Подписчиков:377

Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Прошу прощения, что новый 24 выпуск нашей рассылки вы получили с опазданием, опять я сидела без интернета и вот, как только появилась связь, сразу решила отправить выпуск, поэтому простите и за те оплошности которые могут быть: очень спешу. Особенно хочется поблагодарить тех читателей , которые прислали нам свои решения задач, спасибо Вам большое, надеюсь, что Вы также будете нам писать. Еще хочется пожелать успехов всем студентам, ученикам в сдаче контрольных, зачетов и экзаменов, особенно ведущему нашей рассылки Павлу Страхову, это его первая сессия, надеюсь он все сдаст на отлично. Приглашаем всех подписчиков посетить наш форум http://algebra.jino-net.ru/forum/ , на котором вы сможете познакомиться, пообщаться, обсудить решения задач, задать вопросы, поделиться интересными новостями.

Рейтинг

В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения). 

Решения задач

Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения , я их размещу в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки , решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки. Сегодня у нас новые подписчики, принявшие участие в решении задач:Андрей Ерослаев и (к сожалению, не знаю имени) wazovsky. wazovsky прислал нам решения задач предыдущих выпусков, решения которых мы уже рассматривали, поэтому в этой рассылке я опубликую только некоторые из них, некоторые решения задач я размещу в следующих выпусках. почти все решены верно, их решение совпадает с решением Павла Иванова и Анатолия Безуглова, отмечу только присужденные баллы: задача №119-6 баллов, задача № 120 - 4 балла, задача №122 - 6 баллов, задача №123 -5 баллов, задача № 125 - 4 балла, задача №126 - 7 баллов, задача № 127 -3 балла. Итого: 35 баллов

Найти область определения функции

y(x) = V(x+4)/V((V5-x) -3)

в числителе корень квадратный из (х+4), в знаменателе под корнем квадратный корень(5-х) минус 3.

Для начала смотрим числитель: корень из (х+4), очевидно, что это
выражение определено только, если х не меньше (-4). /(здесь я взял в
скобки, чтобы указать, что это знак минуса, а не тире)/
Теперь рассмотрим знаменатель: корень из выражения: корень из (5-х)
минус х.
Корень из (5-х) определен только при х не более +5, кроме того это
функция падает с увеличением х на всем промежутке, на котром она
определена. (это нам позже понадобится).
Теперь смотрим, что в знаменателе у нас еще один корень, значит
подкоренное выражение тоже должно быть не меньше нуля, т.е. корень из
(5-х) должен быть не меньше трех, т.е. 5-х должно быть не меньше 9, но
это значение достигается только при х не больше (-4).
Сравнив выводы для числителя и знаменателя получаем что функция
определена только при х не больше и не меньше (-4).
Весьма интересный результат - функция определена только для одного
единственного значения х=-4
(Очень грамотное и обстоятельное обьяснение решения,правильно замечено, что подкоренное выражение должно быть не меньше 0, но вы забыли, что знаменатель дроби не равен 0, следовательно х = -4 не подходит и ответ : пустое множество)

Решение Андрея Ерослаева (+ 5 баллов)

Найдём область определения функции. т.к. в числителе корень не может быть отрицательным, то x+4>=0; а в знаменателе корень должен быть положителен, и не равен 0, то V(5-x) -3>0; составим систему:
{x+4>=0
{V(5-x) -3>0
Решим:
{x>=-4
{V(5-x)>3
Во втором неравенстве возведём обе части в квадрат
{x>=-4
{5-x>9

{x>=-4
{x<-4
Система не имеет пересечения, т.е. не имеет решения.
Значит функция не определена
Ответ: функция не определена!

Решение Павла Иванова:( + 2балла)

Т.к. квадрат любого числа есть число положительное или ноль, то
х+4>=0 и 5-x>=0
x>=-4 x<=-5.
Т.к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, то V(5-x)-3 не равен 0.
При V(5-x)-3=0
5-x=9
x=-4 знаменатель дроби равен нулю, следовательно, область определения функции y(x) =
= V(x+4)/V((V5-x) -3) (-4;5]
Ответ: х принадл. (-4;5]

Ответ не верный, Вы забыли еще одно условие,выражение в знаменателе под корнем больше 0: V(5-x)-3>0 ; 5-x>9; х<-4, с учетом того, что в числителе x>=-4, ответ: пустое множество

Решить уравнение:

(х² + 4х + 3)(х + 2)² = 12

Решение Анатолия Безуглова(+ 5 баллов)

Для начала представим (х² + 4х + 3) в виде множителей по формуле:

ах² + bх + c = а(х-х₁ )(х-х₂ )

(х² + 4х + 3) = (х+1)(х+3)
Теперь запишем полученное уравнение:

(х+1)(х+3)(х + 2)² = 12
Если посмотреть внимательно, то увидим набор множителей различающихся на
единицу.Разложив 12 на множители получаем:
12 = 4*3 = 2*2*3 = 1*3*2*2
Здесь мы тоже видим набор множителей различающихся на единицу и очень
сильно похожих на левую часть уравнения и даже в точности совпадающих с
ним при х=0. При любых других х это значение не будет достигнуто.

Ответ: х = 0

Хотя конечно можно и раскрыть скобки и решать уравнение 3-го порядка,
благо для таких уравнений есть точные формулы... вот только намного
более сложное решение получится...

(решение оригинальное, но опять неточность: вы пропустили второй корень х = - 4)
Решение Андрея Ерослаева ( +6 баллов)

Решим уравнение:
(x+2)²=x²+4x+4
пусть x²+4x+3=t, тогда x²+4x+4=t+1;
Подставим:
t(t+1)=12
t²+t-12=0
Решим квадратное уравнение:
D=b²-4ac; D=1+48=49=7²;
t_1,2 = (-b+-VD)/2a;
t_1,2 = (-1+-7)/2
t₁ = 3
t₂ = -4
Подставим значения t₁,t₂ в выражение x²+4x+3:
x²+4x+3=3
x²+4x=0
x(x+4)=0
x₁=0 или x₂=-4;

x²+4x+3=-4
x²+4x+7=0
Решим квадратное уравнение:
D/4=(b/2⁾²-ac;
D/4=2²-7=4-7<0
т.к. D<0, то уравнение не имеет решения.
Значит уравнение имеет 2 решения: {-4;0}
Ответ: {-4;0}
Ответ правильный, есть ещё один способ решения этого уравнения, например выделим полный квадрат в выражении х² + 4х + 3 = х² + 4х + 4 -1 = (х+2)² -1, тогда наше уравнение примет вид: ( (х+2)² -1)(х + 2)² = 12 пусть (х + 2)² =t, тогда (t-1)t =12 или t²+t-12 = 0, дальше как в предыдущем решении.

Решение Павла Иванова:( + 6 баллов)

(x²+4x+3)(x+2)²=12
(x²+4x+3)(x²+4x+4)=12
Пусть (x²+4x+3)=t, тогда данное ур-ние примет вид t(t+1)=12
t²+t-12=0
t₁=-4; t₂=3 (по обр. теореме Виета)
Если t₁=-4, то x²+4x+3=-4
x²+4x+7=0. Это ур-ние не имеет корней, т.к. D<0.
Если t₂=3, то x²+4x+3=3
x²+4x=0
х(x+4)=0
x₁=0; x₂=-4
Ответ: -4; 0.

Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10% раствора было взято?

Обозначим через х количество 10%-го раствора который мы взяли, тогда
количество 30%-го будет 600-х
Теперь количество соляной кислоты в итоговом растворе (после
смешивания): 600*15% = 90 г
Количество соляной кислоты в 10%-ом растворе:
х*10% = 0,1х
Количество соляной кислоты в 30%-ом растворе:
(600-х)*30% = 180 - 0,3х
Теперь, учтя что количество соляной кислоты у нас при смешивании не
изменилось, составим уравнение:
180 - 0,3х + 0,1х = 90 или
0,2х = 90
Откуда х = 90/0,2 = 450 г
Ответ: 10%-го раствора было взято 450 г.

Решение Павла Иванова:( +4 балла)

Пусть х-масса 30% раствора, y-масса 10% раствора. Составим систему ур-ний:
{x+y=600
{3/10*x+1/10*y=3/20*600

{x=600-y

{3/10*x+1/10*y=90
Подставим x=600-y в 3/10*x+1/10*y=90, получим y=450
Ответ: 450г.

 Стрелка весов при любом взвешивании отклоняется от истиного значения в одну и туже сторону на определённую величину. Когда продавец взвесил на этих весах яблоко, апельсин, лимон и грушу по отдельности они показали соответственно 100г, 120г, 90г и 80г. Когда же покупатель для контроля положил яблоко и апельсин вместе, а на чашку гирь - лимон и грушу, стрелка показала 56 грамм. Каков истиный вес лимона?

1). 84г 2). 87г, 3). 88г, 4). 96г, 5). из приведенных данных вес лимона определить невозможно

Решение Анатолия Безуглова (+7 баллов)

Обозначим вес яблока, апельсина, лимона и груши через я, а, л и г соответственно, а отклонение стрелки весов через х (раз оно постоянно).
Тогда
я+х=100
а+х=120
л+х=90
г+х=80

После второго взвешивания, когда покупатель для контроля положил яблоко
и апельсин вместе, а на чашку гирь - лимон и грушу, мы можем записать:
я+а+х - (л+г) = 56 или (я+а)-(л+г)+х=56 (*)

Из первых выражений можем найти, что:
я+х + а+х = 120+100
л+х + г+х = 90+80
Вычтя из первого второе:
я+х + а+х - (л+х + г+х) = 120+100-(90+80) или
(я+а)-(л+г) + 2х-2х = 220 - 170 или
(я+а)-(л+г) = 50
Подставив полученное в (*) получим
50+х = 56
Отсюда х = 6, т.е. весы всегда отклоняются в большую сторону на 6 грамм...
Тогда вес лимона:
л=90-х = 90-6 = 84 г.
Решение Андрея Ерослаева ( +7 баллов)

т.к. масса яблока равна 100г, апельсина 120г, лимона 90г, груши 80г (по условию)
покупатель положил яблоко+апельсин, а на чашку гирь лимон+груша, то стрелка показала 56г

составим 1 уравнение:
m_я+m_а-(m_л+m_г)=56
подставим:
100+120-90-80=50 (разница равна 6 грамм)
220г это масса яблока и апельсина
170г это масса лимона и груши
220-170+6=50+6, но т.к. 170г это масса груши и лимона, то
220-(170-6)=56
тогда масса лимона и груши вместе будет равна 164г, и масса груши верная,
значит mл=164г-80г=84г
Ответ: истинная масса лимона 84 грамм, ответ 1.

Решение Павла Иванова:(+ 7 баллов)

Пусть х-отклонение от истинного значения, а-истинная масса яблоко, b-истинная масса апельсина, с-истинная масса лимона, d-истинная масса груши. Тогда составим систему:
{х+а=100, (1)
{х+b=120, (2)
{x+c=90, (3)
{x+d=80, (4)
{a+b-c-d+x=56. (5)
Сложим (1) и (2) и вычтем сумму (3) и (4). х+а+х+b-(x+c+x+d)=50, т.е. a+b-c-d=50.
Подставим а+b-c-d=50 в (5), получим x=6. Значит, с=84.
Ответ: 1).

В конце у каждого из мальчиков по 8 яблок, значит перед раздачей
третьим мальчиком у первого и второго их было в 2 раза меньше (они же
получили по столько по сколько имели), т.е. по 4 яблока тогда у третьего
перд этим было 8+4+4=16 яблок.

Итак после раздачи вторым (перед раздачей третьим)
у первого было 4, у второго 4, у третьего 16 яблок.
Второй также раздавал столько сколько каждый из остальных имел до того.
Следовательно перед раздачей яблок вторым: у первого было 4/2=2 яблока,
у третьего 16/2=8 яблок, а у второго: 4+4/2+16/2 = 4+2+8 = 14 яблок.

Итак после раздачи яблок первым мальчиком у первого осталось 2 яблока, у
второго стало 14 яблок, а у третьего 8 яблок.
Первый также раздавал столько сколько до этого имел каждый из 2 других.
Следовательно до раздачи яблок первым мальчиком второй имел 14/2=7
яблок, третий имел 8/2=4 яблока, а первый: 2+14/2+8/2=2+7+4=13 яблок

Ответ: вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго - 7, у
третьего - 4.
Решение Павла Иванова ( +5 баллов)

Пусть х-кол-во яблок у 1-ого мальчика, у-кол-во яблок у 2-ого мальчика, z-кол-во яблок у 3-его мальчика. После того, как 1-ый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет,
у 1-ого мальчика х-y-z яблок, у 2-ого - 2y яблок, у 3-eго - 2z яблок. После того, как 2-oй мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет, у 1-ого мальчика 2(х-y-z) яблок, у 2-ого - 2y-x+y+z-2z=3y-x-z яблок, у 3-eго - 4z яблок. После того, как 3-ий мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет, у 1-ого мальчика 4(х-y-z) яблок, у 2-ого - 2(3y-х-z) яблок, у 3-eго - 4z-2x+2y+2z-3y+x+z=7z-x-y яблок. Но т.к. после этого всего у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок, составим систему:
{4(x-y-z)=8, {x-y-z=2, (1)
{2(3y-х-z)=8, {3y-х-z=4, (2)
{7z-x-y=8; {7z-x-y=8. (3)
Из (1) выразим х и подставим в (2), получим y=z+3. Подставим y=z+3 и х=2+y+z в (3), откуда
z=4. Следовательно, y=7 и х=13.
Ответ: 13; 7; 4.

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С, D, причем бочки С и D одинаковой вместимости. Пусть бочки А и В наполнены квасом; если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 её содержимого; если же содержимым бочки В наполнить бочку D , то в бочке В останется 1/9 её содержимого;. Пусть бочки С и D наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В , надо взять содержимое бочек С и D и добавить ещё 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение:wazovsky ( +3 балла)
Запишем систему ур-й:
C=D
А=С+1/2*А; A=2*C
B=D+1/9*B; B=9/8*D
A+B=C+D+9; A+B=2*C+9 B=9
D=8/9*B D=8=C
A=2*C A=16

Ответ неверный, так как Вы неправильно составили первое уравнение А=С+1/2*А, а нужно А=С+1/5*А

Решение:wazovsky ( +6 баллов)

Пусть условно скорость работы первого плотника будет - х
тогда скорости второго, третьего и четвертого будут соответственно:
х/2, х/3 и х/4.
Вместе они будут работать со скоростью:
х+х/2+х/3+х/4=(25/12)*х
Т.к. вместе они работают быстрее, то срок выполнения работы будет
меньше, чем срок работы одного первого плотника, в (25/12) раз.
Т.е. срок равен 12/25 года или 170+1/2 дней.

Ну вот еще одно решение этой задачи, немного ответ отличается от прошлых ответов но, я думаю что он тоже верный (ну просто год такой 355 дней)

Новые задачи

Адрес для решений: matematics@mail.ru

Если у вас есть интересные задачи или вы просто не можете решить нужную вам задачу, присылайте ее в рассылку, решим вместе! Сегодня предлагаем вам задачи из сборника задач для поступающих в вуз, а также интересные задачи: олимпиадную и задачу из старинных рукописей.

Бонус

В этом разделе коротко повторяем темы из области арифметики, алгебры, для того чтобы  помочь в подготовке к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, централизованному тестированию и единому государственному экзамену по математике.

Статья

Источник материала: http://www.rian.ru/review/20070810/70845403.html
Сенсационное открытие: доказана возможность перемещения во времени

Израильский ученый Амос Ори научно обосновал возможность путешествия во времени. Теперь у мировой науки есть необходимые теоретические знания для того, чтобы утверждать, что создание машины времени теоретически возможно.

Математические выкладки были опубликованы в последнем номере научного журнала "Физическое обозрение".
Профессор Израильского технологического института Амос Ори с помощью математических моделей обосновал возможность путешествия во времени. Главным выводом, который делает Ори, является то, что "для создания подходящей для таких путешествий машины времени необходимы гигантские гравитационные силы". В основе разработок израильского ученого лежит вывод, сделанный в 1949 году ученым Куртом Геделем о том, что теория
относительности предполагает существование различных моделей времени и пространства. В соответствии с расчетами Амоса Ори, в случае придания искривленной пространственно-временной структуре формы кольца
или воронки появляется возможность путешествовать в прошлое. При этом с каждым новым витком в этой концентрической структуре человек будет все дальше углубляться в толщу времени.
Однако для создания подходящей для таких путешествий машины времени необходимы гигантские гравитационные силы.
Они существуют, предположительно, возле таких объектов, как черные дыры. Впервые о черных дырах заговорили еще в 18 веке.
Ученый Пьер Симон Лаплас предположил существование невидимых космических тел, гравитация в которых настолько высока, что ни
один световой луч от этих тел не отражается. Лучу, для того чтобы быть отраженным от такого космического тела, необходимо
преодолеть скорость света. Лишь в 20 веке ученые установили, что преодолеть скорость света невозможно.

Границу черной дыры называют "горизонтом событий". Всякий объект, достигающий его, всасывается в недра черной дыры,
причем снаружи не видно, что происходит "внутри".
Предположительно, законы физики в глубине черной дыры прекращают действовать, и пространственная и временная координаты,
грубо говоря, меняются местами, а путешествие в пространстве становится путешествием во времени.

Впрочем, несмотря на значимость расчетов Ори, мечтать о временных перемещениях пока рано. Ученый признает, что его математическую модель пока что невозможно реализовать на практике технически. В то же время ученый подчеркивает, что процесс развития технологии столь стремителен, что никто не может сказать, какими возможностями человечество будет обладать через несколько десятков лет.

В целом возможность путешествий во времени была предсказана общей теорией относительности Альберта Эйнштейна.
По утверждению ученого, тела с большой массой искривляют пространство-время, а время движущихся с субсветовой скоростью объектов замедляется. Так, для нас полет некоторых частиц в космическом пространстве будет длиться тысячи лет, однако для самих частиц он будет занимать всего несколько минут. Искажение пространства-времени вызывает гравитацию: тела вблизи массивных тел движутся вокруг них по искривленным траекториям.
Искривленные линии пространства-времени могут замыкаться, и, двигаясь по ним, объект неминуемо встретится с самим собой из прошлого.

Идея путешествия во времени волнует человеческие умы давно. На эту тему написано огромное количество научно-фантастической
литературы. Но до сих пор доподлинно неизвестно, возможна ли реализация перемещения во времени на практике, или же это только теоретическая вероятность. Поскольку до сих пор никто не доказал, что путешествие во времени невозможно (при этом появились даже теоретические
обоснования возможности перемещения во времени), потенциальные шансы того, что когда-нибудь человек сможет вернуться в прошлое и увидеть будущее, все-таки остаются.

Материал подготовлен интернет-редакцией www.rian.ru на основе информации РИА Новости и открытых источников

Информация

По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail

Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!