Все выпуски  

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 1265
∙ повысить рейтинг »
CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 370
∙ повысить рейтинг »
Асмик Гаряка
Статус: Советник
Рейтинг: 82
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2657
Дата выхода:02.04.2020, 05:45
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:122 / 112
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 198018: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=2x^2y-x^3y-x^2y^2 в области D: x+y-6=0, y=0,x=0....

Консультация # 198018:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=2x^2y-x^3y-x^2y^2 в области D: x+y-6=0, y=0,x=0.

Дата отправки: 23.03.2020, 05:21
Вопрос задал: mega.chepyrnukh0699@list.ru (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »


Консультирует Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор):

Здравствуйте, mega.chepyrnukh0699@list.ru!

В общем случае необходимое и достаточное условие существования экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных z(x, y) в некоторой точке имеет вид:

При этом, если производные

положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
Для функции z=2x2y-x3y-x2y2 имеем




Из условия равенства нулю первых производных

или

определяем множество так называемых стационарных точек (в которых может быть максимум или минимум функции). Оно состоит из прямой x = 0 (ось Ox), точек (2, 0) и (1, 1/2). Значение выражения

для этих точек будет равно соответственно 0, -16 и 2, то есть (2, 0) - точка локального экстремума (максимума, с учётом отрицательности вторых производных в этой точке), (1, 1/2) не является точкой экстремума, для множества же точек прямой x = 0 нельзя однозначно сказать, есть ли среди них точки экстремума. С учётом того, что прямая x = 0 и точка (2, 0) являются частью границы области D, можно сделать вывод, что внутри этой области нет потенциальных точек экстремума.
Осталось проанализировать границы области D, то есть прямую x = 0 при 0≤y≤6 и прямые y = 0, y = 6 - x при 0≤x≤6. В первых двух случаях функция z = 2x2y-x3y-x2y2 = x2y(2-x-y) тождественно равна 0, то есть не имеет точек экстремума, а для y = 6 - x она принимает вид z = -4x2(6-x) = 4x3 - 24x2. Исследовав эту функцию одной переменной на экстремум, получаем z' = 12x2 - 48x, z'' = 24x - 48, откуда из z' = 0 определяем стационарные точки x = 0 и x = 4, для которых z'' равна соответственно -48 и 48, то есть x = 0 - точка локального максимума (z = 0), а x = 4 - точка локального минимума (z = -96).
Итак, в заданной области D функция z=2x2y-x3y-x2y2 принимает максимальное значение z = 0 на границе при x = 0 или y = 0, а минимальное значение z = -96 - в точке (4, 2).

Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Дата отправки: 02.04.2020, 05:10
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!


Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!


В избранное