Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Напряги мозг

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 4.412 RSS
←   Май 2013   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://strainthebrain.ru/
Открыта: 18-10-2006

Автор
Дух прошлой жизни

Статистика

4.412 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Напряги мозг Поправки к ответам выпуска задач от 29 апреля 2013 г.


Поправки к ответам выпуска задач от 29 апреля 2013 г.
В связи с неверной трактовкой и/или формулировкой ответа на задачу "Деревянные потери"
формулировка ответа изменена следующим образом:
Математика Деревянные потери
На мебельный завод прибыл образец редкого дерева в форме бруса с квадратным сечением. Было принято решение сделать из него для пробы один из элементов дорогой мебели, для чего брус был отправлен на переработку - на токарном станке из бруса равномерно по всей длине стали вытачивать брус с круглым сечением максимально возможного диаметра. Внезапно поступил указ от руководства оставить сечение квадратным. Токарный станок остановили, но к тому моменту половина массы дерева, предполагамеого к удалению с квадратного бруса для достижения им круглого сечения, уже была удалена, стружку обратно не приклеишь. Тогда уцелевший брус отправили на другой станок, на котором брусу вернули форму квадрата максимально возможного размера стачиванием граней.
Вопрос: Во сколько раз уменьшилась масса бруса в процессе этих обработок?
Баллы: 6.0 Правильных ответов: 26.32% (5 из 19)
Мнение участников: 2 (+3/-1) 		Код задачи:
WOODEN_LOSS 		Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: в 1.637 раза
Комментарий: Масса бруса пропорциональна объёму бруса, а объём бруса (так как обработка бруса по условию идёт равномерно по всей длине) пропорционален площади поперечного сечения бруса. Поэтому, рассматривать будем именно поперечное сечение бруса. Изначально поперечное сечение это квадрат со стороной 2r (см рисунок, спасибо, Алексей). Площадь такого сечения равна 4r2. Когда брус начали обрабаотывать, с бруса стачивали углы равномерно по окружности с центром в центре квадрата (радиус R постепенно уменьшался). Конечный результат такого стачивания должен был быть круг радиуса r, а его площадь - πr2. Когда радиус R был таким, что площадь была равна среднеарифметическому между начальной и конечной, стачивание остановили. Из текущего сечения надо теперь получить снова квадрат максимального размера - это квадрат с диагональю 2R, именно этот квадрат - то что получилось в финале операции.
Начнём с того, что зная r и R, найдём площадь фигуры, которая была во время работы токарного станка. Как видно на рисунке, эта фигура представляет собой 4 равных равнобедренных треугольника и 4 равных сектора (квадрат разделён осями симметрии на 4 равные части). Найдём площади этих составляющих.
Площадь треугольника с вертикальной штриховкой равна половине произведения сторон и синуса угла между ними, т.е. в нашем случае
ST = 1/2 × R2 × sin(2φ)
Площадь сектора вычисляется по формуле θr2/2, где θ - угол между радиусами, образующими сектор. В нашем случае θ = π/2 - 2φ.
SC = (π/4 - φ)R2
Угол φ является углом при катете прямоугольного треугольника, где прямой угол - угол между бывшей гранью квадратного сечения и горизонтальной осью симметрии. Так как ось симметрии параллельна одной грани, она перпендикулярна прилежащим к ним. Так как угол φ лежит при катете r и гипотенузе R прямоугольного треугольника, Зависимость между r, R и φ следующая:
r/R = cos(φ)
подставим R = r / cos(φ) в наши площади и найдём площадь всего сечения
(1) S = 4ST + 4SC
= 2 × R2 × sin(2φ) + (π - 4φ)R2
= R2(2sin(2φ) + π - 4φ)
= R2(2sin(2φ) + π - 4φ)
= (2sin(2φ) + π - 4φ)r2/cos2(φ)
В то же время, нас интересует та площадь, когда она была равно удалена от начального (4r2) и конечного состояния (πr2), т.е.
(2) S = (2 + π/2)r2

Как решаются подобные уравнения? Данное уравнение является трансцендентным

При решении трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:

1. Локализация корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.

Первый этап требует исследования знака функции или построения графика, чтобы выделить отрезки, каждый из которых содержит по одному корню. В нашем случае сама постановка задачи такова, что интересующий нас диапазон с нужным нам корнем лежит в пределах от φ = 45° (обработку дерева не начали) до φ = 0° (обработку дерева закончили), а на протяжении этого промежутка функция монотонна - площадь сечения с уменьшением φ монотонно уменьшается. В крайних значениях φ Наша функция имеет различные знаки (при φ = 45° площадь больше искомой, при φ = 0° площадь меньше искомой). Следовательно, в нашем промежутке есть один и только один корень, который мы и ищем.

2. Уточнение корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.

Так как мы выяснили, что при φ = 45° площадь больше положенной, а при φ = 0° площадь меньше положенной, а где-то между этими значениями - наше искомое, применим метод половинного деления - будем находить каждый раз значение примерно в середине отрезка, содержащего корень, и таким образом сужать диапазон описка, пока не достигнем требуемой точности решения. На практике точность всегда имеет разумные пределы, поэтому метод часто используется для решения таких уравнений.

Приведём пример решения данного конкретного уравнения. Напомним, что мы ищем такое φ, чтобы S = (2 + π/2)r2 ≈ 3.5707963268r2
Диапазон φ Диапазон S (/r2) Разница с искомым S(/r2) Поиск решения
45° ... 0° 4.00 ... 3.141592654 +0.42920367 ... -0.42920367 Для угла φ = 22.5° (в середине отрезка) найдём S = 3.4971566
45° ... 22.5° 3.141592654 ... 3.4971566 +0.42920367 ... -0.07363971 Так как наш корень (разница с искомым S) ближе к 22.5°, чем к 45° найдём решение для угла φ = 28°: S = 3.6491944
28° ... 22.5° 3.6491944 ... 3.4971566 +0.0783981 ... -0.07363971 φ = 25°, S = 3.5651015
28° ... 25° 3.6491944 ... 3.5651015 +0.0783981 ... -0.0056948 φ = 25.5°, S = 3.5789753
25.5° ... 25° 3.5789753 ... 3.5651015 +0.008179 ... -0.0056948 φ = 25.2°, S = 3.5706417781
25.5° ... 25.2° 3.5789753 ... 3.5706417781 +0.008179 ... -0.00015455 Так как на столь малом промежутке кривизна функции уже незначительна,
находим корень линейно решая пропорцию. φ = 25.20556361° = 0.4399201 радиан.
Точность вычислений при этом достигла 6 значимых цифр.

Мы нашли сейчас тот самый угол φ, при котором брус от квадратного до круглого сечения прошёл ровно половину потери веса. В этой отметке радиус R равен
R = r / cos(φ) = 1.105234167r
а площадь квадрата, который вновь был получен стачиванием граней из промежуточной фигуры, равна половине произведения диагоналей, где диагональ равна 2R. Таким образом площадь финальной фигуры
Sfinal = (2R)2/2 = 2.4430851279r2
Т.е. площадь уменьшилась с 4r2 до 2.4430851279r2, или в 1.6372740984 раза
А также отвечали...
∙ ответ: не принят
в 1,277 раза
∙ ответ: не принят
1 1/3
∙ ответ: не принят
В полтора раза.
∙ ответ: не принят
примерно в 1.7596 раза
∙ ответ: не принят
корень из Pi, т.е. ~1,77
∙ ответ: не принят
в ~ 1,809571274 раза
∙ ответ: не принят
в 2 раза
∙ ответ: не принят
2,79 раза.
∙ ответ: не принят
4/(3-П)
∙ в -28.25 раза? =)
∙ ответ: не принят
P.S. Предлагаю сделать кнопочку "Уточнить условия задачи"
∙ те, кто хотят уточнить условия задачи, обычно это делают и без кнопочки =)
Ранее принятые ответы пересматриваться не будут. Данная публикация носит лишь информативный характер.
Для связи:
Ведущая: Kate
«Напряги Мозг» (2005-2013)
Это всего лишь игра...
В избранное