Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь # 23



СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск N23 от 15.12.2007

Подписчиков:364
Р ассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka BrainMan , ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel ICQ 455-198-168
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/ , http://www.softhome.ru/
E-mail рассылки (для всех писем): matematics@mail.ru
Страница рассылки: http://content.mail.ru/pages/p_26428.html
Архив рассылки: http://content.mail.ru/arch/arch_26428.html
Сайт рассылки: в разработке ( http://algebra.jino-net.ru )
Математический форум: http://algebra.jino-net.ru/forum/
 
Слово автора  

Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Приглашаем Вас ознакомиться с новым выпуском рассыки о математике. Для тех, кто недавно подписался, напоминаем, что в нашей рассылке мы решаем задачи и примеры из курса средней школы, занимательные интересные задачи, более сложные олимпиадные. Мы поможем вам решить задачи, вызывающие затруднения при выполнении домашних заданий, а также при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, разъясним сложный материал. Вы можете принять участие в решении задач, ваши ответы будут опубликованы. Приглашаем посетить наш форум http://algebra.jino-net.ru/forum/ ,на котором вы сможете познакомиться,обсудить решения задач, задать вопросы, пообщаться.

 

В нашем выпуске:

* Рейтинг участников

* Решение задач предыдущих выпусков

* Новые задачи для абитуриентов, интересные задачи.

* Абитуриенту: Деление многочленов

* Анекдоты

 

Рейтинг

В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения).

Лидеры рейтинга
1. Павел Иванов 161 балл
2. Анатолий Безуглов 153 балла
3. Светлана 64 балла
4. Ольга 56 баллов
5. Евгений 19 баллов
6. Алекс Томилов 17 баллов

 

Решения задач

Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения , я их размещу в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки , решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки.

Задача 118 6 баллов

Упростить выражение
а). (5/2(х-3) - 1/6(х+1) - 4/(3х-6)) : (2/(х-3) - 1/(х-2) - 1/ (х+1))

б) ((аVa +bVb) / (Va + Vb) - V(ab)) : (a - b) + 2Vb/(Va+Vb)

Решение

Решение Павла Иванова ( + 6 баллов)

а) ((5/2*x+5/2-1/6*x+1/2)/((x-3)(x+1))-4/3(х-2))(2x-4-x+3)/((x-3)(x-2))-1/(x+1))=
=((7/3*x+3)/((x-3)(x+1))-4/3(х-2))(x-1)/((x-3)(x-2))-1/(x+1))=
=((7/3*x2-14/3*x+3x-6-4/3*x2+8/3*x+4)/((x-3)(x+1)(x-2)):
(x2-1-x2+5x-6)/((x-3)(x+1)(x-2))=(x2+x-2)/(5x-7)
Ответ: (x2+x-2)/(5x-7)

б) ((Va+Vb)(a-V(ab)+b)/(Va+Vb)-V(ab))a-b)+2Vb/(Va+Vb)=
=(a-2V(ab)+b)a-b)+2Vb/(Va+Vb)=(Va-Vb)2Va-Vb)(Va+Vb)+2Vb/(Va+Vb)=
=(Va-Vb+2Vb)/(Va+Vb)=1
Ответ: 1

Задача 123 5 баллов

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y(x) = | x2- 4x + 3| на промежутке [-1; 2,5]


Решение

Решение Павла Иванова:( + 5 баллов)

Гр. ф. у=x2- 4x+3 парабола, ветви направ. вверх. Вершина параб. наодится в точке (2;-5) (x0=(-b)/2a, y0=y(x0)= -5). y=0, если х2-4x+3=0, x1=1, x2=3( по обр. т. Виета). Чтобы из графика у=x2- 4x+3 получить гр. у=|x2- 4x+3|, нужно участки гр. у = x2-4x+3, лежащие выше оси абцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абцисс, отразить относительно этой оси. Тогда на промежутке (-беск.;1) функция убыв., на промежутке (1;2) - возр., на промежутке (2;3) - убыв., на промежутке (3;+беск.) - возр. Если х= -1, то у = 8; если х=1, то у= 0; если х=2, то у=5; если х=2,5, то у=0,75. Значит, на промежутке [-1; 2,5] наибольшее значение функции у=8, наименьшее - 0.
Ответ: 8; 0.
Ответ верный

Задача 125 4 балла

Найти сумму членов арифметической прогрессии с 12-го по 20-й включительно, если а1 = 7 и а15 = 42

Решение
Решение Павла Иванова:( +4 балла)

a15=a1+14*d, отсюда d=(42-7)/14=2,5. Значит, a12=a1+11*d=7+27,5=34,5. Пусть b1=a12=34,5, тогда
S9=(2*b1+8*d)*9/2=(69+20)*9/2=400,5.
Ответ: 400,5.

Решение

Еще один вариант решения этой задачи: Сумму членов арифметической прогрессии с 12 по 20 можно найти как разность сумм 20 членов прогрессии и 11. тоесть S20 -S11 =( (2а1 + 19d) * 20 - (2а1 + 10d) * 11 ): 2 , подставим значения а1= 7, d = 2,5 получаем тот же ответ: 400,5


Задача 126   7 баллов

 Найти пятизначное число, которое после умножения на 9 дает число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

 

Решение

Решение Павла Иванова (+7 баллов)

Пусть a-первая цифра, b-вторая, c-третья, d-четвёртая, e-пятая. Т.к. исходное и полученное
число пятизначное, то а может быть только 1, e-9 и b может быть только 0 или 1. Если b=0, то 10cd9*9=9dc01, откуда d=8, следовательно, с=9. Тогда исходное счисло 10989. Если b=1, то
11сd9*9=9dc11, откуда d=7, но никакое с не удовлетворяет условию, т.е. исходное число 10989.
Ответ: 10989

Ответ правильный.

Задача 127 Задача из старинных рукописей 7 баллов

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С, D, причем бочки С и D одинаковой вместимости. Пусть бочки А и В наполнены квасом; если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 её содержимого; если же содержимым бочки В наполнить бочку D , то в бочке В останется 1/9 её содержимого;. Пусть бочки С и D наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В , надо взять содержимое бочек С и D и добавить ещё 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

 

Решение

Решение Павла Иванова (+7 баллов)

.По условию C=D, C=A(1-1/5)=4/5*A, D=B(1-1/9)=8/9*B. Тогда 4/5*A=8/9*B, откуда A=10/9*B.
Значит, С+D+9=A+B, 16/9*B+9=10/9*B+B, отсюда B=27. Следовательно, A=30, C=24, D=24.
Ответ: Тогда A=30, B=27, C=24, D=24.

Решение древних математиков

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 её содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости бочки С. Так как после заполнения бочки D в бочке В останется 1/9 её содержимого, то вместимость бочки В равна 9/8 вместимости бочки D. Так как вместимость бочек А и В равны 5/4 + 9/5 = 19/8 = 2+3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует. что 3/8 вместимости бочки С составляет 9 ведер, откуда получаем,что вместимость бочки С равна 9: 3/8 = 24 ведра. Но тогда вместимость бочки А равна 5/4*24 = 30 ведрам, а бочки В равна 9/8* 24 =27 ведрам.

 

 

Новые задачи

Адрес для решений: matematics@mail.ru

Если у вас есть интересные задачи или вы просто не можете решить нужную вам задачу, присылайте ее в рассылку, решим вместе! Сегодня предлагаем вам задачи из абитуриентского тестирования, а также задачу из старинных рукописей

Задача 128 5 баллов

Найти область определения функции

y(x) = V(x+4)/V((V5-x) -3)

в числителе корень квадратный из (х+4), в знаменателе под корнем квадратный корень(5-х) минус 3.

 
Задача 129 6 баллов

 

Решить уравнение:

(х2 + 4х + 3)(х + 2)2 = 12

 
Задача 130 4 балла

Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов 10% раствора было взято?

 
Задача 131 7 баллов

Стрелка весов при любом взвешивании отклоняется от истиного значения в одну и туже сторону на определённую величину. Когда продавец взвесил на этих весах яблоко, апельсин, лимон и грушу по отдельности они показали соответственно 100г, 120г, 90г и 80г. Когда же покупатель для контроля положил яблоко и апельсин вместе, а на чашку гирь - лимон и грушу, стрелка показала 56 грамм. Каков истиный вес лимона?

1). 84г 2). 87г, 3). 88г, 4). 96г, 5). из приведенных данных вес лимона определить невозможно

Задача 132 Задача из старинных рукописей 5 баллов

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый теперь имеет, в свою очередь третий мальчик дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было в начале у каждого мальчика?

 
 
Абитуриенту

Бонус

В этом разделе коротко повторяем темы из области арифметики, алгебры, для того чтобы  помочь в подготовке к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, централизованному тестированию и единому государственному экзамену по математике.

Деление с остатком многочлена на многочлен

Такое деление возможно, если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе. чтобы найти частное двух многочленов. нужно расположить многочлен делимого и многочлен делителя по убывающим степеням переменной и выполнить деление. Пусть P(x) и Q(x) - многочлены степени m и n соответственно, причем m=> n (больше либо равно):

P(x) = a0xm + a1xm-1 + a2xm-2 + ... + am-1x + an

Q(x) = b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + ... + bm-1x + bn

разделив P(x) на Q(x) получаем: P(x) / Q(x) = Fm-n(x) + r(x)/Q(x), где Fm-n(x)- многочлен степени (m-n) называемый целой частью, r(x) - многочлен степени не выше (n-1) называемый остатком.

На практике деление многочленов выполняется "уголком". Располагаем оба многочлена по убывающим степеням и записываем рядом, отделив "уголком".Сначала делим старший член делимого на старший член делителя и записываем результат под горизонтальной чертой. Затем под делителем подписываем произведение делителя на указанный результат и вычитаем это произведение из делимого.Теперь задача свелась к делению нового многочлена меньшей степени на прежний делитель. Дальнейшие действия аналогичны описанным. В результате либо многочлен нацело разделится на многочлен (r(x) =0), либо получится остаток.

Например нужно разделить многочлен P на Q :

P=16a3 + 8a2 -5a + 7; Q = 4a2 - a +2

Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:
1) Делим первый член 16a3 делимого на первый член 4a2делителя; результат 4a является первым членом частного.

2) Умножаем полученное выражение 4a на делитель 4a2 – a + 2 ; записываем результат 16a3– 4a2 + 8a под делимым (один подобный член под другим).

3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a2 –13a + 7 .

4) Делим первый член 12a2этого выражения на первый член 4a2 делителя; результат 3 – это второй член частного.

5) Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a2 – a + 2 и вновь записываем результат 12a2 – 3a + 6 под делимым (один подобный член под другим).

6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток: – 10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.

В результате получили частное 4a + 3 и остаток (–10 a + 1).

Деление при помощи метода неопределенных коэффициентов.
A(x) = x3 - 2x2 + x - 1; B(x) = x - 2
Запишем формулу деления многочленов с остатком. A(x) / B(x) = Q(x) + r/B(x) или x3 - 2x2 + x - 1 = (x - 2)Q(x) + r
Что нам известно о Q(x)? - это многочлен второй степени, потому что при умножении на х дает x3 ,
Значит Q = ax2 + bx + c,
где a, b, c -неопределенные коэффициенты.

Что нам известно об r? – это число, так как его степень не может превышать степень делителя.
x3 -2x2 + x - 1 = (x-2)(ax2 + bx + c) +r = ax3 +bx2 +cx - 2ax2 - 2bx - 2c + r = ax3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c + r
По теореме о равных многочленах а = 1;
-2 = b – 2; b=0
1= с -2b 1 =с-0 ; с = 1 -2 = b – 2; b=0
-1 = -2с + r -1 = -2 + r; r =1
x3 -2x2 + x - 1 = (x-2)(x2 + 1) +1 ,

то есть (x3 -2x2 + x - 1):(x-2) = (x2 + 1) + 1/(x3 -2x2 + x - 1)

В следующем выпуске мы рассмотрим схему Горнера и теорему Безу

 

Анекдоты
   

скоро сессия и анекдоты у нас о студентах и экзаменах

***

Студент выходит из аудитории. Его окружают товарищи:
- Ну как, сдал?
- Сдал. Уж он меня топил, топил, а я выплыл.
Когда об этом студенте спросили у профессора, он ответил:
- Уж я его тянул, тянул, еле вытянул.

***

Идет студент МВТУ, а дороге в луже спит пьяный студент с мехмата с книжкой в руке. Бауманец поднимает книжку, читает - "ТЕОРИЯ ПОЛЯ".
Кидает книжку назад, пинает пьяного:
- Эй, агроном, чего разлегся?

***

Профессор:
- Кто пойдет отвечать первым, получит оценку на балл выше. Студент:
- Ставьте мне три, я иду.

***

  
 

Информация

По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail

Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!
В избранное