Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь #33


СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск No.33 от 18.05.2008 Подписчиков: 1110
Рассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka Riateche, ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel, ICQ 455-198-168
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/, http://www.softhome.ru/,
http://content.mail.ru/pages/p_27136.html,
http://subscribe.ru/archive/job.education.egeent/ - Рассылка "Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ".
E-mail рассылки (для всех писем): mhelp-project@yandex.ru
Сайт рассылки: http://algebra.jino-net.ru
Математический форум: http://algebra.jino-net.ru/forum/
 
Слово автора

Слово автора
Рейтинг
Абитуриенту
Решения задач
Информация
Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Перед вами многострадальный 33-й выпуск рассылки "Скорая математическая помощь". Довольно большой перерыв в выходе рассылки объясняется тем, что у меня слишком мало времени - близится сессия. Тем временем мы уверенно перешагнули отметку в 1000 подписчиков, теперь нас более 1100. С чем я нас и поздравляю =)

Теперь на нашем сайте доступен архив рассылки, начиная с первого выпуска (это самый полный архив). Он находится по адресу http://algebra.jino-net.ru/new/archive.php Сам сайт сейчас претерпевает метаморфозы, переходить в другие разделы не рекомендую - они нерабочие.
В этом выпуске нет новых задач и статьи. Ждите их в следующем выпуске. Надеюсь, он выйдет через неделю.

Внимание! Изменился адрес электронной почты. Наш новый адрес mhelp-project@yandex.ru. Убедительно прошу не присылать писем на другие адреса - я стараюсь проверять все ящики, но ничего гарантировать не могу.

Если у вас есть какие-либо замечания, присылайте их, мы обязательно опубликуем ваши письма.

Алексей Вольнов >>
Тобрый день!
Спасибо за полную публикацию моего письма (насчёт отпиленного угла)!
Как я понял, мои рассуждения правильны. Впрочем, если у кого-нибудь из читателей будет несогласие с этим решением, то я буду согласен ему ответить.
Насчёт задачи о разноцветном колесе думаю, что в любой момент будут видны либо все 3 цвета (если колесо вращается медленно), либо смесь этих цветов - в данном случае коричневый цвет при сравнительно быстром вращении колеса. Ответ, что у колес нет углов, считаю абсолютно неверным. Есть угол между осями спиц или вырезами в боковой покрышке; наконец, колесо можно разбить на секторы (например, как в телевизионном Поле чудес), а сектор состоит из дуги и центрального угла.
Если кто-нибудь из читателей не согласен с моими рассуждениями, я ему также буду согласен объяснить.

Павел Иванов >>
Опять же у некоторых неправильно подсчитаны баллы... Но эт ладно... Я вот чё не пойму: что ответы даже не проверяются? Просто прислал задачу, на те баллы? Я понимаю, может нет времени проверять все задачи, глядеть, где ошибка и т. п. Я не понимаю, как на одну и ту же задачу получаются разные ответы, и обоим дают одинаковые баллы? Хотя бы спорные задачи можно прорешивать?

Мы постараемся учесть ваши замечания. Подробнее о новой системе рейтинга смотрите в соответствующем разделе.
Рассылка (теоретически) выходит раз в неделю по субботам. У нас уже более 1100 подписчиков. Спасибо, что читаете нас!

Riateche, ведущий рассылки

 
Рейтинг

Слово автора
Рейтинг
Абитуриенту
Решения задач
Информация
 Итак, у нас меняется система рейтинга. Мы долго думали, как адекватно оценивать участников. В результате мы решили прибавлять по одному баллу за любое участие в процессе решения задач, и 2 балла в случае правильного и объемного решения. Дело в том, что прежняя система имела недостатки: мы не можем оценивать сложность задач и правильность решений, поскольку задачи оригинальные, а правильный ответ зачастую неизвестен.
Нет смысла также лишать поощрения тех, кто допустил в решении ошибку - в конце концов, мы не на экзамене, здесь важно участие. Не будут оцениваться только короткие неправильные решения (или неправильный ответ без решения). Сомневаюсь, что кто-то будет присылать письма для накрутки рейтинга.
Баллы, набранные участниками к настоящему моменту, преобразуются: всё делится на 5 (из рассчета 5 баллов за среднестатистическую задачу).
Мы надеемся, новая система придется по душе нашим читателям. Но если у вас есть замечания, обязательно присылайте их.

Итак, новая таблица рейтинга: участникам зачисляется по 2 балла за присланное условие новой задачи, 1 балл за решение задачи и 2-3 балла за объемное правильное решение (естественно, в случае, если длина решения оправдана).



Лидеры рейтинга
1Павел Иванов60
2Анатолий Безуглов52
3Юрий Иванов40
4Михаил Грудцын35
5Wazovsky14
6Светлана13
7Андрей Ерослаев6
8Сергей Беспалов3
 
Абитуриенту

Слово автора
Рейтинг
Абитуриенту
Решения задач
Информация
 Решения задач из ЕГЭ по математике, опубликованных в 32-м выпуске. Прислал Михаил Грудцын (+2 балла).

1. V(25-10х+х^2)+y=4
y-3x+11=0
|5-x|+3x-11=4
a) При x<=5 |5-x|=5-x, тогда 5-x+3x-15=0, x=5, y=4
b) При x>5 |5-x|=x-5, тогда x-5+3x-15=0, x=5 - не подходит.
x0*y0=5*4=20

3. x=log(pi^2)(a^2*b/pi^3)=1/2*log(pi)(a^2*b/pi^3)=1/2*(2log(pi)(a)+log(pi)(b)-3log(pi)(pi))
Здесь первая скобка - это основание логарифма, а вторая - число под логарифмом.
При log(pi)(Va)=3 получаем 1/2log(pi)(a)=3, log(pi)(a)=6; log(pi)(b)=5. Отсюда
x=1/2*(2*6+5-3)=7

4. y= куб. кор.(sin(2x)*cos(x)+cos(2x)*sin(x)-7)=куб. кор.(sin(3x)-7) -> min.
y'=(sin(3x)-7)'/3*(sin(3x)-7)^(2/3)=3cos(3x)/3*(sin(3x)-7)^(2/3)=cos(3x)/(sin(3x)-7)^(2/3)=0
cos(3x)=0, 3x=+-(pi/2) + 2*pi*k, k - целое, x=+-(pi/6) + (2/3)*pi*k

5. cos^2(x)-5*sin(x)cos(x)+2=0
cos^2(x)-5*sin(x)cos(x)+2*cos^2(x)+2*sin^2(x)=2*sin^2(x)-5*sin(x)cos(x)+3*cos^2(x)=0
Делим все на cos^2(x), получаем
2*tg^2(x)-5*tg(x)+3=0 - кв. ур. относительно tg(x)
Решаем: tg(x)1=3/2, tg(x)2=1. Ответ: При минимальном положительном х0=pi/4 tg(x)=1

6. y=2^(ax+7)/2^(x^2)=2^(-x^2+ax+7) - максимально при х=4.
y'=2^(-x^2+ax+7)*ln(2)*(-2x+a)=0
-2x+a=0, x=4, a=8.

7. Пусть первоначальная цена равна 1. Тогда новая цена 1.25.
Возврат к предыдущей цене 1.25*х=1, х=1/1.25=4/5=0.8 Цена была снижена на 20%.
 
Решения задач

Слово автора
Рейтинг
Абитуриенту
Решения задач
Информация
 Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения, мы их разместим в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки, решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки. Сегодня прислано несколько решений из задач прошлых выпусков, поэтому мы решили опубликовать ранее присланные решения этих же задач еще раз.
Ждем ваших решений.

 
Задача No.178Свешникова Ольга
Уважаемые господа,
направляю Вам задачу, которая использовалась при переводных экзаменах в нашем лицее. Появились затруднения в ее решении без применения Х.
Текст задачи:
Из Москвы в Тулу, расстояние между которыми 180 км, в 4 часа выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, делавший через каждые 4 часа привал на 2 часа. В 10 часов 30 минут утра в след за ним выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Пробыв в Туле 3 часа, автомобиль выехал обратно в Москву. В котором часу он встретит велосипедиста?

Заранее спасибо за помощь и грамотное объяснение.
 
Анатолий Безуглов >> Для начала определим во сколько автомобиль выедет обратно из Тулы в Москву и где в это время будет велосипедист.
Из Москвы автомобиль выехал в 10:30. Время пути до Тулы: 180 км / (60 км/ч) = 3 ч.
Следовательно в Тулу он прибудет в 13:30. В условии сказано, что в Туле он пробыл 3 часа, значит время отправления обратно в Москву 16:30.
Теперь разберемся с велосипедистом.
Выехал он в 4 часа, ехал со скорость 12 км/ч и через каждые 4 часа делал привал на 2 часа. Следовательно первый привал будет с 8 часов до 10 часов, за это время он проедет 4 ч * 12 км/ч = 48 км. Второй привал будет 14 часов до 16 часов, за это время он проедет еще 48 км. Следовательно в 16:30 он будет двигаться к Туле, и до привала еще далеко, так как предыдущий был только полчаса назад - мы убедились, что в момент встречи оба будут двигаться навстречу друг другу.
Теперь посмотрим где будет находиться велосипедист когда автомобиль выедет из Тулы.
К 16:30 он проедет 48 + 48 + 0,5*12 = 102 км.

Итак в 1630 автомобиль и велосипедист начали движение навстречу друг другу, расстояние между ними 180-102 = 78 км, скорость сближения 60км/ч+12км/ч = 72 км/ч.
Таким образом, суммарный путь, который им нужно пройти теперь до встречи составляет 78 км, а суммарная скорость 72 км/ч, следовательно встретятся они через 78 км / (72 км/ч) = 1,08333 часа = 65 минут, при этом автомобиль проедет 60 км/ч * 1,083333 = 65 км, а велосипедист 12 км/ч * 1,08333 = 13 км. Время встречи 16:30 + 65 мин = 17:35, точка встречи - 65 км до Тулы.

Ответ: автомобиль встретит велосипедиста в 17:35

Михаил Грудцын >> Сначала рассчитаем, на какое расстояние уехал велосипедист, когда стартовал автомобиль. Он выехал в 4 утра, к 8 проехал 4*12=48 км, и остановился до 10 час. Затем поехал дальше, и к 10.30 он проехал 48+6=54 км. В это время стартовал автомобиль. К 11.30 велосипедист проехал 66 км, а автомобиль - 60 км. Дальше автомобиль движется со скоростью 60 км/час, то есть 1 км в мин, а велосипедист со скоростью 12 км/час, то есть 1 км за 5 мин. Очевидно, что к моменту 11 час 37,5 мин=11 час 30+5+2,5 мин автомобиль проедет 60+7,5=67,5 км, а велосипедист 66+1+0,5=67,5 км, то есть автомобиль догонит велосипед в 11 час 37 мин 30 сек.

Юрий Иванов >> Не знаю как расценивают у вас применение Х в задачах... но попробовать можно следующее:
1) Исходные данные
Расстояние от Москвы до Тулы - Sмт = 180 км
Скорость велосипедиста Vв = 12 км/ч
Скорость автомобиля Va = 60 км/ч
Старт велосипедиста Твс = 4 часа утра
Старт автомобиля Тас = 10 ч. 30 мин. утра
2) Определим время выезда автомобиля из Тулы:
Очевидно - на дорогу 3 часа (180/60) + в Туле 3 часа = 6 час.
Таст = 10 ч 30 мин + 6 ч = 16 ч 30 мин
3) Определим расстояние на которое продвинется велосипедист к моменту
выезда автомобиля из Тулы
Время велосипедиста в дороге
Твд = 16 ч 30 м - 4 ч 0 м = 12 ч 30 м
С учетом того, что велосипедист каждые 4 ч останавливался на 2 ч
получим, что в дороге он находился
2 полных периода (4 часа езды и 2 отдыха) и 30 мин
т.е. расстояние пройденное велосипедистом за это время составит:
Sв = 4*2*12 + 0,5*12 = 96 + 6 = 102 км

Таким образом, велосипедисту и автомобилю необходимо проделать путь в 78
км чтобы встретиться.
4) Заметим, что велосипедист не будет останавливаться до встречи с
автомобилем (у него в запасе 3,5 часа поездки или 42 км, автомобилю на
это же расстояние потребуется 1,3 ч)
значит до встречи они будут двигаться навстречу друг к другу со
скоростью 60 + 12 км/ч
и встреча произойдет через Твстречи = 78/72 = 13/12 ч = 1 ч 05 мин
И встретятся они в 16 ч 30 мин + 1 ч 05 мин = 17 ч 35 мин на расстоянии
65 км от славного города Тула.
Ответ: 17 ч 35 мин

Павел Иванов >> Автомобиль доедет в Тулу за три часа (180:60=3), т.е. в 13:30, и выедет из Тулы в 16:30. Т.к. велосипедист делает через каждые 4 часа привал на 2 часа, то 48 км он проедет за 6 часов, 96 - за 12, 108 - за 13, значит, он будет проезжать 108-ой км в 17:00. Автомобиль в 17:00 будет проезжать на расстоянии 150 км от Москвы. В 18:00 велосипедист проедет 120 км, а автомобиль будет находится на расстоянии 90 км от Москвы. Т.о. они встретятся где-то между 17:00 и 18:00,т.е. в шестом часу.
Ответ: в шестом часу.

 
Задача No.179
О сплаве, состоящем из неодинаковых весовых долей золота, серебра и меди, известно, что:
- ни один из металлов, которые иследуются в лаборатории, не составляет в сплаве долю большую, чем золото;
- если золото составляет некоторую из низших долей веса в сплаве, то его не исследуют в лаборатории;
- лишь один металл не исследуют в лаборатории;
- в лаборатории не исследуют тот металл, весовая доля которого в сплаве однозначно определена предыдущими условиями;
если серебро или медь составляет среднюю долю в сплаве, тогда медь составляет долю большую, чем металл, который добывают в Топонго.

Спрашивается: какую долю - большую, среднюю, меньшую - составляет каждый из металлов в сплаве, какой металл не исследуют в лаборатории и какой добывают в Топонго?
 
Михаил Грудцын >> Из первого и второго условия ясно, что золота в сплаве больше всего, а из третьего - что чистый металл не исследуют. Поскольку меди в сплаве больше, чем металла, который добывают в Топонго, ясно, что в Топонго добывают серебро, а металлы расположены в сплаве так: золото, медь, серебро. Не исследуют медь.


Павел Иванов >> Ни один из металлов, которые иследуются в лаборатории, не составляет в сплаве долю большую, чем золото, т.е. возможно два случая:
1) если металл (серебро или медь)<золото;
2) если металл (серебро или медь)>золото, то этот металл (серебро или медь) не исследуется в лаборатории.
Но, если золото составляет некоторую из низших долей веса в сплаве, то его не исследуют в лаборатории, т.о. по случаю 2) получается, что в лаборатории не исследуется золото и металл (серебро или медь), что противоречит условию "лишь один металл не исследуют в лаборатории". Следовательно, серебро<золото и медь<золото, т.е. золото составляет большую долю в сплаве. Т.к. ,если серебро или медь составляет среднюю долю в сплаве, то медь составляет долю большую, чем металл, который добывают в Топонго, а медь<золото, то медь>серебро. Значит, в Топонго добывают серебро.
Ответ: серебро - меньшую, медь - среднюю, золото - большую; золото; серебро.

 
Задача No.182
У одного путешественника не было денег, но была золотая цепочка, состоящая из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца неделю, если тот будет давать ему ежедневно в виде платы одно из звеньев цепочки. Какое наименьшее число звеньев надо распилить, чтобы путешественник мог ежедневно в течение семи дней расплачиваться с хозяином гостиницы? (При расчете хозяин может возвращать постояльцу полученные от него ранее звенья.) Теперь решите эту задачу в предположении, что у путешественника есть цепочка, состоящая из n звеньев, и ему надо пробыть в гостинице n дней.
 
Михаил Грудцын >> Достаточно распилить одно 3-е от края звено. Тогда получается три куска - 1, 2 и 4 звена. Оплата происходит так: 1 - 1 звено, 2 - 1 забрал, дал 2 звена, 3 - добавил 1 звено, получилось 3, 4 - забрал 1 и 2 звена, дал 4, 5 - добавил 1 звено, 6 - забрал 1, дал 2 звена, 7 - отдал 1 последнее звено. Все.


Юрий Иванов >> Задача не так проста как кажется на первый взгляд.
Во-первых встает вопрос в понятии распила звена цепи.
Возможны варианты, например, для цепи из 3х звеньев 1 2 3. Распилив
звено 2 мы можем получить три цепочки по одному звену в каждом (вариант
А) или 2 цепочки - 1 и 2 звена соответственно (вариант Б).
Для цепочки из семи звеньев задача решается достаточно просто:
Пусть есть цепочка из 7 звеньев - 1 2 3 4 5 6 7.
Тогда для варианта А: пилим звено 3. Получаем 3 цепочки с 1, 2 и 4
звеньями в каждой (цепочка 1 - 1 2 звенья, 2 - 3 звено, 3 - звенья 4 5 6 7)

Оплата проводится следующим образом:
1 день отдал цепочку 2
2 день отдал цепочку 1, забрал цепочку 2
3 день отдал цепочку 2
4 день отдал цепочку 3, забрал цепочки 1 и 2
5 день отдал цепочку 2
6 день отдал цепочку 1, забрал цепочку 2
7 день отдал цепочку 2

Для варианта Б: необходимо два распила, чтобы отделить от цепи звено 3 и
свести задачу к режиму оплаты.

В общем случае имеем цепь произвольной длины n.

Более простым вариантом является вариант Б, когда распил звена
эквивалентен разделению цепочки на 2.
В этом случае путешественник должен был поступить так:
1. Разделить цепочку пополам, если это возможно перейти к пункту 3.
2. Если невозможно распилить цепочку пополам (число звеньев нечетное),
тогда распилить цепочку так, чтобы в одной части было на одно звено
больше чем в другой
3. Взять одну из цепочек (для п. 1 все равно какую, для п. 2 взять
цепочку меньшей длины)
4. Если длина выбранной цепочки больше 3 звеньев, то к выбранной цепочке
применить манипуляции пп. 1-3.
последнюю цепочку (2 или 3 звена) делим на две цепочки (1 и 1, или 1 и 2
звена соответственно).
Покажем, что любой из дней может быть оплачен подобной комбинацией цепочек.
По индукции:
База n=2 очевидно пилим посередке получили цепочку из 1 и 1 звена
оплатить можно
n=3 аналогично распил 1 и 2 звена оплачены любые из 3х дней
Пусть утверждение верно для всех n<=K.
возможны два варианта
1) К+1 - не является степенью 2
2) К+1 - степень 2
Для случая 1, разделив цепочку в соответствии с алгоритмом приведенным
ранее, получим log_2 (K+1) + 1 цепочек.
По предположению индукцию утверждение верно для n=K, лишнее звено
присоединяется к одной из полученных цепочек таким образом, чтобы
выполнялось следующее условие:
Пусть длина изменяемой цепочки - Р звеньев, тогда сумма звеньев, длина
которых меньше Р должна быть больше либо равна Р-1
Для любой цепочки длина которой <= K утверждение верно по предположению
индукции. Значит утверждение доказано.

Для случая 2, разделив цепочку в соответствии с алгоритмом приведенным
ранее, получим log_2 (K+1) + 1 цепочек. из которых можно составить любое
число до К+1 включительно
(у нас есть log_2 (K+1) + 1 чисел - степеней 2 и все очень просто, любое
число представимо в двоичной системе исчисления)

Отсюда мораль - количество делений равно log_2 K где К максимальное
число, которое получается возведением двойки в степень меньшее n.

Для варианта А, т.е. когда распил звена цепи приводит к образованию 3
цепочек из К, Р и 1 звена решение немного сложнее, но и проще
Производим деление описанным ранее способом до тех пор пока длина
минимальной цепочки (длина которой > 1 звена) не станет равной
количеству одиночных звеньев отделенных в результате распила или больше
их количества на единицу
оплата аналогична предыдущему случаю
только в качестве разменных монет используются одинарные звенья.

Ну и наконец возникает вопрос, а почему хозяин гостиницы не брал
предоплаты. Тогда можно было бы вобще не пилить звенья .


Павел Иванов >> Хватит двух распилов: 1 звено, 2 звена и 4 звена. 1-ый день: отдаёт 1 звено. 2-ой день: отдаёт 2 звена, забирает 1 звено. 3-ий день: отдаёт 1 звено. 4-ый день: отдаёт 4 звена, забирает 3 звена. 5-ый день: отдаёт 1 звено. 6-ой день: отдаёт 2 звена, забирает 1 звено. 7-ой день: отдаёт 1 звено.
Перебирая все варианты цепочки с n звеньями, можно заметить, что n=2^x-1 (где х - кол-во звеньев), т.е. n+1=2^x. Отсюда х=log2(n+1). Но х - натуральное число, значит, если,воспользовавшись эту формулой, получишь х - дробное, его нужно округлить до целого, причём округлённое число должно быть больше х. Эта формула верна при n>1. Если n=1, то х=0.

 
Задача No.183
В пруд запустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?
 
Михаил Грудцын >> 7 щук съели 21 щуку, 2 остались голодными.


Юрий Иванов >> Максимальное количество щук будет получено если голодные щуки будут
поедать уже сытых к этому времени щук.
В начальный момент времени все щуки голодны.
Не ограничивая общности считаем, что наелась одна щука, съев 3 других
она оставила 26 голодных щук,
Для того, чтобы наелась каждая следующая щука необходимо, чтобы она
съела уже сытую и двух голодных.
Ответ: В результате у меня получилось 14 сытых щук


Каштанов >> Обозначим через s число сытых щук. Тогда они вместе съели не менее 3s щук.
Поскольку каждая щука может быть съедена лишь однажды, 3s не больше 30. Хотя бы одна щука осталась в конце и не была съедена никакой другой щукой. Поэтому 3s строго меньше 30, следовательно, s не больше 9. Приведем пример, при котором насытились ровно 9 щук. Пусть 7 щук с (первой по 7-ю) съели 21 щуку (с 10-й по 30-ю), причем каждая съела по 3 щуки. После этого осталось 9 щук. Первая и вторая могут насытиться, съев 6 щук (с 4-й по 9-ю), каждая - по 3 щуки.
Ответ 9.

Павел Иванов >> Ясно, что наибольшее кол-во сытых щук будет, если голодные рыбы не будут есть сытых. Пусть одна из голодных щук съела три голодные щуки: 1 сытая, 26 голодные; другая голодная щука съела ещё три голодные щуки: 2 сытые, 22 голодные; и т.д.: 3 сытые, 18 голодные; 4 сытые, 14 голодные; 5 сытые, 10 голодные; 6 сытые, 6 голодные; 7 сытые, 2 голодные. Следующий шаг в любом случае приводит к уменьшению числа сытых. Значит, 7 - наибольшее число щук, которые могут насытиться при данных условиях.
Ответ: 7.

 
Задача No.187http://repetitors.info/
Кофе с молоком.
Есть два одинаковых стакана, в которые налито поровну: в один – молоко, в другой – кофе. Из первого стакана переливают ложку молока в стакан с кофе. Потом размешивают, и из второго стакана обратно в первый переливают ложку смеси кофе с молоком. Чего теперь больше: молока в кофе или кофе в молоке?
 
Анатолий Безуглов >> Будем рассматривать все операции поэтапно.
1) Итак вначале у нас есть два стакана - один с кофе, другой с молоком.
Обозначим их объемы как С.
2) Из стакана с молоком ложку молока переливают в стакан с кофе.
Обозначим объем ложки как Л.
Теперь в нас в стакане с кофе есть Л молока, общий объем в стакане С+Л,
следовательно концентрация молока в стакане с кофе сейчас Л/(С+Л).
3) Теперь ложку того что получилось в стакане с кофе переливают обратно
в стакан с молоком.
Раз из стакана с кофе забирают ложку полученной смеси, то там молока
станет меньше. В ложке его будет Л*(Л/(С+Л)), то есть концентрация,
которую мы раньше нашли умноженная на объем ложки. Следовательно в
стакане с кофе молока осталось: та ложка которая была в начале минус тот
объем который мы вернули назад: Л-Л(Л/(Л+С))=Л(1-Л/(Л+С))=Л*(С/(С+Л)) -
это и есть объем молока в стакане с кофе
Теперь посмотрим сколько кофе попало в стакан с молоком: мы перелили в
стакан ложку смеси, но в ней Л*(Л/(С+Л)) было молока, следовательно кофе
в ней будет: Л-Л*(Л/(С+Л))=Л*(С/(С+Л)) - это и есть объем кофе в стакане
с молоком

Таким образом, количество молока в стакане с кофе и количество кофе в
стакане с молоком будет одинаково.

Михаил Грудцын >> В итоге в каждом стакане сколько было жидкости, столько и осталось. Значит, сколько молока из стакана убрали, столько кофе в стакан и налили. И во втором стакане тоже самое. Поэтому кофе в молоке столько же, сколько молока в кофе.

Юрий Иванов >> А по-моему они одинаковые
Итак, пусть в стаканах N ложек молока и кофе. После переливания молока в кофе получим: стакан с кофе: N+1 ложка, с молоком - N-1 ложка
Забирая ложку из стакана с кофе получаем в ложке смесь с содержанием молока и кофе в отношении 1:N соотвественно. Т.е. забрано 1/(N+1) часть молока
Эта смесь выливается в молоко. Содержание кофе в молоке N/(N+1) ложек
Содержание молока в кофе 1 - 1/(N+1)=N/(N+1) ложек
Ответ: одинаково

Павел Иванов >> Пусть х - начальное количество жидкости (молоко или кофе) в стакане, у - объёмодной ложки. После того, как из стакана с молоком переливают ложку молока в стакан с кофе, в стакане с молоком становится х-у. Во втором стакане - х+у. После перемешивания молока во втором стакане станет у/(х+у). В ложке, взятой из этой смеси, доля молока у^2/(х+у), тогда доля кофе в ложке, взятой из второго стакана, у-у^2/(х+у)=ху/(х+у). После того, как из второго стакана переливают ложку смеси в стакан с молоком, во втором стакане доля молока в смеси будет составлять ух/(х+у), тогда доля кофе в смеси будет составлять х-ух/(х+у)=х^2/(х+у). Значит, доля молока в кофе будет составлять (ух/(х+у))/(х^2/(х+у))=у/х. После того, как из второго стакана переливают ложку смеси в стакан с молоком, в первом стакане (с молоком) доля кофе в смеси будет составлять ух/(х+у), а у^2/(х+у)+х-у=х^2/(х+у). Значит, доля кофе в молоке будет составлять (ух/(х+у))/(х^2/(х+у))=у/х. Следовательно, молока в кофе и кофе в молоке одинаковое количество.
Ответ: одинаково.

 
Задача No.188http://repetitors.info/
Вирус.
Есть колония Бактерий. Очень большая — N штук... В ней поселяется Вирус. Каждую секунду Вирус жрет одну бактерию, и, наевшись, тут же делится на два себе подобных. Бактерии питаются всем подряд (не бактериями и не вирусами, конечно) и тоже каждую секунду делятся пополам. Сожрет ли когда-нибудь Вирус все Бактерии?
 
Анатолий Безуглов >> Для того чтобы вирус сожрал все бактерии необходимо чтобы в какую-то секунду количество вирусов и количество бактерий сравнялось бы (ну или чтобы вирусов больше стало) Так как количество вирусов удваивается каждую секунду, то зависимость их количества от времени достаточно легко представить: это функция 2t-1, где t - количество секунд прошедших сначала (от того времени когда был 1 вирус и N бактерий).
Для бактерий функцию зависимости количества бактерий от времени представить сложнее, поэтому для начала запишем их количество для
нескольких первых секунд и на этой основе уже выведем функцию.
Для секунды 0 (то есть в начале): количество бактерий N
Для секунды 1: вирус съест одну=21-1, после чего количество остальных удвоится и станет: (N-20)*2,
Для секунды 2: вирусы съедят теперь уже 2=22-1 бактерии после чего количество бактерий удвоится и станет: ((N-20)*2-21)*2
Для секунды 3: вирусы съедят теперь уже 4=23-1 бактерии, после чего количество бактерий удвоится и станет: (((N-20)*2-21)*2-22)*2
Для секунды 4: вирусы съедят теперь уже 8=24-1 бактерии, после чего количество бактерий удвоится и станет:
((((N-20)*2-21)*2-22)*2)-23)*2
Из приведенных формул все еще не видно как выглядит нужная нам функция, поэтому мы их несколько преобразуем, а именно раскроем скобки, то есть
там где стоит умножение на 2 мы и умножим. В итоге получаем:
Для секунды 1: 2N-2
Для секунды 2: (2N-2-22-1)*2 = 22N-2*2-2*2 = 22N-2*2-2*2 = 22N-22*2
Для секунды 3: (22N-2*2-2*2-23-1)*2 = 23N-2*2*2-2*2*2-2*23-1 = 23N-23*3
Для секунды 4: (23N-2*2*2-2*2*2-2*23-1-24-1)*2 = 24-1N-24*4
Теперь видно, что общий вид формулы зависимости количества бактерий от времени будет иметь вид: 2t-1N-2t*t

Ну а теперь осталось приравнять количество бактерий и вирусов и найти решение для t,если оно конечно есть: если t имеет конечное значение,
значит в течение этого времени все бактерии будут уничтожены вирусами, если оно бесконечно, то этого никогда не случится.
2t-1N-2t*t=2t-1
Вынесем 2t-1 за скобки
2t-1(N-2t)=2t-1, теперь сократим
N-2t=1, отсюда t=(N-1)/2

Ответ: вирус сожрет все бактерии через t=(N-1)/2 секунд, что впрочем и следовало ожидать - хотя вначале бактерии имеют преимущество и большую
скорость роста, но темпы роста бактерий со временем снижаются, а вот у вируса они постоянно растут...

Михаил Грудцын >> Вирус каждую секунду заменяет бактерию своей копией. Поэтому общее количество организмов при этом не меняется. А Бактерии каждую секунду удваиваются. Поэтому Вирус никогда не поглотит всех Бактерий.

RoMaCoN >> Если вирус поместить в колонию в настоящий момент, и он съест одну бактерию, то через секунду вирусов станет 2, а бактерий (N-1)*2, они ведь тоже деляться. Получается, что перед каждым вирусом "предстанет" по N-1 бактерии, и в следущую секунду вирусов станет 4, а бактерий (N-2)*4. Таким образом бактерий не станет через N секунд.
Вывод: сожрет.

Юрий Иванов >> Ну тут все достаточно просто: Вирус поглотит все бактерии через N секунд после поселения в колонии:
Поясню:
Каждое последующее деление бактерий нужно только для заморочки, ведь и вирус тоже делится на два.
Таким образом, опуская деление получаем что каждую секунду гибнет 1 бактерия из начальной колонии.
то есть:
в момент 1 сек у нас 1 вирус поедает 1 бактерию (бактерий остается на 1 меньше), опуская деление в следующую секунду вирус съест еще одну бактерию ... и т.д. пока он не съест всю колонию
Ответ: Да

Павел Иванов >> Пусть х(n) - количетсво Вирусов после n секунд, а(n) - количество Бактерий после n секунд. Тогда а(n)/х(n) - отношение количества Вирусов к количеству Бактерий после n секунд. Тогда а(n+1)/х(n+1) - отношение количества Вирусов к количеству Бактерий после n+1 секунд. Но а(n+1)/х(n+1)=((а(n)-х(n))*2)/(2*х(n))=(а(n)-х(n))/х(n). Ясно, что (а(n)-х(n))/х(n) меньше а(n)/х(n)на (а(n)-а(n)+х(n))/(х(n))=1, т.е. отношение количества Вирусов к количеству Бактерий с увеличением n будет уменьшаться на 1 за 1 секунду. Рано или поздно это отношение станет равным 1. Следовательно, Вирус когда-нибудь сожрёт все Бактерии, всё зависит только от начального количества Бактерий: Вирус сожрёт все Бактерии за n секунд, если Бактерий n.
Ответ: да.

 
Задача No.189http://repetitors.info/
100 колдунов.
Было у великого султана 100 колдунов. Все они, конечно, были шарлатанами, и султан это заподозрил. Собрал он их и сказал:
"Завтра поутру устроим вам проверку, кто настоящий колдун, а кто нет. Проверка будет такой. Выведут вас в поле, построят в ряд. Потом каждому на голову наденут колпак либо черного, либо белого цвета. И, начиная с конца ряда, к каждому из вас по очереди будет подходить мужик с топором, спрашивая, какого цвета колпак на голове. Тем, кто назовет цвет своего колпака неверно, прямо на месте отрубят голову, остальных — отпустят."
Уточнение. Стоя в ряду, каждый колдун видит всех, кто стоит перед ним, и слышит все, что происходит сзади. Цвет своего колпака никакими уловками никто узнать не может. Каждый колдун может сказать только одно слово — «черный» или «белый». И только в свою очередь. Иначе — всем хана.
Услышав такую новость, колдуны собрались, и задумались, как им действовать, чтобы спасти наибольшее число своих коллег.
Сколько колдунов можно (со 100% вероятностью) спасти в таких условиях?
 
Анатолий Безуглов >> У данной задачи несколько решений в зависимости от дополнительных условий:

1) Если известно точное количество черных и белых колпаков (например их может быть равное количество), то спастись могут все: последний видит сколько колпаков черных и сколько белых впереди и соответственно зная количество тех и других вычисляет какой колпак у него. Каждый последующий слышит что говорили предыдущие и видит какие впереди колпаки, следовательно тоже вычисляет какого у него цвета, ну а стоящий первым почитает сколько раз был назван белый и сколько черный и тоже легко вычисляет свой цвет. Это конечно ели никто в расчетах не ошибется. Если ошибется то и все остальные могут неправильно просчитать, впрочем если голову отрубят сразу до того как спросят следующего, то тот еще может исправить ошибку и посчитать правильно, а вот если сначала всех расспросят а потом будут казнить, то тогда всем следующим за тем кто ошибся тоже будет плохо...

2) Теперь вариант что неизвестно какого цвета сколько колпаков будет. В этом случае наиболее надежный вариант даст возможность спастись половине: стоящий последним называет цвет не своего колпака а того кто стоит перед ним и тот спасается называя свой цвет, затем третий с конца называет цвет стоящего перед ним, ну и так далее. Хотя конечно тут уже прийдется разыграть рулетку кто каким будет стоять, потому что вряд ли кто захочет стоять на четных номерах - последний, третий с конца и так делее, четные так как если считать сначала, то они будут вторым, четвертым и т.д.
Впрочем в этом варианте можно и схитрить: говорить то они должны только черный или белый, но ведь говорить то тоже можно по разному: можно просто сказать черный, белый, а можно и имитировать испуг и как бы с заиканием ч-ч-черный, б-б-белый. тогда на основе того можно построить код: например если тот кто отвечает говорит твердым голосом значит перед ним белый колпак, а если с заиканием то черный. В этом случае нет гарантии спастись только у стоящего последним - ему некому подсказать, а остальные слушают как говорит предыдущий и узнают свой цвет.Впрочем здесь тоже есть одна загвоздка - насколько можно доверять тому кто за спиной стоит - а вдруг он от конкурента решит избавиться и подскажет неверно... Впрочем если они договариваются, то прийдется им доверять друг другу. Ну и к тому же последний тоже может случайно свой цвет угадать, но это уже не 100% вероятность...

Михаил Грудцын >> ултан сумеет убить максимум 1 колдуна. Они должны действовать по правилу четности. То есть последний маг, который видит всех остальных, должен посчитать количество, например, черных колпаков, и если оно нечетное, сказать "черный", а если четное - "белый". По поводу своего колпака, он может быть и ошибется, и его убьют. Но следующий маг тоже посчитает колпаки, и если он услышал "белый", а сам видит нечетное количество, он поймет, что у него черный колпак, и вместе с ним количество колпаков четное. Если же он услышал "белый", а сам видит четное количество, то у него белый колпак. Так же и остальные маги поймут по предыдущим репликам, какой у кого колпак.

Юрий Иванов >> Если бы колдуны были фаталистами, то спаслось бы их человек 50 (со 100% вероятностью) (так последний стоящий называл бы цвет шапки первого стоящего, предпоследний второго, а начиная с 51 все называли бы свой цвет шапки). Но нет фаталистами они точно не были и собравшись на совет решили:
Пусть черные шапки - 1, белые - 0
1) последний стоящий в ряду колдун (который видит всех) делает суммирует количество баллов согласно предположению (черные шапки - 1, белые - 0), определяет значение остатка от деления на 2 и делает обратное преобразование полученного остатка, т.е. получил 1 назвал черный, получил 0 назвал белый.
2) Стоящий перед ним колдун слышит это значение и проделывает те же манипуляции (т.е. подсчитывает сумму баллов по шапкам и определяет остаток от деления на 2)
Сравнивает полученный остаток у него и у предыдущего колдуна если они совпали, то цвет шапки не поменялся - значит у него на голове белая шапка (не дающая баллов), иначе цвет шапки у него балловый - т.е. у него на голове черная шапка.
3) Все последующие колдуны знают какой цвет (остаток от деления на 2 был у предыдущего колдуна и цвет его шапки), определяют свой остаток отнимая от предыдущего остатка балльное значение шапки предыдущего колдуна. А затем процедура повторяется.
....
И, наконец, последний из колдунов зная предыдущий остаток и предыдущее значение определяет цвет собственной шапки
Вот собственно и весь алгоритм

Но можно и более строго:
Пусть P(i) = 1, если шапка у колдуна с номером i - черная и Р(i) = 0, если она белая, i = 1...100
Определим функцию S(i) = (сумм[j=1...i-1](P(j))) mod 2 (сумма значений P(j) для j = 1...i-1)
Область значений S(i) совпадает с областью значений P(i)
1) Для 100 колдуна (i=100), находим S(100) и полученное значение сообщаем (т.е. преобразуем его к цветам чб и сообщаем)
2) i=99, имеем S=S(100), находим S(99). Определяем величину ABS(S-S(99)), покажем, что эта величина совпадает с Р(99)
S(100)= (S(99)+P(99)) mod 2 : единственным вариантом, когда будет нарушено соотношение (S(99)+P(99)) mod 2 = S(99) + P(99) (*)
наступает для S(99) = P(99) = 1, в этом случае S(100)=0
Для остальных 3х случаев утверждение (*) верно, тогда
S(100)=S(99) + P(99) или Р(99)=S(100)-S(99)
В случае S(99) = P(99) = 1, получим S(100)-S(99) = -1 (т.е. взяв по модулю число получим Р(99))
Значит Р(99)=ABS(S-S(99))
Это значение приведенное к цветам и называет 99 колдун
3) i=98
Исходные данные для размышления S=S(100), Р(99)
Находим S(98)
Находим S1=ABS(S-P(99))
Находим P(98)=ABS(S1-S(98))
....
k) i=100-k+1
Исходные данные для размышления S=S1, Р(100-k)
Находим S(101-k)
Находим S1=ABS(S-P(100-k))
Находим P(101-k)=ABS(S1-S(101-k))
....
100) i=1
Исходные данные: S=S1, P(2)
Находим P(1)=ABS(S-P(2))
Ответ: 99 колдунов

 
Задача No.190http://domzadanie.ru/
Магические числа
Поменяйте цифры в числах 123 и 45 местами так, чтобы в результате умножения составленных чисел, получилось максимальное произведение?
В любом случае одно из чисел должно оставаться трехзначным, а другое двухзначным.
 
Михаил Грудцын >> 521 и 43

RoMaCoN >> Чтобы получить максимальное произведение необходимо, чтобы трехзначное число имело имело наибольшее количество сотен (в данном случае 5), а двухзначное было максимально возможным (43), получаем следующие числа 521 и 43, произведение 22403.

Юрий Иванов >> Представим искомые числа в виде:
3-значное: 100Х + 10У + Z
2-значное: 10U + V
Перемножим эти числа:
Получим: 1000ХU + 100XV + 100YU + 10ZU + 10YV + ZV (*)
Очевидно, что произведение этих чисел будет максимальным если XU достигает максимального значения, т.е. ХU = 20
В свою очередь, это означает, что X=5, U=4 (или X=4, U=5)
Рассмотрим оба варианта
1) X=5, U=4:
Подставим в (*) получим: 20000 + 500V + 400Y + 40Z + 10YV + ZV (**)
Практически очевидно, что максимум выражения (**) достигается при V = max(1, 2, 3) = 3
Подставили, получили 21500 + 400Y + 40Z + 30Y + 3Z = 21500 + 430Y + 43Z, Y = 2, Z = 1
Достижимый максимум равен 22403 = 521 * 43
2) X=4, U=5
Аналогично, подставили в (*) получили: 20000 + 400V + 500Y + 50Z + 10YV + ZV (***)
Для (***) максимум достигается при Y = max(1, 2, 3) = 3
Подставили, получили: 21500 + 430V + 50Z + VZ, отсюда V=2, Z=1
Достижимый максимум 22412 = 431 * 52
Ответ: 431 и 52

 
Задача No.191http://domzadanie.ru/
Богатое ранчо
Владелец ранчо предложил ковбою купить 4 коровы и 3 лошади по цене 370 долларов либо 3 коровы и 4 лошади по цене 330 долларов.
Сколько стоит одна корова и одна лошадь?
 
Анатолий Безуглов >> Обозначим К - цена коровы, Л -цена лошади, тогда можем составить систему
уравнений:

4К+3Л=370
3К+4Л=330

Систему можно решать любым известным способом.
Я выбрал следующий.
Так как я не люблю уравнений с большими цифрами (в них легко ошибиться),
то я предпочитаю сначала уравнения упростить. Для этого сначала вычитаем
из верхнего уравнения нижнее и получаем:
К-Л=40
Теперь складываем верхнее и нижнее уравнения:
7К+7Л=700 или К+Л=100
Получили очень простую систему уравнений, которая легко решается:
К-Л=40
К+Л=100
Сложим эти два уравнения: 2К=140, откуда К=70
Л=100-К=100-70=30

Ответ: цена коровы 70$, цена лошади 30$

Михаил Грудцын >> Корова стоит 70 долларов, лошадь 30 долларов.

Юрий Иванов >> Пусть 1 корова стоит Х долларов
Пусть 1 лошадь стоит У долларов
Тогда 4 коровы и 3 лошади стоят 4Х+3У долларов, что составляет 370 долларов
А 3 коровы и 4 лошади будут стоить 3Х+4У или 330 долларов.
Получили систему уравнений с двумя неизвестными:
4Х+3У=370
3Х+4У=330,
Отсюда сложив уравнения 1 и 2 получим Х+У=100
Вычтем из первого уравнения второе, получим Х-У=40, отсюда Х=70, У=30
Ответ: Корова стоит 70 долларов, лошадь - 30, вместе они стоят 100 долларов.

Павел Иванов >> Пусть х - стоимость коровы, у - стоимость лошади. Тогда составим систему:
{4х+3у=370 (1)
{3х+4у=330 (2)
При сложении (1) и (2) получится, что х=100-у. При вычитании (2) из (1) получится, что х=40+у.
Тогда 2у=60, откуда у=30. Если у=30, то х=70.
Ответ: корова - 30 долларов, лошадь - 70 долларов.

 
Задача No.192http://domzadanie.ru/
Лишний рубль

Я собрался ехать домой к матери, и мне надо было на билет примерно 50 рублей. Я занял у двух своих друзей по 25 рублей у каждого. Билеты мне обошлись в 45 рублей. Когда я шел назад, то встретил третьего знакомого, которому срочно надо было три рубля. Я их ему занял. Когда пришел, то отдал первым двум своим друзьям по рублю. Дома у матери я взял 48 рублей, чтоб отдать друзьям (24+24=48). Когда я вернулся обратно, то встретил третьего своего друга, который отдал мне 3 рубля. Итого у меня на руках оказалось 48+3=51 рубль, но ведь я занимал всего 50 рублей?

Вопрос: откуда лишний рубль?
 
Михаил Грудцын >> Ниоткуда. Если прибавить к стоимости билетов (45 руб) 3 руб, отданные третьим другом, то получится 48 руб, которые вы должны первым двум друзьям.

RoMaCoN >> Всего парень занял 50 рублей, из них потратил 45, а 3 занял, оставшиеся 2 вернул "кредиторам", а затем и оставшиеся 48, которые взял у мамы. Те 3 рубля которые ему вернули надо было не прибавлять, а отнимать, чтобы получить стоимость булета - 45 рублей.
Вывод: рубль взялся из-за ошибки в расчетах.

Юрий Иванов >> У господина, задавшего вопрос явные нелады с математикой... лишним оказался не 1 рубль, а 3 которые он занял у матери
У матери любезному господину необходимо было взять 45 р, которые он потратил на билеты, тогда все сошлось бы...
2 р - оставалось после покупки билетов и одалживания 3 р третьему знакомому
3 р - должен знакомый
45 р - взял у матери - итого 50 р
И потом... первые 2 р любезнейший уже вернул... так что долг его составил всего 48 р.
Вот такая арифметика.

Павел Иванов >> Если сложить всю "прибыль", то получится 101 рубль (50 занял + 48 взял у матери + 3 вернул знакомый), а если сложить все растраты, то получиться 98 рублей (45 на билеты + 3 знакомому + 2 друзьям + 48 неотданный долг). Получается, что он взял у матери на 101-98=3 рубля больше долга: взял 48 рублей, а не 45, потому что не знал, что встретит знакомого, занявшего 3 рубля.
На руках у него оказалсь 51 рубль, что больше 50 занимаемых рублей на 1 рубль, потому что случайно встретил знакомого.

 
Информация

Слово автора
Рейтинг
Абитуриенту
Решения задач
Информация
 Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт, рассылка on-line дневник и т.п., вы можете разместить там ссылку на страницу моей рассылки (http://algebra.jino-net.ru). Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в начале выпусков рассылки. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если Вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у Вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: mhelp-project@yandex.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.

Спасибо за внимание!
 
В избранное