Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 521
∙ повысить рейтинг » 		epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 29
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 25
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2711
Дата выхода:20.07.2020, 18:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:142 / 120
Вопросов / ответов:2 / 2

Консультация # 199009: Добрый день,помогите пожалуйста: Вычислить тройной интеграл ∫∫∫10y^2 * e^((xy)/2)dxdy, если область интегрирования ограничена поверхностями V: x=0. y= 1/8 . y=x/8. z=0. z=-8 ...
Консультация # 199010: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Найти объем тела, ограниченного поверхностями V: x^2 + y^2 = 9x; x^2 + y^2 + z^2 = 81...

Консультация # 199009:

Добрый день,помогите пожалуйста:
Вычислить тройной интеграл ∫∫∫10y^2 * e^((xy)/2)dxdy, если область интегрирования ограничена поверхностями V: x=0. y= 1/8 . y=x/8. z=0. z=-8

Дата отправки: 10.07.2020, 17:50
Вопрос задал: naks1mok (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, naks1mok!
Условие: Функция f(x,y) = 10·y2·ex·y/2 , ограничивающие поверхности X1 = 0 , y1 = 1/8 , y = x/8 , Z1 = -8 , Z2 = 0 .
Вычислить тройной интеграл I(x,y) = v∫∫∫f(x,y)·dx·dy·dz

Решение : "Чтобы вычислить тройной интеграл, надо задать порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам. После чего последовательно расправиться с 3мя одиночными интегралами" (цитата из учебно-методической статьи "Тройные интегралы" Ссылка )

В нашей задаче тело представляет собой треугольную призму, у которой в основании треугольник ABC (ниже прилагаю чертёж, сделанный мною в программе Маткад Mathcad-ссылка) . В высоту эта призма простирается от плоскости Z1 = -8 до плоско сти Z2 = 0 (XOY).

Для нахождения координат пограничных точек пересечения ограничивающих поверхностей подставим в уравнение вертикальной поверхности y(x) = x/8 точки смежных поверхностей X1 = 0 и Y2 = 1/8 . Получим точки Y1 = 0 (для точки A(0 ; 0) на чертеже) и X2 = 1 (для точки C(1 ; 1/8) на чертеже).

Вычисляем сначала первый (внутренний из трёх) интеграл Iz(x,y) = Z1Z2∫f(x,y)·dz .
Из формулы видно, что горизонтальное сечение призмы и подинтегральная функция НЕ зависят от её z-высоты, поэтому процесс интегрирования можно заменить простым умножением под-интегральной функции f(x,y) на высоту призмы ΔZ = 0 - (-8) = 8 :
Iz(x,y) = 8·f(x,y) = 80·y2·ex·y/2

Затем вычисляем второй интеграл Iy(x,y) = Y1Y2∫Iz(x,y)·dy
Напоминаю, что в процессе интегрирования по переменной &qu ot;y", мы выносим переменную "x" за знак интеграла, как константу.

Затем - третий таким же образом : Ix(x) = X1X2∫Iy(x,y)·dx = 1,303
Более подробные формулы я показал на приложенном скриншоте.
Ответ : тройной интеграл, ограниченный 5-ю поверхностями, равен 1,30 условных ед.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 15.07.2020, 12:24

5
[forid=259041] Большое спасибо!
-----
Дата оценки: 20.07.2020, 08:06
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 199010:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями V: x^2 + y^2 = 9x; x^2 + y^2 + z^2 = 81

Дата отправки: 10.07.2020, 17:56
Вопрос задал: naks1mok (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, naks1mok!
Условие : Даны 2 поверхности: x2 + y2 = 9x ; x2 + y2 + z2 = 81
Вычислить объём V тела, ограниченного заданными поверхностями.

Решение: В школе мы проходили Уравнение окружности: x2 + y2 = R2 , где R - радиус окружности. Развиваем тему окружности до шара. Заданная нам 2я поверхность с уравнением
x2 + y2 + z2 = 81 = 92 = R2 - это поверхность объёмной сферы радиусом R = 9 единиц, и с центром в начале координат OXYZ .

В уравнении первой поверхности x2 + y2 = 9x координата Z отсутствует. Значит, эта первая поверхность есть цилиндр бесконечной высоты вдоль оси OZ , а его проекция на плоскость XOY описывается уравнением:
x2 - 9·x + y2 = 0
Выделим из неё полный квадрат:
(x2 - 2·4.5x + 4.52) + y2 = 4.52
Мы получили окружность (x - 4.5)2 + y2 = 4.52 радиусом r = 4.5 с центром в точке X0 = 4.5 , Y0 = 0 .

Чтобы представить тело, ограниченное 2мя поверхностями, надо вычислить границы между заданными поверхностями.
Я начертил 2 проекции тела: горизонтальную (верхний рисунок) и вертикальную (нижний рисунок) в программе Маткад ссылка). Чертёж прилагаю.

На состыкованных проекциях видно, что искомое тело - это правая по рисунку половина шара, из которого вертикальная труба-цилиндр вырезала круг в плоскости XOY (z=0) .
Тело простирается по высоте от точки Z1 (0 , 0, -R) до точки Z2 (0 , 0, R) .
На высоте -R < z < 0 или 0 < z < R горизонтальное сечение тела ограничено двумя окружностями разных радиусов r и R .< br>Искомый объём V тела вычислим интегрированием площади S(z) горизонтального сечения с элементарной толщиной dz на интервале -R < z < R .

Но сначала рассмотрим горизонтальное сечение на некоторой высоте zi с текущей вертикал-координатой z .
Вычислим аналитически пограничные точки - границы заданных поверхностей x2 + y2 = 9x и x2 + y2 + z2 = 81 .
Для этого подставим сумму квадратов цилиндра x2 + y2 = 9x в уравнение сферы x2 + y2 + z2 = 81 :
Получим : 9·x + z2 = 81
Пограничная x-координата : x = 9 - z2/9
Формулы вычисления площадей и объёма показаны на Маткад-скриншоте. Там же выполнена упрощённая проверка решения.
Ответ: объем тела, ограниченного 2мя поверхностями, равен 879 ед3.

Решение похожей задачи есть в учебно-методической статье "Тройные интегралы. Вычисление объёма тела" Ссылка \ Пример11 . Однако в Вашей задаче присутствует затрудняющая особенность: НЕсовпадение центров тел вращения.
Если у Вас останутся вопросы, задавайте их в минифоруме Вашей Консультации.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 16.07.2020, 15:29

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 20.07.2020, 08:06
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное