Вопрос № 54208: Товарищи, доброго времени суток всем! Пожалуйста помогите решить сложные (олимпиадные ) задачи по геометрии но! не обычными методами а методом координат. Вся группа ен может вьехать как делать. Спасибо огромное.
Две окружности радиуса корень...
Вопрос № 54.208
Товарищи, доброго времени суток всем! Пожалуйста помогите решить сложные (олимпиадные ) задачи по геометрии но! не обычными методами а методом координат. Вся группа ен может вьехать как делать. Спасибо огромное.
Две окружности радиуса корень(2) и 1 пересекаются в точке А. Расстояние между центрами окружностей равно 2. Хорда АС большей окружности пересекает меньшую в точке В и делится этой точкой пополам. Найти длину АС.
Из точек А и В в одну сторону от прямой АВ проведены отрезки АА1=а и ВВ1=в, перпендикулярные к этой прямой. Доказать что при постоянных а и в точки пересечения АВ1 и А1В будут находиться на одном расстоянии от АВ независимо от положения А и В.
Высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке D. Точки X и Y –середины AB И CD соответственно. Доказать что прямые XY и А1В1 перпендикулярны
Отправлен: 04.09.2006, 00:29
Вопрос задал: Olegovich (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)
Отвечает: Сухомлин Кирилл Владимирович
Здравствуйте, Olegovich!
1) Начало координат поместим в центр большей окружности, а оси направим так, чтобы координаты центра второй окружности, были бы (2; 0)
A:
{ x_A^2 + y_A^2 = 2
{ (x_A-2)^2 + y_A^2 = 1
x_A = 5/4; y_A = +/- √[17]/4. Будем пока считать, что (y > 0). Очевидно, что задача симметрична (чтоит лишь нарисовать рисунок), так что для получения второго решения для (y<0) достаточно просто поменять знак у всех y-коордиинат.
Далее, из условия:
(1){(x_B-2)^2+y_B^2=1
(2){x_C^2+y_C^2=2
(3){x_C+x_A=2∙x_B
(4){y_C+y_A=2∙y_B
Ну, такую систему решать напряжно, поэтому надо из сделать из этого пару линейных уравнений. Выражаем x_C, y_C с помощью (3) и (4) и подставляем это в (2). Раскрываем, вычитаем учетверенное (1)... и получаем что-то типа (4 - x_A)∙x_B + (-y_A)∙y_B = 3. Кстати, это можно было бы получить и проще.
скалярное произведение (x_B; y_B)∙(x_B-x_A; y_B-y_A) равно нулю (хорда и радиус, проведенный к еец ентр, перпендикулярны). Расписываем, учитываем (1), получем то же линейное уравнение.
Аналогично получаем еще одно линейное уравнение: выражаем x_B, y_B через (3) и (4), подставляем в (1), вычитаем (2).
Как аналогично получить более простым способом - вам домашнее задание ;-)
4 линейных уравнения с 4-мя переменными сами решите. Только не рекомендую подставлять значения x_A, y_A до того, как выпишете ответ. Ну в крайнем, случае, x_A можно подставить. Иначе запутаетесь в этих корнях и дробях.
2) Гм... задача, вроде простая.
Начало координат в точку A, точка B лежит на оси Ox. Не уменьшая общности можно сказать, что пусть отрезки проводятся вверх. Обозначим длину AB буквой c. Тогда уравнения прямых:
A1B: y = a - (a/c)∙x
AB1: y = (b/c)∙x
Пересечение:
x = (ac)/(a+b)
y = ab/(a+b), от c не зависит. ч.т.д.
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
