49. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго - 0,8, для третьего - 0,75 и для четвертого - 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х - числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Решить задачу двумя способами.

Решение. 1-й с п о с о б. Пусть A_k (A_k^--) - событие, состоящее в том, что k-й станок не потребует (потребует) внимание рабочего в течение часа. Тогда очевидно:

P(X=0) = P(A₁^--A₂^--A₃^--A₄^--) = (1-0,9)(1-0,8)(1-0,75)(1-0,7) = 0,0015;

P(X=1) = P(A₁A₂^--A₃^--A₄^-- + A₁^--A₂A₃^--A₄^-- + A₁^--A₂^--A₃A₄^-- + A₁^--A₂^--A₃^--A₄) =
= 0,9 * 0,2 * 0,25 * 0,3 + 0,1 * 0,8 * 0,25 * 0,3 + 0,1 * 0,2 * 0,75 * 0,3 + 0,1 * 0,2 * 0,25 * 0,7 = 0,0275;

P(X=2) = P(A₁A₂A₃^--A₄^-- + A₁A₂^--A₃A₄^-- + A₁A₂^--A₃^--A₄ + A₁^--A₂A₃A₄^-- + A₁^--A₂A₃^--A₄ + A₁^--A₂^--A₃A₄) = 0,1685;

P(X=3) = P(A₁A₂A₃A₄^-- + A₁A₂A₃^--A₄ + A₁A₂^--A₃A₄ + A₁^--A₂A₃A₄) = 0,4245;

P(X=4) = P(A₁A₂A₃A₄) = 0,378,

т.е. закон (ряд) распределения случайной величины Х имеет вид:

2-й с п о с о б состоит в том, что заданы законы (ряды) распределения случайных величин Х_k (k=1,2,3,4), выражающих число станков, не потребующих внимания рабочего в течение часа (это число для каждого станка равно 1, если этот станок не потребует внимания рабочего, и равно 0, если - потребует:

Далее необходимо найти закон распределения суммы этих случайных величин, т.е. X = X₁ + X₂ + X₃ + X₄.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн руб.) от объема капиталовложений (X, млн руб.).