычислений. Вот решение:

Эта задача сводится к разделению чисел от 000 до 999 на группы так, что числа с одинаковой суммой цифр попадают в одну группу. Значения количества чисел в каждой группе составляют последовательность Ni, где i – сумма цифр, Ni – количество чисел в группе с такой суммой цифр. Очевидно, i находится в пределе от 0 (число 000) до 27 (число 999). Счастливый билет представляет собой пару двух чисел, взятых из одной группы. Количество таких пар равно X = N02 + N12 + ... + N272. В задаче требуется найти X.

Справедливо утверждение
(1) N27–i = Ni.
Для доказательства будем рассматривать Ni как количество вариантов размещения i штук неразличимых шаров в трёх различимых корзинах ёмкостью 9 шаров каждая. Очевидно, что размещение i шаров в первоначально пустых корзинах равносильно изъятию 27 – i шаров из полных корзин, а количество вариантов изъятий равно количеству вариантов размещений.
Из (1) следует, что X = 2(N02 + N12 + ... + N132) – слагаемых стало в два раза меньше.

Теперь нужно научиться рассчитывать Ni.
Количество вариантов размещения i шаров в j корзинах ёмкостью k обозначим A(i, j, k). Тогда Ni = A(i, 3, 9).

Варианты можно сосчитать следующим образом при j = 3:
а) все шары в одной корзине: 3 варианта выбора корзины, 1 вариант размещения шаров;
б) все шары в двух корзинах: чтобы не реализовался вариант (а), нужно сразу положить в обе корзины по одному шару, а затем раскладывать остальные; получится 3 варианта выбора пары корзин, A(i – 2, 2, 8) вариантов размещения шаров;
в) задействованы все три корзины: чтобы не реализовались варианты (а) и (б), нужно сразу положить в каждую корзину по одному шару, а затем раскладывать остальные; получится 1 вариант выбора тройки корзин, A(i – 3, 3, 8) вариантов размещения шаров.

Таким образом, получено рекуррентное соотношение:
(2) A(i, 3, k) = 3 + 3 A(i – 2, 2, k – 1) + A(i – 3, 3, k – 1)

Оно верно при i <= k. При i > k вариант (а) отпадает, поэтому будет формула без первого слагаемого:
(2’) A(i, 3, k) = 3 A(i – 2, 2, k – 1) + A(i – 3, 3, k – 1)
С помощью аналогичных рассуждений можно получить рекуррентное соотношение для двух корзин:
(3) A(i, 2, k) = 2 + A(i – 2, 2, k – 1) при i <= k
(3’) A(i, 2, k) = A(i – 2, 2, k – 1) при i > k

Следует учесть, что A(i, j, k) не зависит от k, пока i <= k, то есть пока одна корзина может вместить все шары, так что в этом случае будем писать A(i, j) вместо A(i, j, k).

Учитывая, что A(0, 2) = 1, A(1, 2) = 2, можно получить явное выражение для случая двух корзин:
A(i, 2) = i + 1 при i <= k
(4) A(i, 2, k) = 2k – i + 1 при k <= i <= 2k
A(i, 2, k) = 0 при i > 2k

Тогда легко сосчитать количество вариантов для случая трёх корзин по рекуррентным соотношениям (2) и (2’), с учётом формулы (4), сосчитав предварительно число вариантов для i = 0, 1, 2. Вот что получается:

A(0, 3) = 1
A(1, 3) = 3 (шар кладём в одну из трёх корзин, имеем три варианта)
A(2, 3) = 6 (два шара можно положить в одну корзину (три варианта) или разложить по двум корзинам, оставив одну корзину постой (ещё три варианта), всего шесть вариантов)
A(3, 3) = 3 + 3 A(1, 2) + A(0, 3) = 3 + 3*2 + 1 = 10
A(4, 3) = 3 + 3 A(2, 2) + A(1, 3) = 3 + 3*3 + 3 = 15
A(5, 3) = 3 + 3 A(3, 2) + A(2, 3) = 3 + 3*4 + 6 = 21
A(6, 3) = 3 + 3 A(4, 2) + A(3, 3) = 3 + 3*5 + 10 = 28
A(7, 3) = 3 + 3 A(5, 2) + A(4, 3) = 3 + 3*6 + 15 = 36
A(8, 3) = 3 + 3 A(6, 2) + A(5, 3) = 3 + 3*7 + 21 = 45
A(9, 3) = 3 + 3 A(7, 2) + A(6, 3) = 3 + 3*8 + 28 = 55
A(10, 3, 9) = 3 A(8, 2) + A(7, 3) = 3*9 + 36 = 63
A(11, 3, 9) = 3 A(9, 2, 8) + A(8, 3) = 3*8 + 45 = 69
A(12, 3, 9) = 3 A(10, 2, 8) + A(9, 3, 8) = 3 A(10, 2, 8) + 3 A(7, 2) + A(6, 3) = 3*7 + 3*8 + 28 = 73
A(13, 3, 9) = 3 A(11, 2, 8) + A(10, 3, 8) = 3 A(11, 2, 8) + 3 A(8, 2, 7) + A(7, 3) = 3*6 + 3*7 + 36 = 75

Можно было бы продолжить расчёты, чтобы убедиться в справедливости соотношения (1).
Осталось сосчитать результат – удвоенную сумму квадратов полученных выше четырнадцати чисел (здесь можно воспользоваться калькулятором или Excel):
X = 2 (12 + 32 + 62 + 102 + 152 + 212 + 282 + 362 + 452 + 552 + 632 + 692 + 732 + 752) =
= 2 (1 + 9 + 36 + 100 + 225 + 441 + 784 + 1296 + 2025 + 3025 + 3969 + 4761 + 5329 + 5625) =
= 2 * 27626 = 55252

Ответ: 55252 счастливых билетов.
___

Как мы видим, вероятность получить "счастливый билетик" составляет 5,5% - довольно много. Написав короткую программу, я заставил компьютер решить эту задачу перебором и получил такой же ответ: 55252 билета. Владимир Изергин получает заслуженные 5 баллов. Пока я разбирался в этом решении, у меня возник вопрос:

Можно ли посчитать или оценить количество билетов, у которых суммы первых трех и последних трех цифр отличаются на единицу? (Такие билеты в народе называют "свидание".) Ждем ваших писем.
Статья

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Счет у первобытных народов

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии "много". Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать одну от другой небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий "четыре", "пять", "шесть", "семь".

Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. При переговорах туземцу достаточно было сказать, например, что он дошел в своем счете до третьего пальца правой ноги. Чтобы отсчитать нужное количество предметов, счет начинали сначала, от первого пальца правой руки. При этом, отсчитывая каждый палец, одновременно отмечали и предметы. Островитяне Торресова пролива для такого пересчета употребляли не только пальцы, а и другие части тела (запястье, локоть, плечо), но всегда в определенном порядке. Так они могли пересчитывать до 33 предметов.
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии "много". Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать одну от другой небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий "четыре", "пять", "шесть", "семь".

Но с течением времени такими устойчивыми "числами-совокупностями" начали обозначать не только данные предметы, а и другие, похожие на них. Например, "числа-совокупности", обозначающие определенное количество орехов, могли впоследствии употребляться для счета любых круглых предметов. Это привело к тому, что во многих языках первобытных народов образовалось несколько рядов числительных: одни употреблялись только для счета людей, другие — для подсчета круглых предметов, третьи — продолговатых и т. д. Например, у чишмиенов (Британская Колумбия) имелось семь видов числительных, каждый из них употреблялся для счета предметов определенного вида.

У большинства народов числа, которыми считали "деньги", постепенно вытеснили все остальные. По-видимому, это произошло тогда, когда в качестве денег в основном служил скот: приходилось сосчитывать стада, обменивать на них другие предметы. Естественно, что числа, служившие для подсчета скота, получили наибольшее распространение: их все хорошо знали. Они-то и стали теми универсальными числами, которые позволили считать любые предметы.

Хорошей иллюстрацией к такому способу счета служат обозначения чисел, принятые в XI—XVI вв. индейцами племени ацтеков (Мексика): единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками (см. рисунок) и т. д. до пяти. В запись числа "шесть" входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала.

Основной операцией для образования составных чисел было сложение, но наряду с этим применялось и вычитание, а иногда даже умножение. Например, в русском языке, как мы уже говорили, для образования числительных употребляются и сложение и умножение (двадцать семь—два * десять + семь). В угро-финских языках применяется и вычитание: число 8 там произносится как "два-десять" (т. е. десять без двух), 80—как "два-сто", 800—"два-десять-сто" ("десять-сто", т. е. тысяча, — принцип умножения). Так происходило освоение натурального ряда чисел.

Источник: http://www.sitc.ru/konkurs/sabirov/
Информация

Слово автора
Рейтинг
Новые задачи
Решения задач
Дискуссия
Статья
Информация

 Если у Вас есть свой сайт, рассылка, блог и т.п., вы можете разместить там ссылку на страницу моей рассылки (http://algebra.jino-net.ru). Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в начале выпусков рассылки. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.

Если у Вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите нам на e-mail: mhelp-project@yandex.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки. Вы также можете присылать пожелания и замечания. Все письма будут рассмотрены и при необходимости опубликованы.
В избранное