Логические задачи на сообразительность

Прошу вас присылать головоломки и задачи. Наиболее интересные появятся
в рассылке вместе с авторской ссылкой.
----------------------------------------------------------
Здравсвтуйте!
Поздравляю всех с Масленицей, а мужчин с прошедшим праздником.

В конце зимы у автора рассылки будет день Рождения. По этому (и не только) поводу
я
хочу провести конкурс на скорость решения задач. Принимаются предложения по
форме
его проведения и задачи для конкурса. Адрес (изменился):  logicpuzzles@pochtamt.ru
Кстати, если найдутся спонсоры, то победитель получит подарок.

В прошлом выпуске была допущена неточность в ответе на вторую задачу:
2. На один товар дважды была снижена цена, каждый раз на 15%. На другой товар,
бывший до снижения в одной цене с первым, снизили цену один раз на 30%. Какой
из этих товаров после снижения стал дешевле и на сколько процентов?
Ответ: После снижения цены на первый товар, она составила:
(х-0.15х)-0.15(х-0.15х), т.е. 72.25% от первоначальной цены;
цена первого товара после снижения составила 70%. Т.о. второй товар стал
дешевле на 2.25% или на 3.11% от конечной стоимости первого товара.

Спасибо всем, кто присылает свои задачи и пожелания!
К сожалению, ответить каждому я не могу, но все предложения читаю и
принимаю к сведению.
Например, было предложение отделять ответы от задач прошлого выпуска.
По этому поводу я могу посоветовать прочитать задачи в архиве (это также
относится и к новым подписчикам). Там они без ответов.

                                ******************

Задачи предыдущего выпуска с ответами:
1. Доказать, что n^2-8 не делится на 5 ни при каком натуральном значении n.
Ответ: Чтобы число n^2-8 делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрами 0 или
5,
а n^2 - цифрами 8 или 3. Но квадраты целых чисел не оканчиваются этими цифрами.

2. Доказать, что ни при каком целом положительном x значение многочлена
x^2+3x+5 не делится на 121.
Ответ: Предположим, что трехчлен делится на 121, т.е. x^2+3x+5=121k. Получаем
уравнение x^2+3x+(5-121k)=0, отсюда получаем решения уравнения. Чтобы х было
целым,
необходимо, чтобы 44k-1 равнялось 11k(один)^2, т.е. 44k-11k(один)^2=1. А это
равенство невозможно.

3. К числу 34 приписать по одной цифре справа и слева так, чтобы получившееся
четырехзначное число делилось на 45.
Ответ: Чтобы число делилось на 5, справа надо приписать 0 или 5, а чтобы оно
делилось на 9, слева приписать, соответственно, 2 или 6.

4. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до
50?
Ответ: 12 нулей. Нулей будет столько , сколько в произведении окажется пятерок,
т.е. 50/5 + 50/25=10+2.

5. Доказать, что число (777)^7 + 1 не делится нацело на 5.
Ответ: (777)^7 + 1=7^(194*4+1) + 1=7*2401^194 + 1=7(1ON + 1)+1=7ON + 8 - не
делится
на 5, так как не оканчивается цифрой 5.

*6. Диагонали делят произвольный четырехугольник на 4 треугольника. Известно,
что площади трех из них 1, 2, 3 кв. см. Каким может быть площадь четвертого?
Ответ: 3/2 кв. см.

                                ******************

Новые задачи:
1. Есть река, через нее перекинут мост. Ночью на одном берегу стоят 4 человека,
которые переходят мост с разной скоростью. Первый за 1 минуту, второй за 2,
третий за 5 и четвертый за 10. Так как мост очень старый, то он может выдержать
вес не более двух человек. Кроме того, из-за своей шаткости, без фонарика мост
тоже не перейдешь, а фонарик на всех только один.
Когда двое переходят мост, то их время перехода считается по самому медлительному
из этой пары. Задача состоит в том, чтобы переправить всех четверых на другой
берег за 17 минут.
Задачу прислал Третьяков Михаил <tretmike@mail.ru>

2. Какой цифрой оканчивается сумма:
11^6 + 14^6 + 16^6?
3. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй
- 3.
Вместе они очистили 100 штук. Сколько времени работал каждый, если второй
проработал на 25 минут больше первого?
4. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать
на
мотоцикле, который движется вдвое быстрее велосипеда, а вторую половину - пешком,
что вдвое медленнее, чем проехать на велосипеде?
5. Самолет совершил рейс из Казани в Москву и обратно. Когда продолжительность
меньше: если самолет летит в безветренную погоду, или когда ветер дует с постоянной
скоростью в одном направлении?
6. Рыбаки выловили сетью 42 рыбы, пометили их и снова бросили в воду. На другой
день
рыбаки выловили той же сетью 48 рыб. Среди них оказались 2 меченые. Можно ли
по
этим данным определить, сколько всего рыб в пруду?

На сегодня это все,
Евгений (fedotov@mailru.com)