1) Любой из читателей может стать участником соревнований. Никакой предварительной регистрации не требуется - просто отправляете свои ответы и автоматически становитесь участником.
2) Каждый участник должен присылать ответы на предлагаемые задачи всё время с одного e-mail адреса, т.к. привязка идёт именно по адрес эл. почты.
3) Участник не обязан решать все предлагаемые задачи.
4) Ответ на каждую из задач должен быть оформлен отдельным письмом. Шаблоны писем уже заложены в ссылках "Отправить ответ", поэтому просьба присылать ответы именно по этим ссылкам, а не как вздумается. Проверяйте правильность заполнения полей при отправке ответов: Кому (To) = "dr.scroodge@gmail.com", Копия (Copy, CC) = "andrey.yeriomin@gmail.com" (если пункта "Копия" не предусмотрено в почтовом клиенте или в web-интерфейсе почтовой службы, отправьте две копии письма - на два этих адреса). Тема письма - код задачи (код указывается рядом со ссылкой "Отправить ответ"). Убедительная просьба: если Вы не очень хорошо владеете английским языком, копируйте коды задач из текста рассылки, а не пишите их вручную с ошибками.
5) Если при отправке ответов Вы ставите опцию "Подтверждение прочтения", то подтверждения будут обязательно высланы.
6) Не стоит слать ответы по 2 и более раз - от этого шансы не увеличиваются.
7) В случае, если прислано несколько ответов на задачу от одного участника, то оценивается только последний присланный ответ.
8) Решения задач, не доведённые до конца, не засчитываются.
9) Максимальный объём прикрепляемых файлов - 150 Кб. Отправляя рисунки, конвертируйте их в форматы JPEG или GIF. Сделать это можно стандартным редактором Paint.
10) В каждом из выпусков указаны дата и время (по Московскому времени), до которых принимаются ответы. Старайтесь укладываться в эти рамки. Времени даётся много - целая неделя на решение задач. Ответы, присланные позже, обработке не подлежат. Поэтому просьба не обижаться опоздавших.
11) С начала нового сезона соревнований баллы всех участников обнуляются.
12) В нашем клубе существует магистр. Чтобы стать магистром клуба, Вам необходимо к концу сезона набрать баллов не меньше, чем у магистра, а затем "сразиться" с ним в интеллектуальном поединке в дискуссионном листе этого клуба.

Задача 1: Книжный червь (3 балла).

На библиотечной полке стоит некое собрание сочинений в твердом переплете в правильном порядке. Толщина каждого тома 3 см. Толщина книжного блока 2.5 см. Книжный червь вгрызается в бумажную массу со скоростью 1 мм в час.

Вопрос: Сколько времени ему понадобится, чтобы прогрызть расстояние от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома.

Правильный ответ: 5 часов

[Просмотр]

Комментарий: Вся каверзность задачи в том, что в собрании сочинений, стоящем на полке передняя створка обложки первого тома соприкасается с задней створкой второго (поставьте на полку любой двухтомник – и вы в этом убедитесь). Поэтому "дистанция" для червя будет равна толщине двух створок обложки, т.е. 0,5 см, на прогрызание которых он затратит 5 часов.
P.S. Alena, спасибо за рисунок :-)

Задачу прислал(а): Виталий Доценко.

Правильных ответов: 23 из 85 (27.1%).

Задача 2: Инфляция… (3.5 балла).

Лазерный проигрыватель с радиоприёмником в наборе "Classic Design +" стоят вместе 2369 рублей. За неделю цена набора увеличилась на 21%. При этом сам проигрыватель подорожал на 12%, а радиоприёмник - на 35%.

Вопрос: Сколько рублей до подорожания стоил радиоприёмник?

Правильный ответ: 927 рублей.

Комментарий: Так как подорожание всего комплекта на 21% равно подорожанию проигрывателя на 12% и приёмника на 35%, составим уравнение
1.21(x+y) = 1.12x + 1.35y
где x - цена проигрывателя, а y - цена приёмника. Отсюда выводим отношение цен этих предметов:
9x = 14y
Значит, приёмник стоит 9/14 цены проигрывателя или 9/23 от общей их стоимости, т.е. 2369 * 9/23 = 927 рублей
P.S. По недосмотру ведущих задачу можно трактовать так, что 2369 рублей - стоимость набора после подорожания, и в этом случае стоимость радиоприёмника составит 766 рублей 12 копеек - такие ответы также были приняты.

Правильных ответов: 78 из 79 (98.7%).

Задача 3: Узелок и узелок - и петелька получилась (3.5 балла).

+	У	З	Е	Л
	У	З	Е	Л
П	Е	Т	Л	Я

Вопрос: Ну вы, наверное, догадались? Обычное действие сложения в столбик, где надо каждой букве назвать одну единственную соответствующую цифру.

Примечание: Само собой, что каждой букве соответствует одна и только одна цифра, одна цифра двум разным буквам не может быть присвоена, и естественно, буква П не равна нулю, иначе она бы тут не красовалась... Ну и на последок... кому-то помогу, кому-то жизнь усложню... сумма букв У и З равна сумме Т + Я... т.е., конечно не сумма букв, а сумма цифр, им соответствующих.... т.е. У+З = Т+Я…

Правильный ответ:

+	8	3	6	2
	8	3	6	2
1	6	7	2	4

Комментарий: Если бы не уточнение "У+З=Т+Я", то вариантов решения было бы 7, а так - одно и только одно
P.S. Вариант ответа один и только один, поэтому все ответы, где вариантов было много, не засчитаны.

Задачу прислал(а): Kirill A Zhigulov.

Правильных ответов: 56 из 62 (90.3%).

Задача 4: Наборщик ошибся слегка… (4 балла).

В рукописи одного математика было выражение: 5⁴2³. Это означает: 5 в четвёртой степени, умноженное на 2 в третьей степени. Когда рукопись была сдана в печать, наборщик, не поняв этого выражения, набрал его так: 5423. Но 5⁴2³ = 5 * 5 * 5 * 5 * 2 * 2 * 2 = 5000, а не 5423. Ошибка получилась очень грубая. Однако можно привести совершенно подобный же пример из четырёх цифр, когда такая ошибка наборщика не отражается на результате.

Вопрос: Не удастся ли вам отыскать этот пример?

Правильный ответ: 2⁵9² = 32×81 = 2592

Правильных ответов: 47 из 48 (97.9%).

Задача 5: А шкатулочка дороже… (5 баллов).

Лиса Алиса и кот Базилио нашли на Поле Чудес клад: несколько одинаковых монеток, лежащих в красивой и явно дорогой шкатулке. Каждый из них захотел забрать шкатулку себе. К сожалению, друзья не знают, сколько стоит шкатулка, и не могут поделить добычу поровну. Поэтому они решили делить деньги из шкатулки по следующему правилу. Вначале все деньги высыпаются на стол. Затем каждый из кладоискателей по очереди (первой начинает Алиса) подходит к столу и забирает себе не более половины оставшихся на столе денег. Тот, кому досталась последняя монетка, забирает ее себе в качестве утешительного приза, поскольку сопернику достается шкатулка.

Вопрос: Определите, кому достанется шкатулка при оптимальном поведении каждого из игроков, если вначале в ней было N монет (N > 1)

Правильный ответ: В случае, если количество монет окажется 2ⁿ-1, то Алисе шкатулку не видать, во всех остальных же случаях - шкатулка достанется именно Алисе.

Комментарий: Итак, давайте посмотрим:
В случае, если останется 1 монета (ход Алисы) - Базилио забирает шкатулку.
В случае двух монет - шкатулка у Алисы.
В случае трёх - снова у Базилио.
В случае 4 или более монет Алисе просто нужно "добивать" количество монет до 2ⁿ-1, и тогда у Базилио не будет выбора: шкатулка достанется Алисе.
Однако, если изначально будет именно 2ⁿ-1 монет, то "добивать" будет уже Базилио и Алиса окажется в проигрыше.

Задачу прислал(а): Alexis.

Правильных ответов: 32 из 57 (56.1%).

Задача 6: Затмение, коего нам не видать… (5 баллов).

Две из планет солнечной системы (это не реальный факт - исключительно для задачи) обладают интересным свойством - одна из планет затмевает Солнце для другой планеты через определённое количество лет (рис. снизу), т.е. Солнце и эти две планеты выстраиваются на одной линии через одинаковые промежутки времени. Обе планеты движутся по часовой стрелке. Период обращения 1-ой планеты вокруг Солнца равен 2-м годам, а 2-ой - 4-ём годам. Более того, затмения имеют уникальный характер - каждое следующее затмение затмевает на 10% больше площади 2-ой планеты, нежели предыдущее. Максимально 2-ая планета может быть покрыта тенью на 50% общей поверхности. После того, как в результате затмения 2-ая планета покрывается тенью на максимально возможное значение для своей площади, всё движение начинается обратно - уменьшается максимальная площадь поверхности, на которую падает тень. В 1924 году угол между планетами 1 и 2 относительно Солнца составлял 90 градусов (рис. сверху), а последнее затмение до этого времени покрыло 2-ую планету тенью на 30%, причём в этот период происходило увеличение площади тени (т.е. следующее затмение покроет 40% поверхности).

Вопрос: Какую площадь (в квадратных километрах) будет иметь тень, отброшенная на 2-ую планету в 4-ом затмении XXI века? Ответ должен быть более-менее точный.

Примечание: 1) В результате затмения максимальная площадь тени на 2-ой планете может быть только кратной 10, т.е. не может быть затенено, к примеру, 17%. Естественно, раз это затмение, то 2-ая планета не может быть совсем без тени, поэтому 10% - минимальная площадь тени затмения, после которого площадь снова начинает возрастать с каждым новым затмением. Процент площади тени считается относительно общей площади поверхности планеты.
2) Подразумевается, что 1-ая планета имеет бОльшие размеры, нежели вторая, и что обе планеты шарообразные.
3) Для справки: - Площадь поверхности шара равна 4*PI*R² ("4 пи эр квадрат"), где R - радиус шара.
4) Радиус 1-ой планеты равен 25 тыс. км. Радиус 2-ой планеты равен 21 тыс. км.

Правильный ответ: 1.108 млрд. км²

Комментарий: Несложными расчётами узнаём следующее:
1. зная скорости обращения планет, вычисляем, что периодичность затмений - 4 года.
2. зная текущий угол между планетами, вычисляем, что следующее затмение будет через год (первая планета пройдёт 0.5 оборота, вторая - 0.25 оборота, и их фазы совпадут), т.е. в 1925 году, причём покроет планету на 40% поверхности, а в 1929 году - на 50%.
3. из (1) и условий следует, что периодичность циклов затмений 50-40-30-20-10-20-30-40-50 составляет 32 года (8 раз по 4 года).
4. из (3) и (2) узнаём, что затмение 1929 года полностью повторится в 1961 году, а затем в 1993.
5. ну а после 1993 года затмения будут следующими: 1997 год - 40%, 2001 год - 30%, 2005 год - 20%, 2009 год - 10%, 2013 год - 20%. Именно в 2013 году будет четвертое затмение XXI века, и покроет оно планету на 20% поверхности.
6. а теперь, вычислив площадь поверхности планеты (5.542 млрд. км²), легко находим 20% (1.108 млрд. км²)
P.S. Вопрос внимательно прочитали? Ответы "20%" не приняты.
P.P.S. Мда, запутались вы в больших-то числах :-)

Правильных ответов: 28 из 45 (62.2%).

Задача 7: Цельсии против Фаренгейтов (6 баллов).

На днях небезызвестный нам Роман Сурков (во блин, везде успевает!) переводил целую положительную температуру из Цельсия в Фаренгейты, получив таким образом 527 из 275 (по формуле перевода F = 9/5 * C + 32).
Сделав это, он обнаружил интересный факт: можно перевести 275 в 527 просто перестановкой одной цифры из конца числа в начало.
Посидев и подумав, он не смог найти такого же примера с перестановкой последней цифры, бОльшего чем этот.

Вопрос: Существует ли температура в Цельсиях (более чем 275 градусов), которая может быть переведена в Фаренгейты перестановкой последней цифры в начало?

Примечание: Роман Сурков, у Вас есть второй шанс :-)))

Правильный ответ: 2941176470588235275, где подчёркнутая часть числа может повторяться любое количество раз.

Комментарий: Прежде всего, нам известно, что последняя цифра в температуре по Цельсию - это цифра 5, так как это число должно делиться на 5 нацело (5 или 0), и эта цифра не 0 (так как эта цифра переносится в начало температуры по Фаренгейту). Значит, формулу можно написать так:
С = 10x+5,
F = (10x+5)×9/5+32 = 5×10ⁿ+x, (1)
где x - часть числа без переносимой цифры, а n - количество цифр в x.
Из (1) выводим, что х = (5×10ⁿ-41)/17,
а значит, число в скобках делится на 17. Подбором n находим, что минимальный такой n это число 18 (годится еще n=2, но он не подходит, так как этот пример указан в условии), и следовательно x = 294117647058823527
Теперь, приписав ранее найденную цифру 5 в конце числа х, получим температуру по Цельсию, а приписав эту же цифру 5 в начале числа х, получим ту же температуру, но уже по Фаренгейту
P.S. ответов бесконечно много, для n = 16m+2 (где m - натуральное число)
P.P.S. Варианты "почти" и "округлённо" не приняты, об этом и речи в условии не было.
P.P.P.S. Даже на хорошем одиночном компьютере с максимально оптимизированным алгоритмом перебора вы бы не успели найти это число :-)

Правильных ответов: 14 из 44 (31.8%).

Если Вы не согласны с нашим решением засчитать или не засчитать Ваш ответ на какой-то вопрос, пишите магистру клуба, ответ будет пересмотрен и, возможно, засчитан.

Мда... Вот как жизнь раскидала верхушку нашего "айсберга"... Ну теперь начнётся борьба не на жизнь, а на смерть :-) Потенциальных кандидатов в магистры осталось всего трое, так что держитесь (если найдёте за что) :-)

Страница рассылки: http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.voltage
Архив рассылки: http://subscribe.ru/archive/rest.brain.voltage
Одноимённый дискуссионный лист: http://groups.yahoo.com/group/brace-brain.