Математический кружок

Здравствуйте, друзья.

Занятие 2. Круги Эйлера

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Картинки подобные тем, что мы рисовали при решении этой задачи, называются кругами Эйлера по имени известного математика Леонарда Эйлера.

Задачи

10. В классе 40 учеников. Из них 18 занимаются каратэ, а 20 увлекаются волейболом. Среди каратистов - шесть волейболистов. Сколько учеников класса не занимаются ни каратэ, ни волейболом?

11. Про учеников школы, которые участвовали в физико-математическом конкурсе, известно, что 7 из них справились с задачами и по математике и по физике, 11 из них справились с задачами по математике, 9 из них справились с задачами по физике. Сколько учеников принимали участие в конкурсе?

12. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 - морковь, 5 - горох, 4 - капусту и морковь, 3 - капусту и горох, 2 - морковь и горох, один - и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

13. На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь одного из них - 10 м², другого - 8 м², третьего - 6 м². Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м². Найдите площадь участка пола: а) покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром; б) покрытого только одним первым ковром; в) не покрытого коврами.

14. На первом туре олимпиады школьников были предложены 4 задачи, и на второй тур допускали только тех, кто решил все. На первый тур пришло 200 школьников.Первую задачу решили 180 человек, вторую - 170, третью - 160 и четвертую - 150. Поместятся ли школьники, допущенные на второй тур в классе, вмещающем 50 человек? Обоснуйте один из трех ответов: а) в любом случае поместятся. б) в любом случае не поместятся. в) могут поместиться, а могут и нет.

15. На спортивные соревнования в Летней математической школе ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу - 26, пионерболу - 32, футболу - 31, шахматам - 28 и теннису - 36 человек. 53 школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника участвовали 3 или более раз, 9 школьников - не менее 4 раз и 3 школьника - даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях). Сколько школьников были зрителями?

Разнобой

16. Дано 6 гирь: две зеленых, две красных, две синих. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая легкая, причём все тяжелые гири весят одинаково и все легкие тоже. Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах найти все тяжелые гири?

17. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных в кольцо. Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?

18. Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.