4. Разбор полетов мысли

Как я и обещал в прошлом выпуске, здесь будет уделено внимание решению одной из самых сложных (судя по количеству решивших) и в то же время одной из самых простых (судя по, собственно, решению) головоломок сезона. Своим озарением с нами поделился один из решивших - Дмитрий Литвиненко:

19. Строго по расписанию
В юности инспектор Форсмартс, и не помышлявший еще о карьере детектива в те далекие времена, по выходным подрабатывал диспетчером на станции "Война-яд". Он приходил на работу за 3 минуты до начала своей смены, начинавшейся в 11.00. Первый поезд, который он видел в этот день, прибывал на станцию уже в 11.01, как всегда, строго по расписанию. Далее поезда подходили к станции в 11.03, 11.06, 11.10, 11.15, 11.21. Восстановите по этим данным расписание движения поездов.

"А ведь я совсем недавно (ну где-то в 2004 году) видел ОЧЕНЬ похожую задачку. Правда, это была не головоломка, а задача с олимпиады по программированию. Там задавались все времена прибытия маршрутов в течение часа и "ограничивающие" условия:
- интервал на каждом маршруте одинаков;
- каждый маршрут прибывал за этот час, по крайней мере, два раза.
И нужно было определить количество маршрутов и интервал на каждом.
Здесь так не проходит. "Туда" и "обратно" с разным интервалом тоже не проходит. "Туда" и "обратно" с интервалами в каждом направлениии t0,t1 - так решается, но неоднозначно; при этом не используется ни 10:57, ни "Война-яд". Вот так и начал думать во всяких бредовых направлениях: "Poison Is War", или 10:57=1057, или 10:57=10*60+57...
Ну, к счастью, у нас сегодня была забастовка маршруток, то есть, они как бы ходили, но очень-очень вяло; и пришлось ехать не сидя, а стоя. И вот в процессе стояния мысли потекли в "ребусном" направлении: "вой" на "яд" ... "яд" под "вой" ... подвой, по двое, двойная!!
"Д-война-я"! 4 маршрута - 2 туда, 2 обратно; по одной линии - с одинаковым интервалом. И условие t(0)<10.57 делает решение единственным..."

Далее следует разбор полета мысли Дмитрия Фураева при решении одной из ранних головоломок прошедшего сезона (этот и следующие материалы раздела имеет смысл рассматривать только с бумагой и карандашом в руках :)

4. Японское пентамино
Восстановите расположение полного комплекта элементов пентамино в сетке. Элементы не могут касаться друг друга даже углами. Числа по краям таблицы показывают длину встречающихся в соответствующих строках и столбцах блоков клеток, не занятых пентамино. Расположены эти числа по возрастанию. Пентамино, как обычно, можно вращать и переворачивать.

"Договоримся обозначать столбцы латинскими буквами a-l слева направо, а ряды 1-12, начиная с нижнего.
Сначала закрасим черным цветом те клетки, в которых нету элементов пентамино: d1-d3, d6-d7, d10-d12; d7-i7; a10, i10, l10 (в данных строчке и столбце элементы пентамино (далее ЭП) служат разделителями блоков, не занятых пентамино (далее черные блоки или клетки черного цвета)).
Понятно, что с двух сторон элемента I будут черные блоки длиной 6 или более клеток. Если бы элемент I прилегал к границе таблицы, то один из таких черных блоков был бы в строках 2/11 или столбцах b/k, чего по условию задания не наблюдается. Т.о., элемент I находится в строке 8. Рассматривая аналогичным образом две оставшихся стороны, получим, что элемент I может находиться в следующих позициях: a8-e8, d8-h8, h8-l8.
Допустим, элемент I находится в позиции h8-l8. Закрашиваем клетки вокруг элемента I. Значит, в клетках a7-c7 находятся фрагменты ЭП. Рассмотрим строку 8: f8 закрашиваем черным (мин. длина черного блока - 2 клетки), значит, a8-b8 и d8 также принадлежат черному блоку. Отсюда d9 принадлежит некоторому фрагменту ЭП; a9 принадлежит также фрагменту ЭП. Значит, с8 принадлежит черному блоку (ЭП не могут касаться друг друга), а e8 ЭП, а это в свою очередь значит, что и e9 принадлежит тому же ЭП. с9 не может также быть частью ЭП, значит, эта клетка черного цвета, как и c10, а с11 и b10-b11 завершают элемент Z. Значит, a11, a12-c12 черного цвета. Получается, что a10-a12 черного цвета, что противоречит условию. Вариант неверный.
Элемент I находится в позиции a8-e8 или d8-h8. Значит, клетки d8 и e8 принадлежат ему в любом случае. Отсюда c9-f9 и c7 черного цвета, а значит, что и d5 принадлежит черному блоку, а d4 и l7 фрагменту ЭП.
После определения принадлежности клетки d4 следует, что a4-c4 это 3-клеточный черный блок, e4 принадлежит некоторому ЭП, а g4-k4 часть 6-клеточного черного блока. Клетки c3 и c5 также черного цвета. Таким образом, в столбце c определились все черные клетки (c3-c5, c7, c9). Обозначив принадлежность остальных клеток данного столбца ЭП, определяется позиция элемента I (a8-e8). Из этого следует, что клетка с6 принадлежит элементу P (a6-c6, a5-b5), а клетки g9 и a11 части ЭП (обозначают концы черных блоков), a12 может быть только черного цвета (иначе туда не вписывается ни один ЭП), значит позиция элемента T: a11-c11, c12, c10.
В столбце b уже определена позиция 2-клеточного черного блока, значит, b3 часть ЭП, отсюда и b2 принадлежит тому же ЭП, а b1 черного цвета. a1 и e1 тоже черного цвета. g8, i8, k8-l8 черного цвета, e3 и j7-l7 части ЭП. Клетки g7-g8 из-за клетки g4 не могут быть частью 4-клеточного черного блока, поэтому g6 фрагмент ЭП. Тогда g2-g4 часть 4-клеточного черного блока, а g11 2-клеточного.
При всех вариантах размещения черных блоков в строке 10 g10 принадлежит одному из них => g12 часть ЭП => e12 и f12 фрагменты того же ЭП => i12-k12 черного цвета. Рассмотрим столбец e. e2 черного цвета (иначе в этом столбце не разместятся все черные блоки) => f2 принадлежит тому же ЭП, что и d4, e3 и e4, значит, и f3 часть этого элемента (W) (при этом ясно, что a2 является недостающим фрагментом элемента F). Закрашивая по его периметру клетки черным цветом, получаем, что l4 и h1 принадлежат некоторым ЭП, e6, f6, g5 вместе с g6 принадлежат другому ЭП, f7-f11 образуют 5-клеточный черный блок, e10 тоже черного цвета => h10 и e11 являются фрагментами ЭП, причем e11, e12-h12 образуют элемент L. Клетки h11-i11, т.о., черного цвета, l12 тоже, а j11 и i9 являются фрагментами ЭП => h9 и h2 также являются частями ЭП (до h2 черный блок никак не дотянется) => i5-i6 черного цвета => i3 принадлежит ЭП.
j10 не может быть частью ЭП, а k10 наоборот, значит, и k11 и k9 тоже часть того же ЭП, что и j11 и k10, следовательно, l9 недостающий фрагмент элемента Z, а h8 элемента X.
h3 не может быть черного цвета, так как иначе h1, h2 и i3 смогут образовать только какой-либо из элементов F,W,P, а они все уже использованы. Значит в столбце i клетка i2 - черного цвета, а клетка i1 довершает элемент U.
Далее не так уж сложно определить, что черные блоки в 6-й строке определяют позицию элемента N (e6-g6, g5-h5), элемент V находится в позиции j5-j6-j7-k7-l7, а последний элемент Y образуют клетки (k2, l1-l4)."

Завершат данную подборку два решения от Андрея Богданова.

15. Суммы в прямых углах.
Центры клеток с цифрами - это углы двенадцати равнобедренных прямоугольных треугольников. Цифра в прямом углу каждого треугольника является суммой цифр, находящихся в двух других его углах. Все треугольники имеют разные площади. Определите расположение треугольников.

Сначала просто подсчитаем цифирьки в сетке. Имеем одну "шестерку", три "пятерки", семь "четверок", девять "троек", шесть "двоек" и десять "единиц". Из них надо составить 12 треугольников. Вариантов составления треугольников не так уж много и довольно быстро составляется такая вот таблица (слева указаны цифры в треугольниках, а в таблице - количество соответствующих треугольников в вариантах):

					A	B	C	D	E	F	G
(	6	5	1	)	1	1
(	6	4	2	)			1	1
(	6	3	3	)					1	1	1
(	5	4	1	)	1		2		3	2	1
(	5	3	2	)	1	2	1	3		1	2
(	4	3	1	)	5	6	4	6	3	4	5
(	4	2	2	)	1	1			1	1	1
(	3	2	1	)	3	1	4		4	2
(	2	1	1	)		1		2		1	2

Теперь можно взглянуть и на расположение цифр.
Во-первых, можно заметить, что треугольник (633) построить нельзя, значит варианты E,F,G - отпадают. Во-вторых, "четверка" стоящая на a2 не может быть прямым углом, и не может образовать треугольник с "шестеркой". С этой цифрой строится только треугольник (541):c5,a2,f3.
Это значит, что варианты B и D тоже невозможны.
Остаются только варианты A и C.
Начнем с варианта A.
Единственным образом строятся треугольники:
(651): f2,f6,b2.
(422): c4,a3,d2.
Однозначно строятся треугольники для "троек" на a4, d1, h8:
(431): b7,a4,e6.
(431): d4,d1,g4.
(431): e5,h8,h2.
Теперь есть единственный треугольник для "единицы" на с1:
(321): d5,h4,c1.
Теперь и треугольник (532) строится только как
(532): e8,c6,g7.
Далее легко строятся треугольники
(431): b6,d6,b4.
(431): e7,a5,g3.
Остаются еще два треугольника с "тройкой" в прямом углу.
(321): d7,c7,d8.
(321): d3,e4,e2.
Остается проверить, что все треугольники разного размера. Решение получено. Можно точно также раскрутить вариант С и убедиться, что решение там не получается."

21. Ножницы
Расположите в таблице 10 ножниц (2 комплекта пяти различных размеров), так чтобы их разделяла друг от друга, как минимум, одна клетка. Одни ножницы из комплекта должны быть сложены, другие - разведены на 90 градусов. "Гвоздики", пользуясь терминологией известной загадки, в таблице уже расставлены. Чтобы выполнялось требование различности размеров, у этих комплектов должна различаться пара значений: расстояние от "кольца" до "гвоздика" и от "гвоздика" до "конца", причем оба этих расстояния должны быть целыми числами не меньше единицы. Количество "колец" в горизонталях и вертикалях проставлено по краям таблицы. При решении не обращайте внимания на буквы в "гвоздиках".

"Заметим, что в четырех верхних строках ровно восемь колец. Как раз для четырех ножниц A,B,C,D. Конечно до этих строк могут достать и другие ножницы, но несколько попыток убеждают в малоперспективности таких вариантов, поэтому сосредоточимся на предположении, что все кольца в четырех верхних строках принадлежат ножницам A,B,C,D. В этом случае кольцо в 10-й строке принадлежит раскрытым ножницам A (кольца a10+c12 или d10+b12). А кольцо в 9-ой строке - ножницам B (кольца g9+i11 или j9+h11). Ножницы C и D - закрыты. Возможно два варианта:
i) Ножницы С имеют кольца в 11-ой строке, а D в 12-ой.
ii) Ножницы С имеют кольца в 12-ой строке, а D в 11-ой.
Рассмотрим их.
i) В этом случае для ножниц A кольца расположены в полях a10+c12. Теперь ищем кольцо для 8-ой строки. Легко проверяется, что это не кольца ножниц H,I,J.
i1) Пусть это ножницы F. Тогда кольца у них расположены в a8+e4 Но тогда третье кольцо в столбце a устроить не удается.
i2) Пусть это ножницы E (кольца d8+f6). Ножницы A,B,E должны иметь разные размеры, значит длина коцов у ножниц E минимум - 3. И теперь мы не можем впихнуть ножницы F.
i3) Остаются ножницы G с кольцами j8+f4. Но теперь нет ножниц, которые бы обеспечили второе кольцо в столбце l.
Перейдем к варианту ii) Все отличие от первого варианта для остальных ножниц состоит в том, что появляется второе положение для ножниц A: d10+b12. Это позволяет (аналогично варианту i1) расположить ножницы F в полях a8+e4, а оставшиеся два кольца для столбца a взять у сложенных ножниц I (a1+a2). Дальше все просто:
Два кольца для столбца C это ножницы E (с6+с7). Недостающее кольцо в столбце f - ножницы H (f1+h3). Ножницы J располагаются единственным образом: j1+j2. Второе кольцо в столбце l от ножниц G (l4+i7). Ну и для ножниц B определилось положение j9+h11. Остается разобраться с длинами всех кончиков (чтобы обеспечить различие ножниц) и задача решена!"

Огромное спасибо всем авторам материалов!

5. Заключение

Ответы на головоломки из прошлого выпуска рассылки присылайте до 10 марта.
Адрес пока что прежний - forsmarts@tut.by.
ДО ВСТРЕЧИ В НОВОМ СЕЗОНЕ!