Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июнь 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 321
∙ повысить рейтинг » 		epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 111
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 53
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3070
Дата выхода:03.06.2022, 13:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:24 / 137
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 202937: Здравствуйте! Прошу помощи в следующей задаче: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка К - середина ребра AD, точка М - середина ребра AB, а точка N - середина ребра BC. Точки P, Q и R лежат на отрезках SK, SМ и SN соответственно, причем SP:PK=2:1, SQ:QM=4:7, а R - середина отрезка SN. В каком отношении плоскость PQR делит ребра пирамиды,...

Консультация # 202937:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующей задаче: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка К - середина ребра AD, точка М - середина ребра AB, а точка N - середина ребра BC. Точки P, Q и R лежат на отрезках SK, SМ и SN соответственно, причем SP:PK=2:1, SQ:QM=4:7, а R - середина отрезка SN. В каком отношении плоскость PQR делит ребра пирамиды, которые она пересекает?

Дата отправки: 29.05.2022, 12:46
Вопрос задал: skydreamagain (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, skydreamagain !
Условие: В правильной 4х-угольной пирамиде SABCD основание ABCD - квадрат. Точки К, M, N - середины рёбер AD, AB и BC соответственно. Точки P, Q, R делят апофемы SK, SМ и SN в соотношениях Spk = 2 , Sqm = 4/7 , SrN = 1 .
Вычислить отношения, на которые плоскость PQR делит рёбра пирамиды.

Решение: Столь трудоёмкую задачу с множеством прямых и плоскостей в 3х-мерном пространстве лучше решать методом Аналитической геометрии. Расположим пирамиду в 3х-мерную систему координат в таком виде, как Вы уже начали решать и показали на рисунке в ниже-минифоруме. Пусть центр квадрат-основания совпадает с началом координат. Для построения рисунка надо задать какие-то размеры. Пусть сторона квадрата = 8 ед, а высота пирамиды - 10 ед. Эти величины НЕ влияют на искомые отношения (это можно будет проверить в конце Решения).

Тогда координаты вершин пирамиды будут A(-4 ; 4 ; 0) , B(4 ; 4 ; 0) , C(4 ; -4 ; 0) , D(-4 ; -4 ; 0) , S(0 ; 0 ; 10).
Серединные точки К, M, N имеют соответственно серединные координаты: K(-4 ; 0 ; 0) , M(0 ; 4 ; 0) , N(4 ; 0 ; 0) .

Для вычисления координат точек P, Q, R читаем учебную статью "Формулы деления отрезка в заданном отношении" Ссылка1 и используем формулу
M = (A + λ·B) / (1 + λ) , где M - точка, делящая отрезок AB в отношении λ = AM / MB .

PQ = Q - P и PR = R - P - направляющие векторы отрезков PQ и PR (см "Уравнение прямой в пространстве" Ссылка2 ).
Векторное произведение этих векторов даёт нам Вектор нормали n→ плоскости PQR . Читаем статью "Уравнение плоскости. Как составить уравнени плоскости?" Ссылка3 и составляем уравнение плоскости β = PQR .

Ищем координаты точек пересечения плоскости β с рёбрами пирамиды. Сначала составляем Параметрические уравнения прямых-рёбер (см ссылку2). Затем в уравнении плоскости β заменяем текущие координаты x, y, z на параметрические компоненты рёбер. Решаем полученные уравнения и получаем координаты точек пересечения. Подробно см статью "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи" Ссылка4 .

Вы можете вычислять и решать уравнения любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка5) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями и эскизом прилагаю . Я добавил в скри н подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: плоскость PQR делит только 3 рёбра пирамиды: AD, AS и BS. При этом отношения поделенных отрезков равны :
AW / WD = 3 / 1 ; AL / LS = 3 / 2 ; BE / ES = 2 / 1 . Эти отношения НЕ зависят от размеров пирамиды, проверка сделана.

МаткадКонструкция типа ta := Уравнение solve,t означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной t, и затем присвоить полученный результат в переменную ta .
Оператор stack(A, B, C) объединяет числовые данные в вектор-столбец.
Символ := означает оператор присваивания. Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ → - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Я старался объяснить все действия подробно. Если Вам что-то непонятно, задавайте вопросы в ниже-минифо руме. =Удачи!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 01.06.2022, 12:59

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 30.05.2022, 11:24 Спасибо!
-----
Дата оценки: 30.05.2022, 11:38
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное