Логические задачи на сообразительность - 8 июня 2001 года

Прошу вас присылать головоломки и задачи. Наиболее интересные появятся
в рассылке вместе с авторской ссылкой. Также можно присылать ответы на задачи.
----------------------------------------------------------

Здравствуйте!


Самым первым ответы прислал Vadim.
Далее ответы присылали: Antarius, Михаил, u_ser, Anastasia Zatolokina, Alexx,
HeavyMetall,
Иванов Евгений Владиславович, Лина, и другие.
Единственный человек, правильно ответивший на 7-й вопрос - Игорь Волков (Торонто).

                Ответы на задачи


        Позапрошлого выпуска.
6. Прислал Konstantin Tretyakov.
Пусть множество А={1/2; 1/3; 1/4; 1/5; ...... 1/2000; 1/2001}
Требуется найти сумму всех возможных произведений по 2, по 4, по 6... по 2000
элементов данного множества.

Решение.
S1 = Сумма произведений по 1, 2, 3, 4 ... 2000 элементов.
S2 = Тоже cумма произведений по 1, 2, 3, 4 ... 2000 элементов, только
перед произведениями по 1, 3, 5, 7... 1999 элементов стоят минусы.

Искомая сумма S = (S1+S2)/2

S1 = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)....(1+1/2001) - 1
S2 = (1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/4).....(1-1/2001) - 1.

Ну и далее просто

S = ( (3/2  4/3  5/4 ... 2002/2001) + (1/2  2/3  3/4 .... 2000/2001)  -
2 ) / 2 =
= ( 2002/2 + 1/2001 - 2 ) /2 = (999 1/2001) /2 = 499 1001/2001



        Прошлого выпуска.
1. Есть нить которая неравномерно горит, но известно что горит она ровно 1 час.
Есть спички. Как с помощью этих предметов отсчитать 30 мин? А 45 мин? (Anatoly
Voropay)

Ответ. Было несколько решений. Вы сами можете выбрать правильный.
1) 30 мин - поджечь нить с двух концов;
45 мин - продать нить и спички, купить часы =)
2) Если поджечь нить с двух сторон, она будет гореть 30 мин. Когда нить с одного
конца
догорит до середины (это будет 30 мин), нужно поджечь второй конец. Нить должна
гореть 45 мин. Середину нити можно определить сложив ее пополам. Дальнейшим
складыванием
можно разделить нить на четверти. Таким образом можно определить 3/4 нити
(3/4 нити горят 45мин).
3) Требуется последовательно, в течение времени горения нити, зажигать спички.
После чего подсчитать количество сгоревших. Далее v разделить количество
сгоревших спичек на 60 мин. Получим время горения одной спички. Нетрудно на
основании
этого получить количество спичек для 30 и 45 минут горения.


2. Два человека решили посоревноваться своим умом. Им дали три колпака (2-белых
и 1-черный).
Их завели в темную комнату и надели на них два белых колпака, после их привели
обратно.
Долго они смотрели друг на друга. Наконец, один из них  воскликнул: "На мне
белый колпак!"
Как этот человек догадался что на нем белый колпак.

Решение. Если бы на человеке, который догадался, был черный колпак, то его соперник,
не
долго думая, понял бы, что на нем колпак белый (т.к. всего 2 белых и только
один черный колпак). А так как соперник молчит, то значит на догадавшемся колпак
белый.

3. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выезжают навстречу друг
другу два
велосипедиста со скоростью 8 и 12 км/ч. Вместе с первым со скоростью 15 км/ч
выбегает
собака. Она бежит до встречи со вторым- велосипедистом, затем возвращается к
первому,
затем снова бежит ко второму и т.д. до встречи велосипедистов. Сколько километров
пробежит собака?

Решение. Велосипедисты сближаются со скоростью 8+12=20 км./час.
Расстояние между ними - 60 км. Следовательно, они  сближаются в течение 60/20=3
часа.
Столько же времени бегает собака. Она бегает со скоростью 15 км./час.
Следовательно, она пробежит 3*15=45 км.

4. Если к половине дней, прошедших с начала года, прибавить 1/3 числа дней,
оставшихся
до конца года, то получится число уже прошедших дней. Считая, что в году 365
дней,
определить какого числа и месяца это было.

Решение. Обозначим за х число дней, прошедших от начала года, тогда число дней
оставшихся
равно 365-х. В соответствие с условием составляем уравнение:
х/2+(365-х)/3=х. Решив это уравнение, получим, что с
начала года прошло 146 дней. Это, учитывая число дней
в январе, феврале, марте и апреле соответствует 26-му
мая.

5. Найти сотую цифру после запятой в десятичной записи обыкновенной дроби 1/13.

Решние. Цифра 9. Разделив 1 на 13, получим периодическую десятичную дробь
вида 0,(076923). В то же время 100 :6 = 16 и 4 в остатке, следовательно, искомая
цифра 9.

6. Пешеход, идя по улице города, заметил, что через каждые 12 мин. его обгоняет
трамвай,
а через каждые 6 мин. он сам встречает трамвай. Считая, что пешеход и трамвай
движутся
равномерно, определить, через какой промежуток времени трамваи отправляются
с конечных станций.

Решение. За то время, пока пешеход встретит 2 встречных трамвая и его
догонит 1 трамвай, догоняющий трамвай встретит 3 трамвая. Значит время
прохождения трамваями навстречу друг другу = 4 минуты. Двигаются они с
одинаковой скоростью, значит интервал = 8 минут.

7. Задача из математической викторины.
Кем было предложено обозначать отношение длины окружности к ее диаметру буквой
пи?

Ответ. Обозначение числа пи происходит от греческого слова  ("окружность").
Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У.Джонс,
но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал
систематически употреблять Леонард Эйлер.


                Новые задачи (по письмам читателей)
1. Из пункта А в пункт Б перевозят на цистерне спирт, объем цистерны 9000 литров
в
пункте А ее заливают доверху при сливе спирта в пункте Б оказывается что
не хватает одного ведра а по праздникам двух. Цистерна после залива спирта
была герметично запечатана, на пути всего следования цистерны были
расставлены контролирующие органы, результат - при сливе спирта не хватает
одного ведра. Испарением и остатками на стенках цистерны можно пренебречь.
Что же произошло? (Бабалак)

2. Стоит 10 - метровый столб, гусеница за ночь взбирается на 6 метров, а
ночью спускается на 5 метров. За сколько суток она достигнет вершины
столба? (Александр Маслов)

3. В кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них -- не
пятак. Что это за монеты? (Chsv)

Следующие задачи прислал mike.
4. Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа.
Волку бежать до поросят (если бы они стояли на месте) 4 мин.
Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 мин. Волк бежит в 2 раза
быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Наф-Нафа?

5. Найдите ошибку: 1рубль=100копеек=10коп x 10коп= 0,1рубля x 0,1рубля=
=0,01рубля=1коп

6. Расшифруй пример на сложение: АБ+А=БВВ

7. Из Чайковского в Пермь самолёт летит 1ч 20мин, а обратно 80мин.
Чем объяснить такую разницу?

8. Напишите число 100 с помощью пяти единиц и знаков действий.


Вопрос дня: какие задачи вы хотели бы видеть в рассылке (уровень сложности,
разделы математики)?

Спасибо всем авторам и читателям, которые присылают свои предложения, задачи
и ответы
для рассылки!


На сегодня это все,
Евгений (logicpuzzles@pochtamt.ru)
"МАГ" - математическая гимнастика (http://mat-game.narod.ru)