Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Логические задачи на сообразительность

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Национальная и государственная безопасность" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2005   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
26.03.2005
01:07:44
04:08:09
27
28
29
30
31
Автор
Игорь Игоревич Хохлов

Статистика

14.961 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Логические задачи на сообразительность


Информационный Канал Subscribe.Ru

 

Здравствуйте,  с Вами Томи.  Выпуск 18.

Ответы  на  задачи.

Вначале я дам ответы на задачи предыдущих рассылок. Помните, что за Вами (и за мною) еще ответ на задачу экстрасенса с картами. Но сегодня я расскажу о решении задачи с муравьем в коробке (или на коробке – как хотите). Эту задачу нам прислал Михаил Макаров, и я Вам ее напомню, но чуть иначе:

На коробке в форме параллелепипеда бегали два муравья, они рассорились и разбежались в противоположные углы. Могут ли они «разбежаться» на еще большее расстояние?

В начале определим понятия: часть плоскости ограничивающая параллелепипед называется гранью; две грани пересекаются, образуя двухгранный угол и ребро; три ребра пересекаясь образуют угол, а в (на) углу сидит муравей. Операция возвести в квадрат, обозначается  ^2.

Я эту задачу решал в начале практически: использовал функциональный блок своего компьютера в качестве модели коробки, и нитку для измерения расстояний. Вот что я при этом «открыл»: муравей может ползти из одного угла в другой по натянутой нитке тремя способами, по количеству граней, которые сходятся в одном углу. Если длину ребер коробки обозначить А, В, С, то легко рассчитать все три расстояния между мурашами. Для этого посмотрим на блок компьютера чуть с боку и посадим одного из муравьев в дальний нижний угол. Теперь второго муравья, который сидит на верху коробки, нужно  «покатать». Представим себе, что верхняя грань блока –  это крышка, и ее можно поднять так, чтобы она находилась в плоскости с боковой гранью. Это одна из возможных разверсток. Делать это нужно осторожно, чтобы муравей, сидящий в углу «не упал». Муравьи оказались в одной плоскости, и расстояние между ними определяется по теореме Пифагора. Если повернуть не крышку, а лицевую панель, (муравей опять «катается), то получим еще одну развертку и можно рассчитать второе расстояние. Третье лежит в плоскости стола: (привожу их квадраты, чтобы не извлекать корни):

1. (А+В)^2 + C^2; (Самое длинное, нам не нужно)

2. (A+C)^2 + B^2; (Длинное)

3. (B+C)^2 + А^2. (Короткое)

 Если раскрыть скобки, то эти три выражения будут содержать одинаковую часть: сумму трех квадратов А,В,С, и будут отличатся удвоенными произведениями: 2АВ; 2АС; 2ВС. Если А>B>C, то самым маленьким будет расстояние, содержащее слагаемое 2ВС, т.е. муравей должен бежать по двум самым большим граням. Именно это расстояние 3. -исходное, оно разделяет муравьев, когда они сидят по углам. (Мне на память сразу приходит шуточный парадокс Канта о книгах: если о величине книги судить не по количеству страниц, а по времени необходимому для ее понимания, то многие книги не были столь длинны, если бы не были так коротки.) Если Вы смотрите на блок компьютера чуть сбоку, то муравей из нижнего угла, убегая от другого, пересекает большую грань, пересекает большее ребро А, бежит по верхней (средней по величине) грани до верхнего угла. Если мы найдем точку, которая находится от нижнего муравья на расстоянии большем 3. и не меньшем 2., то задача будет решена. Давайте попробуем найти такую точку на ребре В, среднем ребре, т.е муравей  чуть промахнется мимо верхнего угла, срежет маленький уголок на лицевой грани и прибежит в точку, находящуюся чуть ниже на ребре В, на расстояние d, от вершины угла. Путь 2.станет чуть короче, а 3. удлинится:

2. (A+C)^2 + (B - d)^2;

3. ( B+C)^2 + (A+ d)^2.

Задача решена, так как можно утверждать, что такая точка есть. Почему-то на эту задачу я не получил правильного ответа. Наиболее распространенная ошибка – не удачная развертка. Вот что мне написал Дмитрий Федоров:

Делаем стандартную развёртку параллелепипеда в форме креста. В любой из углов центрального прямоугольника сажаем муравья. Втыкаем в этот угол иголку циркуля и проводим окружность через противоположный угол коробки. Все три точки развёртки являющиеся противоположным углом попадут на эту окружность, а вся остальная развёртка будет внутри. Всё это доказывается элементарными теоремами геометрии. Как следствие, противоположный угол - самая дальняя точка. (Может появиться желание поменять форму развёртки, но оно ничему не повредит, если до какой-то точки надо будет добираться через окружность, то это просто значит, что идёте вы не в ту сторону). Хотя, возможно, я тут и ошибся. (Коней цитаты)

Да, Дмитрий. Вы ошиблись. Думаю, ошибку Вы увидите сами.

Два слова о задаче «Паук и муха». Приношу свои извинения, за то, что не сумел отправить Вам рисунок и благодарю за письма. Всем, кто мне сообщил об этом, рисунок я выслал письмом с вложением рисунка и вышлю еще, если мне напишите.

Ответ на задачу о лохе.

Я жаловался Вам о том, что мне надоедают письмами с предложением сбросить на мой счет миллионы у.е. из страховых обществ, за некие секретные контракты, наследства от умирающих и др. Пришло еще несколько писем. И уж совсем случайно, я узнал решение этой задачки. Рассказали мне о нем в криминальной хронике по телевидению. Как и полагали некоторые читатели, дело сводится к тому, что просят деньги для оформления каких-нибудь бумаг. Но жульничество поставлено с размахом: знакомят с консулом или посольством, показывают поддельные документы,  и деньги просят нехилые. У потерпевшего показанного по телевизору взяли 20 тыс. $ и слиняли. Он их случайно встретил и обратился в милицию. Но, как говорится: «Жадность фраера сгубила».

 

       Новая  задача.

Я часто обращаюсь к книге Литлвуда «Математическая смесь», потому что считаю, что он пытался разобраться с той же задачей, которую я сейчас ставлю перед Вами. Например, разобраться с большими числами. Цитирую Литлвуда:

    Древние индийские  рукописи много раз с благоговением обращаются к идее представления колоссальных отрезков времени. (Мне кажется, что следующий пример я взял из книги Бокля История цивилизации в Англии; несомненно, что сам я не мог этого выдумать.)

Имеется камень размером с кубическую милю, в миллион раз тверже алмаза. Один раз в миллион лет святой муж подходит к этому камню и слегка дотрагивается до него. В конце концов, в результате этих легчайших прикосновений камень износится. Вычисления показывают, что это произойдет через 10 в 35 степени лет: жалкий результат, учитывая столь богатую фантазию». Конец цитаты.

Если вы сравните полученный результат с возрастом вселенной – 15-20 миллиардов лет, то результат не так уж и плох. Но Литлвуд - математик, а в математическом «экстазе» этот результат действительно жалок! Сравним хотя бы с аппетитами охотников за простыми числами, (проблема, о которой я Вам еще расскажу) - нужно найти число, содержащее не менее 100 млн. знаков! 10 в миллионной степень! Но для математика – это тоже пустяк.

Задачу-игрушку я Вам сегодня предложу из книги У.Бола и Г. Коксетера «Математические Эссе и развлечения». В цитируемой книге описывается игрушка, напоминающая нашу «горку» из цветных колец различного диаметра (7 дисков), которые одеты на палочку. Диски нужно снять по определенным правилам. Вот что они пишут о происхождении этой задачи:

В свое время де Парвиль привел столь занятное объяснение происхождения этой игрушки, что его стоит здесь повторить. Он рассказывает, что в большом храме города Бенареса под куполом, накрывающем «центр вселенной», лежит медная плита, в которую вделаны три алмазные иглы длиной в локоть и толщиной с осиную талию. На одну из этих игл бог при сотворении мира надел шестьдесят четыре диска из чистого золота – самый большой из них лежит в самом низу на медной плите, и каждый диск, лежащий выше, меньше предыдущего. Это «Башня Брамы». День и ночь священнослужители неустанно переносят диски с одной иглы на другую, руководствуясь навеки установленными  и непреложными законами Брамы, по которым священнослужитель не должен за раз двигать более одного диска, и всегда должен так переносить этот диск на иглу, чтобы под ним не оказалось диска меньше его. Когда же, наконец, все 64 диска будут таким образом перенесены с той иглы, на которую бог поместил их при сотворении мира, на одну из двух других, то и башня, и храм, и сами брамины обратятся в прах – грянет гром, и мир исчезнет. (Конец цитаты).

Задача  Башни Брамы

Определите сколько времени (в минутах) затратят брамины на перенос всех дисков, если один диск они переносят за минуту.

Чтобы решить задачу, Вам необходимо найти алгоритм, по которому происходит перенос колец (дисков). Я, например, решал эту задачу с монетами различного диаметра,  и добавил жетон для метро.

И так, Вам дана «горка», скажем, из 5 дисков – пяти монет уменьшающегося диаметра. Необходимо переместить эту горку, перекладывая диски по законам Брамы. Когда диск один, он переносится за один ход. Когда их два – то за три. Когда дисков три, то Вы уже должны считать сами.

Задача в целом не очень сложная. Больше того, есть еще более популярная задача, и Вы ее наверняка знаете и вспомните. Я об этом Вам пишу, потому что хочу показать Вам один небольшой фокус, о котором Вам должны были рассказать еще в школе.

 

 

Читайте, думайте, пишите, ТОМИ

mailto:tomi_magic@mail.ru

Логические задачи на сообразительность

Электронная рассылка

http://subscribe.ru/
http://subscribe.ru/feedback/		 Подписан адрес:
Код этой рассылки: rest.interesting.logicpuzzles		 Отписаться
В избранное