1) Любой из читателей может стать участником соревнований. Никакой предварительной регистрации не требуется - просто отправляете свои ответы и автоматически становитесь участником.
2) Каждый участник должен присылать ответы на предлагаемые задачи всё время с одного e-mail адреса, т.к. привязка идёт именно по адрес эл. почты.
3) Участник не обязан решать все предлагаемые задачи.
4) Ответ на каждую из задач должен быть оформлен отдельным письмом. Шаблоны писем уже заложены в ссылках "Отправить ответ", поэтому просьба присылать ответы именно по этим ссылкам, а не как вздумается. Проверяйте правильность заполнения полей при отправке ответов: Кому (To) = "dr.scroodge@gmail.com", Копия (Copy, CC) = "andrey.yeriomin@gmail.com" (если пункта "Копия" не предусмотрено в почтовом клиенте или в web-интерфейсе почтовой службы, отправьте две копии письма - на два этих адреса). Тема письма - код задачи (код указывается рядом со ссылкой "Отправить ответ"). Убедительная просьба: если Вы не очень хорошо владеете английским языком, копируйте коды задач из текста рассылки, а не пишите их вручную с ошибками.
5) Если при отправке ответов Вы ставите опцию "Подтверждение прочтения", то подтверждения будут обязательно высланы.
6) Не стоит слать ответы по 2 и более раз - от этого шансы не увеличиваются.
7) В случае, если прислано несколько ответов на задачу от одного участника, то оценивается только последний присланный ответ.
8) Решения задач, не доведённые до конца, не засчитываются.
9) Максимальный объём прикрепляемых файлов - 150 Кб. Отправляя рисунки, конвертируйте их в форматы JPEG или GIF. Сделать это можно стандартным редактором Paint.
10) В каждом из выпусков указаны дата и время (по Московскому времени), до которых принимаются ответы. Старайтесь укладываться в эти рамки. Времени даётся много - целая неделя на решение задач. Ответы, присланные позже, обработке не подлежат. Поэтому просьба не обижаться опоздавших.
11) С начала нового сезона соревнований баллы всех участников обнуляются.
12) В нашем клубе существует магистр. Чтобы стать магистром клуба, Вам необходимо к концу сезона набрать баллов не меньше, чем у магистра, а затем "сразиться" с ним в интеллектуальном поединке в дискуссионном листе этого клуба.

Задача 1: Книжный червь.

На библиотечной полке стоит некое собрание сочинений в твердом переплете в правильном порядке. Толщина каждого тома 3 см. Толщина книжного блока 2.5 см. Книжный червь вгрызается в бумажную массу со скоростью 1 мм в час.

Вопрос: Сколько времени ему понадобится, чтобы прогрызть расстояние от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома.

За решение задачи начисляется 3 балла.

Задачу прислал(а): Виталий Доценко.

Отправить ответ (код задачи: BOOK_WORM).

Задача 2: Инфляция….

Лазерный проигрыватель с радиоприёмником в наборе "Classic Design +" стоят вместе 2369 рублей. За неделю цена набора увеличилась на 21%. При этом сам проигрыватель подорожал на 12%, а радиоприёмник - на 35%.

Вопрос: Сколько рублей до подорожания стоил радиоприёмник?

За решение задачи начисляется 3.5 балла.

Отправить ответ (код задачи: INFLATION).

Задача 3: Узелок и узелок - и петелька получилась.

+	У	З	Е	Л
	У	З	Е	Л
П	Е	Т	Л	Я

Вопрос: Ну вы, наверное, догадались? Обычное действие сложения в столбик, где надо каждой букве назвать одну единственную соответствующую цифру.

Примечание: Само собой, что каждой букве соответствует одна и только одна цифра, одна цифра двум разным буквам не может быть присвоена, и естественно, буква П не равна нулю, иначе она бы тут не красовалась... Ну и на последок... кому-то помогу, кому-то жизнь усложню... сумма букв У и З равна сумме Т + Я... т.е., конечно не сумма букв, а сумма цифр, им соответствующих.... т.е. У+З = Т+Я…

За решение задачи начисляется 3.5 балла.

Задачу прислал(а): Kirill A Zhigulov.

Отправить ответ (код задачи: 2_KNOTS).

Задача 4: Наборщик ошибся слегка….

В рукописи одного математика было выражение: 5⁴2³. Это означает: 5 в четвёртой степени, умноженное на 2 в третьей степени. Когда рукопись была сдана в печать, наборщик, не поняв этого выражения, набрал его так: 5423. Но 5⁴2³ = 5 * 5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2 = 5000, а не 5423. Ошибка получилась очень грубая. Однако можно привести совершенно подобный же пример из четырёх цифр, когда такая ошибка наборщика не отражается на результате.

Вопрос: Не удастся ли вам отыскать этот пример?

За решение задачи начисляется 4 балла.

Отправить ответ (код задачи: TYPER_MISTAKE).

Задача 5: А шкатулочка дороже….

Лиса Алиса и кот Базилио нашли на Поле Чудес клад: несколько одинаковых монеток, лежащих в красивой и явно дорогой шкатулке. Каждый из них захотел забрать шкатулку себе. К сожалению, друзья не знают, сколько стоит шкатулка, и не могут поделить добычу поровну. Поэтому они решили делить деньги из шкатулки по следующему правилу. Вначале все деньги высыпаются на стол. Затем каждый из кладоискателей по очереди (первой начинает Алиса) подходит к столу и забирает себе не более половины оставшихся на столе денег. Тот, кому досталась последняя монетка, забирает ее себе в качестве утешительного приза, поскольку сопернику достается шкатулка.

Вопрос: Определите, кому достанется шкатулка при оптимальном поведении каждого из игроков, если вначале в ней было N монет (N > 1)

За решение задачи начисляется 5 баллов.

Задачу прислал(а): Alexis.

Отправить ответ (код задачи: GOLDEN_BOX).

Задача 6: Затмение, коего нам не видать….

Две из планет солнечной системы (это не реальный факт - исключительно для задачи) обладают интересным свойством - одна из планет затмевает Солнце для другой планеты через определённое количество лет (рис. снизу), т.е. Солнце и эти две планеты выстраиваются на одной линии через одинаковые промежутки времени. Обе планеты движутся по часовой стрелке. Период обращения 1-ой планеты вокруг Солнца равен 2-м годам, а 2-ой - 4-ём годам. Более того, затмения имеют уникальный характер - каждое следующее затмение затмевает на 10% больше площади 2-ой планеты, нежели предыдущее. Максимально 2-ая планета может быть покрыта тенью на 50% общей поверхности. После того, как в результате затмения 2-ая планета покрывается тенью на максимально возможное значение для своей площади, всё движение начинается обратно - уменьшается максимальная площадь поверхности, на которую падает тень. В 1924 году угол между планетами 1 и 2 относительно Солнца составлял 90 градусов (рис. сверху), а последнее затмение до этого времени покрыло 2-ую планету тенью на 30%, причём в этот период происходило увеличение площади тени (т.е. следующее затмение покроет 40% поверхности).

Вопрос: Какую площадь (в квадратных километрах) будет иметь тень, отброшенная на 2-ую планету в 4-ом затмении XXI века? Ответ должен быть более-менее точный.

Примечание: 1) В результате затмения максимальная площадь тени на 2-ой планете может быть только кратной 10, т.е. не может быть затенено, к примеру, 17%. Естественно, раз это затмение, то 2-ая планета не может быть совсем без тени, поэтому 10% - минимальная площадь тени затмения, после которого площадь снова начинает возрастать с каждым новым затмением. Процент площади тени считается относительно общей площади поверхности планеты.
2) Подразумевается, что 1-ая планета имеет бОльшие размеры, нежели вторая, и что обе планеты шарообразные.
3) Для справки: - Площадь поверхности шара равна 4*PI*R² ("4 пи эр квадрат"), где R - радиус шара.
4) Радиус 1-ой планеты равен 25 тыс. км. Радиус 2-ой планеты равен 21 тыс. км.

[Просмотр]

За решение задачи начисляется 5 баллов.

Отправить ответ (код задачи: ECLIPSE).

Задача 7: Цельсии против Фаренгейтов.

На днях небезызвестный нам Роман Сурков (во блин, везде успевает!) переводил целую положительную температуру из Цельсия в Фаренгейты, получив таким образом 527 из 275 (по формуле перевода F = 9/5 * C + 32).
Сделав это, он обнаружил интересный факт: можно перевести 275 в 527 просто перестановкой одной цифры из конца числа в начало.
Посидев и подумав, он не смог найти такого же примера с перестановкой последней цифры, бОльшего чем этот.

Вопрос: Существует ли температура в Цельсиях (более чем 275 градусов), которая может быть переведена в Фаренгейты перестановкой последней цифры в начало?

Примечание: Роман Сурков, у Вас есть второй шанс :-)))

За решение задачи начисляется 6 баллов.

Отправить ответ (код задачи: TEMPERATURE).

Задача 1: Площадь треугольника (2 балла).

У треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см площадь равна 12 см².

Вопрос: Какая площадь будет у треугольника со сторонами 50 см, 50 см и 60 см?

Правильный ответ: 1200 см².

Комментарий: При изменении линейных размеров в N раз, площади изменяются в N² раз, а объёмы в N³ раз. Это так, для разминки было :-)

Задачу прислал(а): Ненашев Андрей.

Правильных ответов: 89 из 97 (91.8%).

Задача 2: Индиана Джонс и золотой сундук (3 балла).

На одном очень далеком и мало кому известном острове, в секретной глубокой пещере хранится волшебный сундук невиданной красоты. Волшебный он потому, что любой, кто его увидит, становится на 20 лет моложе. Вход в эту пещеру стережет огромный лев, который следит за тем, чтобы любой человек, который решил посмотреть на этот сундук, обязательно взял с собой в пещеру ровно один предмет из чистого золота в подарок. В конце дня лев заходит в пещеру и, открыв сундук тремя хитрыми ключами по очереди, складывает туда собранные за день драгоценности. Прослышал об этом Индиана Джонс решил похитить золото. В древних книгах он нашел рисунок отверстий и отправился в поход. Вскоре весь мир услышал о новом подвиге Индианы…

Вопрос: А вы могли б разбогатеть? Как Индиана Джонс это сделал?

Примечание: Открыть сундук можно или ключом (но он у льва), или предметом, который должен целиком оказаться в замочной скважине и при этом плотно закрыть само отверстие.
P.S. Надеемся, что автор задачи не сильно обозлится за то, что мы немножко её усложнили :)

Правильный ответ: см. рисунок.

[Просмотр]

Комментарий: В зависимости от того, какой стороной вставить этот "ключ", можно закрыть любое из предлагаемых отверстий, при этом этот "ключ" может целиком оказаться внутри отверстия (некоторые о последнем забыли).
P.S. один из ответов: "Индиана засунул в каждое отверстие презерватив и заполнил его монтажной пеной. после того как пена застыла, в скважине оказался предмет, полностью ее заполняющий и плотно закрывающий отверстие..." - сказать, что это улыбнуло - это ничего не сказать :-) всё супер, но вот только где вы видели презервативы из золота? да еще и взять ссобой можно только 1 предмет :-)

Задачу прислал(а): elmurad.

Правильных ответов: 47 из 55 (85.5%).

Задача 3: О возрасте… (4 балла).

Мне сейчас в два раза больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. А когда Вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам вместе будет 63 года.

Вопрос: Сколько лет каждому?

Правильный ответ: Мне 28 лет, Вам 21 год, ничего личного :-)

Комментарий: Мне сейчас в два раза больше лет (28), чем было Вам тогда (семь лет назад: 14), когда мне было столько лет (семь лет назад: 21), сколько Вам теперь (21). А когда Вам будет столько лет (через семь лет: 28), сколько мне теперь (28), то нам вместе будет 63 года (через семь лет: 28 + 35 = 63).
P.S. комментарий участника: "В задаче сделано предположение, что оба человека в задаче - мужчины, хотя, например, в забугорных задачках из соображений политкорректности один из них почти обязательно оказывается девушкой, но сути решения это не меняет.;)" - в тексте задачи ни одного слова о половой принадлежности обнаружено не было, поэтому этот комментарий был вставлен с расчётом "ребята, вы чего?", но прежде чем прокомментировать его нам, взор упал на вопрос задачи... А может, имелось ввиду "сколько лет каждому... собеседнику"... да и вообще, если говорят про двух женщин, говорят "обе", а про мужчину и женщину - "оба", т.е. в мужском роде... Ладно, не напрягайтесь... Ведь если быть политкорректным, то в сказке "Белоснежка и семь гномов" три гнома должны были быть европейской внешности, два - африканской, один - азиатской, и один - латино-мексикано... боюсь задумываться, сколько крови должно быть намешано у самой Белоснежки :-)))

Задачу прислал(а): Gateway Ukraine.

Правильных ответов: 75 из 84 (89.3%).

Задача 4: Верёвочный таймер (4 балла).

Даны два куска веревки. Куски эти разной длины и сделаны из разных материалов. Каждый кусок сгорает от одного конца до другого ровно за один час. Скорость сгорания не постоянна - кусок может гореть быстро сначала и медленно под конец или любым другим способом.

Вопрос: Если у вас есть только эти два куска веревки и коробка спичек, как отмерить ровно 45 минут?

Правильный ответ: Поджигаем веревку 1 с обоих концов, а веревку 2 - только с одного. Когда веревка 1 сгорает полностью, проходит ровно 30 минут, в этот момент поджигаем веревку 2 со второго конца, и веревка 2 догорает еще через 15, итого имеем в сумме 45 минут.

Комментарий: Все варианты вида "сложить вдвое/трое/четверо" и "поджечь посередине" не приняты, так как в условии чётко сказано, что скорость сгорания не постоянна.
P.S. Один из ответов участников: "Одна веревка, подожженная с двух концов, горит ровно 30 минут. Веревка сложена двумя лепестками и подожжена в центре. Один лепесток сгорит через (15 - Х) минут, другой через (15 + Х) минут. ОТВЕТ: Подожжем в центре фигуру с двумя лепестками. Когда один лепесток сгорит, подожжем вторую веревку с одного конца. Когда сгорит второй лепесток, подожжем другой конец второй веревки. Всего 45 минут ровно." - Браво! Может быть, со мной не согласятся, но это просто красивый (и правильный!) ответ, который не мог оставить без комментария...

Правильных ответов: 56 из 71 (78.9%).

Задача 5: Квадрат 6x6 из доминошек (5 баллов).

Возьмем 18 косточек домино… (что-то знакомое, правда?)

Вопрос: Можно ли из них сложить квадрат такой, что любая проведенная через него прямая пересекает хотя бы одну косточку? Ответ обосновать.

Примечание: Напоминаю, что никаких дырок, отверстий, полостей и т.п. В квадрате быть не должно… Это должен быть цельный квадрат размерами 6х6
P.S. Кому-то повезло, кто уже решил задачу с квадратом 4х4 способом, подходящим и для квадрата 6х6, а кому-то придётся придумать что-то поэффективнее перебора :))

Правильный ответ: Нет, это невозможно.

Комментарий: Мы обещали еще дать доказательство невозможности сложить квадрат 4х4 из доминошек. Обещание выполняем:
Допустим, что такой квадрат сложить можно. Проведем параллельно основанию квадрата три прямые, делящие боковые стороны квадрата на четыре равные части. По условию каждая из проведенных прямых пересечет хотя бы одну косточку домино. Но над любой из прямых лежит четное число (4, 8 или 12) маленьких квадратов, равных половине косточки. Поэтому каждая прямая пересекает чётное количество косточек и, значит, не меньше двух. Таким образом, проведенные прямые пересекают не меньше шести косточек. Если теперь аналогичным образом провести три прямые, параллельные боковым сторонам, то и они должны пересечь не менее 6 косточек. Поскольку ни одна косточка не может пересекаться двумя прямыми, то в нашем квадрате должны присутствовать минимум 12 косточек, что невозможно.
Ну а в случае с 18 косточками и квадратом 6х6, доказательство аналогичное, только прямых 5 вертикальных и 5 горизонтальных, т.е. итого 10, и в квадрате должны присутствовать не менее 20 косточек, что опять же невозможно.
P.S. Был еще такой ответ: "нет" - мда, краткость - сестра таланта, но иногда слишком талантлива...

Правильных ответов: 26 из 38 (68.4%).

Задача 6: Спичечные квадраты (5 баллов).

Из 12 спичек можно составить фигуру креста, площадь которого равна 5 "спичечным" квадратам.

Вопрос: Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только 4 "спичечным" квадратам.

Примечание: Пользоваться при этом услугами измерительных приборов нельзя. В фигуре должны "принимать участие" все до единой спички.

Правильный ответ: см. рисунок.

[Просмотр]

Комментарий: Спички следует располагать как показано на рисунке. Площадь этой фигуры равна учетверённой площади "спичечного" квадрата. Дополним мысленно нашу фигуру до треугольника. Получится прямоугольный треугольник (египетский, в котором 3²+4²=5²), основание которого равно 3, а высота 4 спички. Площадь его равна 6 квадратам со стороною в одну спичку. Но наша фигура имеет, очевидно, площадь, которая меньше площади треугольника на 2 "спичечных" квадрата и равна, следовательно, 4 таким квадратам.
P.S. Так же среди верных ответов встречались:
- параллелограмм, образованный двумя гипотенузами прямоугольного треугольника и одной спичкой из малого катета - получается параллелограмм с основанием 1 и высотой 4 спички;
- прямоугольная фигура из 10 спичек (4 квадрата), где 2 спички заменены парами спичек, образующих "вырез" и "врез" равные по площади, из-за чего площадь фигуры также 4 квадратных спички;
- прямоугольная фигура из 8 спичек (3 квадрата), где 2 спички заменены комбинациями из 3 спичек каждая, образующих параллелограммы с основанием 1 и высотой 0.5 спички, дающих в сумме недостающий 1 квадрат.

Задачу прислал(а): EA99.

Правильных ответов: 29 из 63 (46%).

Задача 7: Птичий залёт… (5 баллов).

Курица может лететь со скоростью 5 км/ч, но так как летун из курицы никудышный, она быстро устаёт и, после двух минут полёта, вынуждена три минуты бежать по земле со скоростью 1 км/ч, прежде чем она сможет снова подняться в воздух
Индюк может лететь постоянно со скоростью 4 км/ч, но у него есть вредная "привычка" отклоняться от прямого курса, поэтому на 3 метра его полёта, реально он пролетает по прямой всего два метра
Ворона единственная, кто может лететь прямо и без остановок, со скоростью 2.5 км/ч

Вопрос: Кто из этой троицы займёт первое место на километровой дистанции на олимпиаде для птиц?

Правильный ответ: Курица.

Комментарий: Скорость индюка - 4 * 2/3, т.е. 8/3 км/ч и она постоянна, а значит на километровую дистанцию индюку потребуется T = S/V = 1/(8/3) = 3/8 часа, или 3/8*60 = 180/8 = 22 минуты и 30 секунд
Скорость вороны - 2.5 км/ч и она также постоянна, а значит на километровую дистанцию вороне потребуется T = S/V = 1/(2.5) = 0.4 часа, или 0.4*60 = 24 минуты
Далее, ошибка большинства была в том, что считали среднюю скорость курицы забыв при этом, что движение её неравномерное. А именно: за 5 минут курица пролетает 2 минуты со скоростью 5 км/ч и пробегает 3 минуты по скоростью 1 км/ч, потом пятиминутный цикл повторяется, а значит за каждые 5 минут курица преодолевает S = T₁V₁ + T₂V₂= (2/60)*5 + (3/60)*1 = 10/60+3/60 = 13/60 километра. Видно, что на преодоление километровой дистанции курице надо менее 5 циклов, и остаётся выяснить, сколько времени на это потребуется.
Итак, за 4 цикла курица преодолеет 52/60 километра, и будет находиться в начале цикла, т.е. она только что закончила бежать и готова к двухминутному полёту. За 2 минуты полёта она преодолела бы (2/60)*5 = 10/60 километра, что более чем достаточно, а значит финишную черту она пересечет по воздуху, когда пролетит 8/60 километра за время T = S/V = (8/60)/5 = 8/300 часа или 8/300*60 = 8/5 минуты
Итого: курице для преодоления километровой дистанции потребуется 4 пятиминутных цикла и 8/5 минуты, т.е. 20+8/5 = 21 минута 36 секунд.

Правильных ответов: 57 из 91 (62.6%).

Уже слышатся недовольные возгласы "Почему я?", "А чем я хуже?"... Напоминаем о ссылочке, расположенной после таблицы итогов...

Если Вы не согласны с нашим решением засчитать или не засчитать Ваш ответ на какой-то вопрос, пишите магистру клуба, ответ будет пересмотрен и, возможно, засчитан.

Что-то изменилось, не находите? Дальше будет интересенее!

Страница рассылки: http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.voltage
Архив рассылки: http://subscribe.ru/archive/rest.brain.voltage
Одноимённый дискуссионный лист: http://groups.yahoo.com/group/brace-brain.