Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Скорая математическая помощь

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Все о тренингах для бизнеса" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Riateche

Статистика

370 подписчиков
+3 за неделю
←   Все выпуски   →

Скорая математическая помощь # 21



СКОРАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОМОЩЬ
Выпуск N21 от 1.12.2007

Подписчиков:338

Р ассылка о математике и информатике. Выходит еженедельно по субботам.
Ведущий рассылки: Павел Страхов aka BrainMan , ICQ 415-145-675
Заместитель ведущего: Ольга Киянова aka Inconel ICQ 455-198-168
Наши партнеры: http://www.otvetov.net/ , http://www.softhome.ru/
E-mail рассылки (для всех писем): matematics@mail.ru
Страница рассылки: http://content.mail.ru/pages/p_26428.html
Архив рассылки: http://content.mail.ru/arch/arch_26428.html
Сайт рассылки: в разработке ( http://algebra.jino-net.ru )
Математический форум: http://algebra.jino-net.ru/forum/
 
Слово автора  

Здравствуйте, уважаемые подписчики!

Вы получили 21 выпуск  нашей рассылки. Наступил декабрь - начало зимы и конец года, ответственное время для тех, кто учится: для школьников -время сдачи контрольных за полугодие, для студентов - время подготовки к сессии, сдачи индивидуальных заданий, курсовых и зачетов. Надеемся Вы найдете время для рассылки, а если возникнут вопросы -напишите нам. Приглашаем всех подписчиков посетить наш форум http://algebra.jino-net.ru/forum/ ,на котором вы сможете обсудить решения задач, задать вопросы, пообщаться.

 

В нашем выпуске:

* Рейтинг участников

* Решение задач предыдущих выпусков

* Новые задачи для абитуриентов, интересные задачи.

* Абитуриенту: Алгебраические выражения

* Анекдоты
 

Рейтинг

В рассылке проводится рейтинг активных подписчиков. Вы зарабатываете баллы, присылая задачи и решения. Баллы начисляются за участие в опросе (1 балл), присланные задачи (2 - 4 балла), решения задач (1 - 7 баллов, в зависимости от сложности задачи и правильности решения). 

Лидеры рейтинга
1. Анатолий Безуглов 147баллов
2. Павел Иванов 125 баллов
3. Светлана 64 балла
4. Ольга 56 баллов
5. Евгений 19 баллов
6. Алекс Томилов 17 баллов

 

Решения задач

Если вы решили опубликованную задачу, присылайте свои решения , я их размещу в этом разделе. Вы можете решать и задачи, появившиеся в прошлых выпусках рассылки , решения будут опубликованы. Условия предыдущих задач можно найти в архиве рассылки.

Задача 113 4 балла

Пусть (х0у0)-решение системы уравнений:

{V(x2-2) = - у

{x-1 = V(у2+2у+1) Найдите х0+у0

Решение
Решение Анатолия Безуглова(+4 балла)

Пусть (ху)- решение системы уравнений:
{V(x2 -2) = - у

{x-1 = V(у2 +2у+1) Найдите х+у

Возведем первое уравнение в квадрат:
(V(x2 -2))2 = (- у)2
Или x2 -2 = у2
x2 - у2 = 2
Теперь возведем в квадрат второе уравнение:
(x-1)2 = (V(у2 +2у+1))2
Раскрыв скобки получим:
x2 - 2х + 1 = у2 +2у+1
Или x2 + 1 - у2 - 1 = 2у + 2х = 2(х+у)
x2 - у2 = 2(х+у)
Подставив полученное ранее x2 - у2 получаем:
2(х+у) = 2
Или
х+у = 1

 
Задача 114 5 баллов

Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

 

Решение
Решение Анатолия Безуглова(+5 баллов)

Составляем систему уравнений:
х + у = 12
10х + у +36 = 10у + х
Или последнее уравнение:
9х - 9у = -36
Первое уравнение запишем в виде:
9х + 9у = 108

Сложив первое уравнение с последним получим:
9х + 9х + 9у - 9у = 108 - 36
Или 18х = 72
Откуда х = 4
Тогда у = 12 - х = 12 - 4 = 8

Ответ: искомое число: 48

Решение Павла Иванова:( +5 баллов)

Составим систему уравнений:
{a+b=12 (1)
{10a+b+36=10b+a (2)
Из (1) выразим a=12-b и подставим в (2). Получим b=8, тогда a=4.
Ответ: 48.

Задача 115 4 балла

Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 10, найти сумму первых десяти членов этой прогрессии 

Решение
Решение Анатолия Безуглова( +4 балла)

Для решения можно применить известную формулу для суммы членов
арифметической прогрессии:
Sn = (a1 + an ) * n / 2
Здесь
Sn - сумма n членов арифметической прогресии
a1 - первый член
an - последний n-ый член
n - число членов.
Напрямую казалось бы эту формулу применить нельзя, но здесь необходимо
вспомнить, что эта формула базируется на следующем свойстве
арифметической прогрессии:
(a1 + an ) = (a2 + an-1 ) = (a3 + an-2 ) = ...
В нашем случае:
(a2 + an-1 ) = 10, n=10
Тогда запишем:
Sn = (a2 + an-1 ) * n / 2 = 10*10/2 = 50
Ответ: сумма первых десяти членов арифметической прогресии равна 50

Решение Павла Иванова:( +4 балла)

a2=a1+d, a9=a1+8*d, т.е. a2+a9=2*a1+9*d=10. S10=(2*a1+9*d)/2*10, но 2*a1+9*d=10, значит,
S10=50.
Ответ: 50.

Задача 116 Задача из старинных рукописей 7 баллов

 Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

 

Решение
Решение Анатолия Безуглова (+7 баллов)

Для начала обозначим через vм , vж - соответственно количество кваса
выпиваемое мужем и женой за один день. U - объем в нашем случае = 1 (1
бочонок). tм - время за которое муж выпивает бочонок (в нашем случае 14
дней), tж - время за которое жена выпивает бочонок кваса (требуется
найти), tмж -время за которое выпивают бочонок кваса муж и жена вместе.

Очевидно, что мы можем записать следующие формулы: в общем виде:
t = U / v
Для мужа:
tм = 1 / vм или vм = 1 / tм = 1/14
Для мужа и жены вместе
tмж = 1 / (vм + vж )
10 = 1 / ( (1/14) + vж ) (1)
Для жены:
tж = 1 / vж
Рассмотрим уравнение (1) - здесь мы можем привести его к виду:
(1/14) + vж = 1/10
Или
vж = (1/10) - (1/14) = 1/35
Подставим это значение в уравнение для жены:
tж = 1 / vж = 1 / (1/35) = 35
Ответ: жена выпивает бочонок кваса за 35 дней.

Решение Павла Иванова:( 0 )

За один день человек выпивает 1/14 бочонка, а его жена за один день выпивает 1/10 бочонка. Значит, вместе за один день они выпивают 1/14+1/10=6/35 бочонка. Т.е. они выпьют бочонок за 6 дней (за 6 дней они выпивают 36/35 бочонка).
Ответ: 6.

Решение:

Можно рассуждать так: За 140 дней человек выпьет 10 бочек кваса, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса, значит за 140 дней жена выпивает 14-10=4 бочонка кваса, а тогда один бочонок кваса она выпьет за 140/4= 35 дней.

Задача 117 Задача из старинных рукописей 7 баллов

  Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".  Как разделить орехи?.

 
Решение
Решение Анатолия Безуглова (+7 баллов)

Составляем систему уравнений.
Во первых известно что разделено на 2 части - обозначим их х и у, их
сумма, очевидно, равна всему количеству орехов:
х + у = 130
Второе условие: меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы
большей части, уменьшенной в 3 раза.
Пусть х - меньшая часть, тогда:
4х = у / 3
Или у = 12х

Подставим это в первое уравнение:
х + у = 130
х + 12х = 130
13х = 130
х = 10
Тогда у = 12х = 12*10 = 120

Ответ: необходимо разделить на части следующим образом: меньшая 10,
большая 120.

Решение Павла Иванова (+6 баллов)

Пусть a-меньшая часть, b-большая. Тогда составим систему уравнений:
{a+b=130 (1)
{4a=b/3 (2)
Из (2) выразим b=12a и подставим в (1). Получим a=13, тогда b=130-13=117.
Ответ: 13, 117.

(Ну почему a=13??, ведь a+12a =130, 13а=130 => а= 10, b=20)

Задача 109 из рассылки №19

На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по составу команды, всего 123 мальчика и 82 девушки. Сколько мальчиков было в каждой команде?

 

Решение
  Решение Павла Иванова (+3 балла)

Т.к. всего участников 205 и участвовали равные по составу команды, то команд может быть 5 или 41 (205, кроме деления на 1 и 205, делится только на 5 и 41). А т.к. все мальчики должны поделиться на одинаковое количество команд (участвовали равные по составу команды), то пусть х-количество мальчиков в одной команде. Тогда 123/x=5 или 123/x=41. В первом случае нет решений, во втором х=3.
Ответ: 3

Задача 111 из рассылки №19 6 баллов

 Шуточная задача

Лежит у КПП шпион и слушает какой пароль для входа в секретную часть. Идет первый военный. Ему говорят: "22". Он отвечает: "11". Ему говорят: "Проходи". Идет второй военный. Ему говорят: "26" Он отвечает: "13". "Понятно", - подумал шпион и пошел к КПП.
Ему говорят: "100". Он отвечает: "50". Короче, повязали его. Перед расстрелом шпион спрашивает: "А что надо было ответить?

 
Решение
 

ему надо было посчитать количество букв в числе: пятьдесят-9

 

Новые задачи

Адрес для решений: matematics@mail.ru
 

Если у вас есть интересные задачи или вы просто не можете решить нужную вам задачу, присылайте ее в рассылку, решим вместе! Сегодня предлагаем вам задачи из абитуриентского тестирования(первые три задачи), задачи 118, 119 на тему "алгебраические выражения", которая рассматривается в следующем разделе рассылки, а также интересные задачи

Задача 118 6 баллов


Упростить выражение

а)  (5/2*(х-3) - 1/6(х+1) - 4/(3х-6)) : (2/(х-3) - 1/(х-2)) - 1/(х+1)

б) ((аVa +bVb)/(Va + Vb) - Vab)) : (a-b)+2Vb/(Va+Vb)

 
Задача 119 6 баллов

Вычислите значения выражения

а) 3-4*27-2/3*9 - 27-(1+1/3) +2 + (0,125)-2/3

б) 625-3/2 * 5-3*25+7  -25-3/2 +1/81/3

 
Задача 120 4 балла

Магазин в первый день продал половину привезенных  гусей  да еще 1/2 гуся; во второй день 1/3 часть остатка да еще 1/3 гуся, а в третий день магазин продал оставшиеся 33 гусей. Сколько всего гусей было привезено в магазин?

 
Задача 121 7 баллов

Число исполнившихся мне в этом году лет во многом примечательно.
Если от этого числа отнять 2, то оно разделится на 3, а если от него отнять 3, то оно разделится на 2.
Если к нему прибавить 4, то оно разделится на 5, а если от него отнять 5, то оно разделится на 4.
Если от него отнять 5, то оно разделится на 6, а если от него отнять 6, то оно разделится на 5.
Если к нему прибавить 7, то оно разделится на 8, а если к нему прибавить 8, то оно разделится на 7.
Сколько же лет мне исполнилось в этом году?

.

 
Задача 122 Задача из старинных рукописей 6 баллов
Четыре плотника у некоего купца нанаялись двор строить. И говорит первый плотник так:если мне одному двор ставить я его поставлю за один год, А другой молвил:-я его поставил бы за два года. А третий молвил:- я его поставил бы в в три года, а четвёртый рек: - я бы его поставил в четыре года. Все те четыре плотника решили ставить двор вместе. Сколько они его ставили сочти..
 
Абитуриенту

Бонус

В этом разделе коротко повторяем темы из области арифметики, алгебры, для того чтобы  помочь в подготовке к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа, централизованному тестированию и единому государственному экзамену по математике.

Алгебраические выражения


1.n-степенью действительного числа а называется произведение n сомножителей, равных а, то есть аn= а*а*а*а...а (n раз). Полагают, что а1 =а
Число а называется основанием степени, число n - показателем степени. Например: 35=3*3*3*3*3 =243,   (-2)4 = (-2)*(-2)*-2)*(-2)=16

Основные свойства степени с натуральным показателем:
1. аkаp=ak+p      2. аk:аp=аk-p (k>p)   3. (аb)k=аkbk   4. (a/b)k = ak/bk  

5. (ak)p=akp
по определению: a0=1, если а не равно 0, если а равно 0, число а в нулевой степени не определяется. Если а не равно 0 и n- натуральное число, то а-n=1/аn
например:  3-2=1/32=1/9 , (-4)-3=1/(-4)3= -1/64, (а/b)-2 = (b/а)2= b2/а2, таким образом, мы определили степень с целым показателем. Для степени с целым показателем характерны те же пять свойств, что и для степени с натуральным показателем, причем свойство 2 выполняется при любых целых k,p.
2. Любое сложное действительное число можно представить в стандартном виде: а=а1*10k, где 1<=а1<10, k-целое число. При этом k называется порядком числа, а а1 его характеристикой.
Например:  426,3 = 4,623*102;  5,41 = 5,41*100;  0,0214 = 2,14*10-2;
3. Существует шесть алгебраических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Запись, состоящая из чисел и букв(переменных) и знаков алгебраических действий) называется алгебраическим выражением.
Например: 4ab-a2(a-b),  (a+b)/(a-b),  (x-V3)3,  Vx - 2Vy.
Множество значений переменных, для которых данное выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений (ОДЗ) или областью определения данного выражения . Так, ОДЗ выражения (a+b)/(a-b) состоит из таких пар чисел: а и b принадлежат множеству R a не равно b; ОДЗ выражения Vx - 2Vy состоит из таких пар чисел:х>=0, y>=0(х ,у больше либо равны 0). Если алгебраическое выражение не имеет деления на переменные и извлечения корня из переменных, то оно называется целым.Такими выражениями есть например:

 4ab-a2(a-b), (x-V3)3.
Если в алгебраическом выражении есть сложение, вычитание, умножение, возведение в натуральную степень и деление на выражение,содержащее  переменные, то такое выражение называется дробным. Таким выражением есть например выражение (a+b)/(a-b). Целые и дробные выражения составляют рациональные выражения. Выражение Vx - 2Vy -иррациональное, так как в нем есть действие извлечения корня из переменных. Если в алгебраическом выражении придать переменным какое либо число из допустимых значений, то получим числовое выражение. Его значение называется числовым значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.
4. Рассмотрим равенство (х+2)2 = х2 + 4х +4. Выражение (х+2)2 и х2+4х+4 принимают равные числовые значения при любом действительном х. В таком случае говорят, что выражения тождественно равны на множестве R. Выражение |х| и х, тождественно равны на множестве (-беск; 0). Тождественно равным называются выражения, если при всех значениях, входящих в них  переменных, принадлежащих общей области определения, соответственные значения этих выражений равны. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных . Замена одного выражения тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.
 

АНЕКДОТЫ
   

***

Мальчик пришел из школы с синяком под глазом.
- Опять дрался! - возмутилась мать. - Разве я не говорила тебе, что если ты рассердился, то сосчитай до ста, прежде чем на что-либо решиться.
- Говорила, мама, но дело в том, что мать другого мальчика советовала ему считать до пятидесяти

***

В первом классе:
- Сколько будет дважды два?
- Четыыыыыреееее, - размазывая слезы.
- А почему ты плачешь?
- Хочуууу пяяаааать...

***

Скажи, если один плюс один будет два, а два плюс два будет четыре, сколько будет четыре плюс четыре?
- Это несправедливо, мисс. Вы всегда отвечаете на легкие вопросы, а мне достаются самые тяжелые

***

  
 

Информация

По всем интересующим вас вопросам обращайтесь на e-mail

Призываю Вас к сотрудничеству. Если у Вас есть свой сайт или рассылка, вы можете разместить там ссылку на мой сайт и форму подписки на мою рассылку. Я же размещу ссылку на Ваш ресурс в разделе ссылок своего сайта и в рассылке. Чтобы уточнить условия, напишите мне письмо.
Если вам нравится эта рассылка, посоветуйте ее друзьям - чем больше подписчиков, тем интереснее и активнее процесс решения задач. Если у вас возникли какие-либо проблемы с использованием рассылки, пишите мне на e-mail: matematics@mail.ru или воспользуйтесь формой обратной связи на странице рассылки.
Участвуйте активнее! Помогите развитию рассылки!
С радостью приму замечания и пожелания к дизайну и содержанию рассылки.

Спасибо за внимание!
В избранное