Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Октябрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь #15



СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск N15 от 20.10.2007 Подписчиков: 278
Рассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka BrainMan, ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/, http://www.softhome.ru/
E-mail рассылки (для всех писем): matematics@mail.ru
Страница рассылки: http://content.mail.ru/pages/p_26428.html
Архив рассылки: http://content.mail.ru/arch/arch_26428.html
Сайт рассылки: в разработке ( http://algebra.jino-net.ru)
Математический форум: http://strahov.jino-net.ru/forum/
Выпуск подготовил: Павел Страхов aka BrainMan

Слово автора

Здравствуйте, уважаемые подписчики! В предыдущую неделю у меня, к сожалению, не было возможности сверстать выпуск (тяжелая неделя выдалась). Ну ничего, зато сегодня в ваших ящиках очередной выпуск рассылки о математике, предназначенной для любителей этой прекрасной науки.

Для тех, кто недавно подписался, напоминаю, что в нашей рассылке мы решаем задачи и примеры из курса средней школы, занимательные интересные задачи, более сложные олимпиадные. Мы поможем вам решить задачи, вызывающие затруднения при выполнении домашних заданий, а также при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, разъясним сложный материал. Вы можете принять участие в решении задач, ваши ответы будут опубликованы. А теперь еще и много интересной математической информации.


Рейтинг
В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения).  Спасибо за активность!
Лидеры рейтинга
1. Анатолий Безуглов 66 баллов
2. Светлана 64 балла
3. Ольга 56 баллов
4. Павел Иванов 21 балл
5. Евгений 19 баллов
6. Мансур Ибрагимов 8 баллов


Решения задач
Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения в рассылку, я их размещу в этом разделе. Пользуйтесь ссылкой "Ответить" в конце каждой задачи. Вы можете решать и задачи, появившиеся в рассылке ранее, решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки.

Задача 66 6 баллов
Квадрат целого положительного простого числа N делится ( с остатком) на 3, полученное неполное частное делится (без остатка) на 3,следующее частное снова (с остатком) делится на 3, и , наконец, полученное неполное частное опять (с остатком) делится на 3 и равно 16. Найти N.
Павел Иванов +6 баллов
Условию деления на 3 с остатком, чтоб в результате получилось 16 удовлетворяют следующие числа: 49, 50. Условию деления на 3 с остатком, чтоб в результате получилось 49 или 50 удовлетворяют следующие числа: 148, 149, 151, 152. Условию деления на 3 без остатка, чтоб в результате получилось 148 или 149, или 151, или 152 удовлетворяют следующие числа: 444, 447, 453, 456. Условию деления на 3 с остатком, чтоб в результате получилось 444 или 447, или 453, или 456 удовлетворяют следующие числа: 1333, 1334, 1341, 1342, 1360, 1361, 1369, 1370. Из них только 1369 является квадратом целого положительного числа 37. Ответ: 37.

Задача 76 6 баллов
Число 7 возведено в 7-ю степень. Затем полученное число снова возведено в 7-ю степень. Результат снова возведён в 7-ю степень, и такая операция возведения в степень повторена ровно 100 раз. На какую цифру оканчивается результат?
Павел Иванов +6 баллов
При возведении 7 в 7-ю степень на конце 3. При возведении числа, оканчивающегося на 3, в 7-ю степень на конце 7. Т.е. при сотом возведении на конце будет 7. Ответ: 7.

Задача 77 5 баллов
Четырем туристам нужно ночью переправиться через реку по подвесному мосту. Мост уже сильно обветшал, в настиле есть дыры, и он может выдержать одновременно не более двух человек (если на мосту окажется более двух человек, мост обрушится). Туристам нужно освещать дорогу фонариком - иначе они могут провалиться в дыру в настиле моста и погибнуть, но у них есть только один фонарик. Эти четыре человека передвигаются с разной скоростью. Один турист может перейти мост за одну минуту, Второй - за две минуты, Третьему нужно пять минут, самому медлительному потребуется десять минут, чтобы перейти мост. Ровно через семнадцать минут мост обрушится. Каким образом все четверо могут успеть через него переправиться?
Павел Иванов +5 баллов
Сначала должны пойти 1-ый и 2-ой (фонарик, например, у первого) (2 мин), потом первый возвращается и отдаёт фонарик 3-ему или 4-ому (3 мин). Перебравшись на другую сторону, 3-ий или 4-ый отдает фонарик 2-ому (13 мин). 2-ой возвращается за первым (15 мин.) и вместе с ним, наконец-таки, переходит мост (17 мин)!

Задача 82 4 балла
Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения: |х - 2| = 10 - 2х.
Павел Иванов 0 баллов
|x-2|=10-2x.
Если х>=2, то х-2=10-2х; 3х=12; х=4.
Если х<2, то 2-х=10-2х; х=8.
Сумма корней равна 4+8=12. Ответ: 12.
Комментарий ведущего X
Второй корень не подходит, 8 > 2.


Задача 88 5 баллов
В стране Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?
Авторское решение
В чем состоит описанная операция? В том, что «пропадают» два хамелеона двух разных цветов и «появляются» два хамелеона третьего цвета. Если догадаться о том, что величину-инвариант нужно определять по набору чисел (a, b, c), где a, b и c – количества серых, бурых и малиновых хамелеонов соответственно, то дальше решение получается почти сразу же. В самом деле, операция, описанная в условии, означает то, что из набора (a, b, c) получается набор (a – 1, b – 1, c + 2) или набор (a – 1, b + 2, c – 1) или набор (a + 2, b – 1, c – 1) – все зависит от того, в какой цвет перекрашивается хамелеоны. Очевидно, что разности между числами набора либо не меняются, либо изменяются на 3, а значит, остатки этих разностей при делении на 3 не меняются – они инвариантны. Но в начале a – b = 13 – 15 = – 2, а в случае, если все хамелеоны малиновые, a – b = 0 – 0 = 0.Числа 0 и – 2 имеют разные остатки при делении на 3, что и доказывает невозможность такого положения дел в стране. Аналогично разбираются и случаи, когда все хамелеоны стали серыми, или все стали бурыми.

Задача 89 6 баллов
Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами a и b выдает карточку с числами a + 1 и b + 1; второй по карточке с четными числами a и b выдает карточку с числами a/2 и b/2; третий автомат по паре карточек с числами a,b и b,c выдает карточку с числами a,c. Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)?
Авторское решение
Попробуем промоделировать сам процесс решения задачи.
Итак, внешний вид задачи: дан набор разрешенных операций и нас просят выяснить, можно ли из одной карточки получить другую – наталкивает нас на то, что нужно искать инвариант. Начнем поиск.
1-я операция: (a,b) > (a + 1,b + 1). Что же не меняется при этой операции? Ну, конечно же, разность чисел на карточке: (a + 1) – (b + 1) = a – b. Но вот уже 2-я операция меняет разность: a/2 – b/2 = (a – b)/2 – она делит ее пополам. 3-я операция складывает эти разности: a – c = (a – b) + (b – c).
Все это приводит нас к мысли, что, видимо, инвариантом является не сама разность, а… что же? Что можно сделать с этим числом? Вполне возможно, что ответ на этот вопрос не сразу придет вам на ум. Ну что же, займемся небольшим исследованием. Наудачу попробуем получить какие-то карточки из данной:
(5,19) > (6,20)
(6,20) > (3,10)
(3,10) > (20,27)
(6,20),(20,27) > (6,27)
Пока хватит. Теперь уже можно посмотреть на плоды наших трудов. Мы имеем набор карточек: (5, 19), (6, 20), (3, 10), (20, 27), (6, 27). Вычислим для них разность чисел на карточке и получим набор чисел: 14, 14, 7, 7, 21. Тут, конечно, мы сразу догадались, что нужно доказывать! Конечно же то, что наша разность a – b всегда будет делиться на 7. Доказывается это очень просто, стоит только еще раз посмотреть, что происходит с разностью при разрешенных операциях (см. выше). Но у той карточки, которую нам хочется получить – (1, 1988) – разность чисел равна 1 – 1988 = – 1987 и на 7 не делится. Задача решена.

Абитуриенту Бонус
Открываем новый раздел нашей рассылки. Здесь мы постараемся помочь в подготовке к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, централизованному тестированию и единому государственному экзамену по математике. Пользуйтесь ссылкой "Ответить" в конце каждой задачи. Вы можете решать и задачи, появившиеся в рассылке ранее, решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки.

Десятичные дроби

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен n–ой степени 10, где n - количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4). Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль.

Свойства десятичных дробей.
1.Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:
13.6 =13.6000.
2.Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!
3. Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
3.675-->367.5 (дробь возросла в 100 раз).
4. Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
1536.78 --> 1.53678 (дробь уменьшилась в 1000 раз).
Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0,12345123451234512345... = 0,(12345).
П р и м е р . Если разделить 47 на 11, то получим 4,27272727... = 4,(27).

Действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.
Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0,0197056. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на целое число Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
П р и м е р . Разделить 1,328 на 64.
Р е ш е н и е :Деление одной десятичной дроби на другую. Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.


Новости математики Источник: http://elementy.ru/
Новый раздел в нашей рассылке посвящен новостям из мира науки.

Хаотична ли Солнечная система?

Проявляется ли хаос в движении внешних планет-гигантов в Солнечной системе? Долгое время два разных метода расчета давали противоположные ответы. Американский исследователь, по-видимому, разрешил этот парадокс.

Точность, с которой астрономы могут предсказывать солнечные затмения и движение планет, наводит на мысль, что динамика крупных тел в Солнечной системе абсолютно предсказуема. На самом деле это впечатление обманчиво. Регулярным движение планет кажется лишь в тысячелетнем масштабе, но, когда счет идет на миллионы лет, в их динамику вполне может вмешаться хаос.

В случае движения планет Солнечной системы хаос, к счастью, не означает, что планеты будут двигаться совсем уж беспорядочно. Их орбиты будут лежать примерно в том же районе, где и сейчас. Хаотическое движение планеты на масштабе времени T означает только, что вы не сможете вычислить хотя бы приблизительное положение планеты на орбите через промежуток времени, в несколько раз больший, чем T.

Является ли движение планет в Солнечной системе регулярным и хаотическим, выясняется с помощью численных расчетов. Прибегать к ним приходится потому, что в случае более чем двух гравитационно взаимодействующих тел не существует аналитической формулы, в которую можно было бы подставить время и сразу получить положение тел в любой момент времени.

Гравитационные силы, притягивающие планеты к Солнцу и друг к другу, известны, поэтому можно задать начальные положения и скорости планет и запустить моделирование их движения в течение какого-то промежутка времени. Параллельно с этим запускается второе моделирование, в котором всё то же самое, только начальные данные отличаются на незначительную величину, например всего на 1 миллиметр. Вначале орбиты планет в этих двух ситуациях будут с огромной точностью совпадать, но постепенно, с ходом времени, они начнут всё сильнее и сильнее различаться. Для регулярного (нехаотического) движения это различие будет оставаться небольшим, в то время как для хаотического движения — экспоненциально увеличиваться со временем.

Вычисления такого рода для разных планет Солнечной системы уже давно были проделаны несколькими группами. Они, в частности, доказали, что движение Плутона становится хаотичным на временах порядка 10-20 миллионов лет из-за специфического резонансного взаимодействия с другими планетами. Динамика внутренней Солнечной системы, которая включает первые четыре планеты от Солнца — Меркурий, Венеру, Землю и Марс, — тоже хаотична на масштабе 4-5 миллионов лет, правда в  этом случае причина хаоса пока не известна.

А вот выяснение этого вопроса для планет-гигантов во внешней Солнечной системе (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) неожиданно зашло в тупик. Расчеты одной группы (движение четырех больших планет в них учитывалось точно, а вращение внутренних планет Солнечной системы просто усреднялось) показали, что хаоса нет, по крайней мере в течение первого миллиарда лет. Вычисления другой группы — в них честно рассчитывалось движение всех планет — исправно «видели» хаос. Правда, при небольшой вариации параметров его временной масштаб постоянно прыгал в широком диапазоне, и причины, вызывавшие такую изменчивость, были непонятны. Одно время было ощущение, что хаос в этом случае — просто артефакт численных расчетов, но после тщательных проверок сходимости эту мысль пришлось оставить. Таким образом, к настоящему времени сложилась почти парадоксальная ситуация: имеются одинаково надежные расчеты, свидетельствующие как о том, что хаос в движении внешних планет есть, так и о том, что его нет.

Разобраться с этой ситуацией попробовал Уэйн Хэйес (Wayne Hayes) из Калифорнийского университета в Ирвайне (США). В своей статье, опубликованной недавно в журнале Nature Physics, он пришел к интересному выводу — всё дело в погрешности начальных данных.

Начальные данные для этих вычислений — положение и скорости дальних планет — берутся из астрономических наблюдений и известны сейчас с относительной погрешностью чуть лучше одной миллионной. Это может показаться очень высокой точностью, но, как выяснил автор, даже в этих пределах встречаются и регулярные, и хаотические ситуации, и более того — они перемешаны. Для доказательства автор взял 31 набор параметров орбит, все из которых лежат в пределах наблюдательных погрешностей. В пределах интервала моделирования в 200 миллионов лет 21 из них оказались хаотическими, а 10 — регулярными.

Иными словами, если взять наугад какие-нибудь начальные данные в этих пределах, то они могут с какой-то вероятностью получиться регулярными, а с какой-то — хаотическими. Именно в этом кроется, по мнению автора, расхождение между расчетами разных групп. А какой ситуации отвечает реальность, при сегодняшнем уровне знаний сказать нельзя.

На самом деле, эта работа не только предлагает ответ на давнюю загадку, но и ставит перед физиками новые вопросы. Совершенно непонятно, откуда возникает такая тонкая структура в хаосе — то есть такое тщательное перемешивание регулярных и хаотических ситуаций. Никакие известные резонансные явления в динамике внешних четырех планет объяснить это пока не могут. Не исключено, что в конце концов окажется, что резонансный механизм порождения хаоса вообще не сможет описать эти результаты, и тогда динамика Солнечной системы поставит перед теорией динамических систем уже вопросы не прикладного, а фундаментального характера.

Источник: Wayne B. Hayes. Is the outer Solar System chaotic? (текст полностью) // Nature Physics. Published online: 23 September 2007; doi:10.1038/nphys728. Текст статьи свободно доступен в архиве епринтов: astro-ph/0702179.

Игорь Иванов


Анекдоты Источник: http://golovolomka.hobby.ru/
***
Hа лекции:
- Да, я знаю, что вы это знаете. И я это знаю. Hо пока мы до этого не дошли, то мы вместе этого не знаем.
***
Учитель: - Вовочка, скажи куда мы попадем если будем свеpлить Землю на экватоpе. Вовочка: - В сумашедший дом...
***
Профессор читает лекцию по математике. Выписывает на доске длиннющую, совершенно необозримую формулу и заявив: "Отсюда с очевидностью следует..." выписывает еще более громоздкую формулу. На минуту задумывается, потом, извинившись, выходит из аудитории. Примерно через полчаса возвращается и, небрежно бросив на кафедру кипу исписанной бумаги, заявляет:
- Да, это действительно очевидно, - и продолжает лекцию.
***
Приходит студент за зачётом, преподаватель говорит ему:
- Вот Вам простенькая задачка. Сократите дробь косинус икс делить на котангенс икс.
Студент пишет в американской нотации сos(х)/сot(х) =...
- Хорошо, - говорит преподаватель, - дальше...
- х в числителе и знаменателе сокращаем... остается сos/сot.
- Хорошо, - говорит преподаватель, - дальше...
- сo в числителе и знаменателе...
- ОК, - говорит преподаватель...
- s/t... Так это же скорость!
***
- Какая разница между математикой и научным коммунизмом?
- В математике что-то дано и что-то требуется доказать, а в научном коммунизме все доказано и ничего не дано.
***
Лемма: Все лошади одного цвета.
Доказательство (по индукции):
При n = 1: В множестве состоящем из одной лошади утверждение, очевидно, выполнено.
При n = k: Пусть имеется множество, состоящее из k+1 лошадей. Если убрать из него одну лошадь, то их останется k. По предположению индукции все они одного цвета. Теперь вернем на место убранную лошадь и заберем какую-либо другую. По предположению и эти k оставшихся лошадей одного цвета. Но тогда и все k+1 лошадей будут одного цвета.
Согласно принципу математической индукции, все лошади одного цвета.
***
Теорема: Крокодил более длинный чем широкий.
Доказательство: Возьмём произвольного крокодила и докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1: Крокодил более длинный чем зелёный.
Доказательство: Посмотрим на крокодила сверху - он длинный и зелёный. Посмотрим на крокодила снизу - он длинный, но не такой зелёный (на самом деле он тёмно-серый).
Следовательно, лемма 1 доказана.
Лемма 2: Крокодил более зелёный чем широкий.
Доказательство: Посмотрим на крокодила ещё раз сверху. Он зелёный и широкий. Посмотрим на крокодила сбоку: он зелёный, но не широкий. Это доказывает лемму 2.
Утверждение теоремы следует из доказанных лемм.
"Обpатная теоpема: "Кpокодил более шиpокий, чем длинный" доказывается аналогично.
Hа пеpвый взгляд из обоих теорем следует, что кpокодил - квадpатный. Однако, поскольку все неpавенства - стpогие, то настоящий математик сделает единственно пpавильный вывод: КРОКОДИЛОВ HЕ СУЩЕСТВУЕТ!"
***


Информация По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail
Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!
В избранное