senior lecturer, BMSTU

Ph.D (Econ), associate professor, BMSTU

Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci., professor,

head of Laboratory of economic-mathematical methods in controlling, BMSTU

Эконометрика - это статистические методы в экономике и управлении. В наших учебниках мы исходим из этого определения [1, 6, 7]. Оно принято отечественной научной школой в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики [11], а также соответствует более развернутому определению:

"Эконометрика - наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей. Определение предмета эконометрики было выработано в уставе Эконометрического общества (основано в 1930 г.)" [16].

По данным РИНЦ, в нашей стране выпущено около 400 учебников и учебных пособий по эконометрике. В тройку наиболее цитируемых, наряду с нашими, входят учебники, подготовленные под руководством член-корр. РАН И.И. Елисеевой (см., например, [16]) и многочисленные издания книги Я.Р. Магнуса, П.К. Катышева и А.А. Пересецкого (см., например, [4]). Отметим, что в [16, с.15] описываются наши научные результаты, однако без упоминания фамилии и ссылок на источники.

Анализ содержания распространенных учебников показывает, что из многообразия статистических методов в экономике и управлении в них рассматриваются лишь небольшая часть - в основном линейные регрессионные модели (метод наименьших квадратов, проверка гипотез, гетероскедастичность, автокорреляция ошибок, спецификация модели). Все остальные статистические методы в экономике и управлении игнорируются. По нашему мнению, подобное сужение сферы эконометрики связано как со слепым копированием устаревших западных учебников, так и с недостаточным знакомством авторов с практикой применения эконометрики при решении задач экономики и управления. Отметим однако, что системы эконометрических уравнений активно использовались во второй трети ХХ в. в макроэкономике.

Констатируем, что большинство распространенных учебников соответствует устаревшей парадигме эконометрики, выработанной в ХХ в., в то время как отечественная научная школа в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики развивается в соответствии с новой парадигмой XXI в. [11]. Важно, что мы нацелены на использование эконометрики специалистами по экономике предприятия и организации производства, т.е. на микроэкономическом уровне, а не при изучении макроэкономических соотношений.

Эконометрика - базовая научная, практическая и учебная дисциплина. Методы эконометрики составляют значительную часть инструментов контроллинга [5, 14, 15]. При ее преподавании весьма важно преодолеть оковы устаревших взглядов ХХ в., излагая современную эконометрику. Полезным окажется опыт двадцатилетней реализации на факультете ИБМ МГТУ им. Н.Э. Баумана авторской программы по эконометрике, которой и посвящена настоящая статья. Для определенности рассмотрим содержание курса "Эконометрика" (2021 г., два семестра, 34 часа лекций и 34 часа семинарских занятий). Изложение опирается на ранее изученные дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика", "Прикладная статистика" и в свою очередь служит основой дисциплины "Организационно-экономическое моделирование" (для магистрантов). В авторском курсе представлены начальные сведения по основным разделам современной эконометрики.

Настоящая статья посвящена основным составляющим современной эконометрики и их отражению в одноименной дисциплине, преподаваемой сотрудниками кафедры "Экономика и организация производства" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

В первом семестре после определения эконометрики обосновываем необходимость выборочных исследований. В качестве примера - построение выборочной функции ожидаемого спроса и расчет оптимальной розничной цены при заданной оптовой цене (издержках) [12].

Вводим гипергеометрическую и биномиальную модели выборки значений альтернативных (дихотомических, бинарных) признаков, демонстрируем близость соответствующих им распределений в случае большого объема генеральной совокупности по сравнению с выборочной.

На основе теоремы Муавра-Лапласа теории вероятностей находим при безграничном росте объема выборки асимптотически нормальное распределение выборочной доли (в случае ответов типа "да" - "нет"). На его основе строим асимптотические доверительные границы для вероятности определенного ответа, т.е. разрабатываем метод интервального оценивания вероятности по выборочной доле и объему выборки.

Проверять однородность двух биномиальных выборок приходится, например, при сегментировании потребительского рынка. Для решения этой задачи разработан метод проверки гипотезы о равенстве вероятностей, основанный на аналоге теоремы Муавра-Лапласа для двух выборок (любопытно, что этой теоремы нет в стандартных курсах теории вероятностей).

Восстанавливать зависимость можно разными методами - графическим, наименьших модулей, минимаксным, наименьших квадратов. Из них наиболее используемым при решении задач экономики и управления является метод наименьших квадратов (сотни тысяч публикаций).

Начинаем с рассмотрения метода наименьших квадратов (МНК) для линейной прогностической функции (одна независимая и одна зависимая переменная). Минимизируя сумму квадратов отклонений, получаем точечные оценки параметров. Вводим восстановленные значения. Критерий правильности расчетов основан на равенстве сумм исходных значений зависимой переменной и восстановленных значений.

Поскольку распределения социально-экономических данных, как правило, не являются нормальными [6, разд.4.1], принимаем непараметрическую вероятностно-статистическую модель порождения данных. Выводим формулы для оценок параметров. С помощью остаточной суммы квадратов оцениваем дисперсию погрешностей (остатков) в линейной прогностической модели. На основе точечного прогноза строим интервальный прогноз, указываем доверительные интервалы для зависимости (тренда) и индивидуальных значений. Отметим, что Центральная предельная теорема теории вероятностей - основа построения интервального прогноза.

Кратко рассматриваем обобщения базовой модели: МНК для сгруппированных данных, МНК для модели, линейной по параметрам. Обсуждаем оценивание коэффициентов многочлена и преобразования переменных с целью перехода к линейной модели. В случае нескольких независимых переменных (регрессоров) даем, в частности, подход к оцениванию параметров функции Кобба-Дугласа и аналогичных ей.

Под инфляцией понимаем рост цен. Начинаем с краткой истории инфляции в СССР и России. Обсуждаем разброс цен (в зависимости от места совершения акта купли - продажи) и возможную точность определения "рыночной цены". Для измерения инфляции нужны инструменты экономиста и управленца - потребительские корзины. Даем определение индекса инфляции как отношение стоимостей потребительской корзины в два момента времени.

Изучаем свойства индекса инфляции. Начинаем с теоремы умножения, позволяющей рассчитывать индекс инфляции за два периода (один из них продолжает второй) как произведение индексов инфляции за периоды. Выясняем связь индекса инфляции "в разах" и индекса инфляции в процентах. Вводим средний индекс (темп) инфляции как среднее геометрическое индексов инфляции по отдельным периодам. Обсуждаем распространенные ошибки, связанные с индексом инфляции. Доказываем теорему сложения для индекса инфляции, позволяющую по групповым индексам инфляции рассчитывать индекс инфляции по объединенной корзине (вплоть до получения дефлятора ВВП).

Обсуждаем различные применения индексов инфляции, основанные на приведении экономических величин к сопоставимым ценам. Рассчитываем реальные проценты по вкладам в банки и кредитам в условиях инфляции. Рассматриваем метод Оршански для оценки прожиточного минимума на основе опыта проведения нами бюджетных обследований. Изучаем курс доллара в РФ в сопоставимых ценах. Проводим международные сопоставления на основе паритета покупательной способности.

Обсуждаем эконометрические методы сбора и анализа субъективной информации, полученной от экспертов. Приводим примеры процедур экспертного оценивания. Выделяем основные стадии проведения экспертного исследования с целью организовать работу управленцев, применяющих экспертные оценки.

Даем предварительную классификацию экспертиз. Описываем многообразные варианты организации экспертного исследования, различающиеся по цели (сбор информации или подготовка проекта решения для ЛПР - лица, принимающего решение), числу туров, порядку вовлечения экспертов, способу учета мнений (с весами или без весов), организации общения экспертов (анонимное, заочное, дистанционное, очное в соответствии с регламентом, дискуссия без ограничений). Рассматриваем положительные и отрицательные стороны рассматриваемых вариантов организации экспертного исследования.

Пример экспертного исследования - анализ экспертных упорядочений. Демонстрируем три метода нахождения итогового мнения комиссии экспертов: методы средних арифметических и медиан рангов, построение согласующей ранжировки [8].

Вводим основные понятия общенаучной теории измерений. Обсуждаем определения, примеры, группы допустимых преобразований для шкал наименований, порядковой, интервалов, отношений, разностей, абсолютной.

Базовым является требование устойчивости статистических выводов относительно допустимых преобразований шкал. Демонстрируем недопустимость использования среднего арифметического для усреднения данных, измеренных в порядковой шкале.

Перечисляем различные виды средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратическое, среднее гармоническое, их обобщение - средние степенные, а также структурные средние (медиана и другие члены вариационного ряда). Обсуждаем свойства средних величин. На примере расчета средней заработной платы работников условного предприятия демонстрируем целесообразность использования, кроме среднего арифметического, медианы и моды зарплат. Обсуждаем логарифмически нормальное приближение к распределению различных видов доходов, в соответствии с которым среднее арифметическое всегда больше медианы, а та, в свою очередь, всегда больше моды.

Вводим самый общий вид средних - средние по Коши. Даем описание средних по Коши, результат сравнения которых устойчив в порядковой шкале. Это - только члены вариационного ряда, из которых выделяется медиана (при нечетном объеме выборки), левая и правая медианы (при четном объеме выборки).

Вводим средние по Колмогорову (их частный случай - средние степенные). Даем характеризацию средних по Колмогорову, результат сравнения которых устойчив в шкалах интервалов (это только среднее арифметическое) и отношений (средние степенные и среднее геометрическое) [10].

Обсуждаем требование устойчивости выводов при применении статистических методов. Так, коэффициент линейной парной корреляции Пирсона предназначен для анализа данных, измеренных в шкале интервалов, а непараметрический коэффициент ранговой корреляции Спирмена - для анализа данных, измеренных в порядковых шкалах.

Под риском понимаем нежелательную возможность. Обсуждаем многообразие рисков (личные риски, производственные риски, коммерческие риски, финансовые риски, глобальные риски).

Вводим характеристики рисков (вероятность рискового события, математическое ожидание, медиана, квантили, показатели разброса ущерба). Обсуждаем подходы к учету неопределенности и описанию рисков - вероятностно-статистический, с помощью нечетких множеств, на основе интервальной математики. Согласно этим подходам оценка рисков может проводиться с помощью вероятностно-статистических, нечетких, интервальных моделей и методов. Обсуждаем постановки многокритериальных задач управления рисков, связанных с минимизацией математического ожидания и дисперсии случайного ущерба. Сведение двухкритериальных задач оптимизации к однокритериальным позволяет корректно решать задачи управления рисками..

Строим иерархические системы рисков (частные риски - групповые риски - итоговый риск), в частности, групповые риски "Человек - Машина - Среда" в авиационной отрасли. Для оценки вероятности рискового события применяем аддитивно-мультипликативную модель (АММ) оценки риска. Рассматриваем общую формулировку и частные случаи, использование АММ для управления риском.

В качестве примера нечисловых данных рассматриваем бинарные отношения на конечном множестве - подмножества множества пар элементов этого множества. Используем их описание матрицами из 0 и 1. Обсуждаем базовые свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Выделяем наиболее важные виды бинарных отношений (толерантности, разбиения (отношения эквивалентности), кластеризованные ранжировки. Вводим расстояние Кемени между бинарными отношениями и медиану Кемени, позволяющую найти среднее бинарное отношение для совокупности наблюдаемых бинарных отношений, полученных, например, при опросе экспертов.

Развиваем оптимизационный подход к определению средних величин в пространствах произвольной природы. Используя расстояния (показатели различия) в таких пространствах, вводим понятие эмпирического среднего. Для случайной величины со значениями в пространстве произвольной природы определяем теоретическое среднее. Рассматриваем примеры эмпирических и теоретических средних. Обсуждаем использование правила большинства при построении эмпирических средних в пространстве всех бинарных отношений и в пространстве подмножеств конечного множества.

Для выборки объектов нечисловой природы, состоявшей из независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в рассматриваемом пространстве, формулируем законы больших чисел в пространствах произвольной природы. Доказываем эти законы в частных случаях. Обсуждаем принципиальное значение законов больших чисел при анализе экспертных оценок, в частности, асимптотическое поведение эмпирических средних в случае монотонного распределения элементов выборки.

При преподавании эконометрики полезно провести непосредственный анализ данных официальной экономической статистики. Обсуждаем динамику выпуска отдельных видов продукции (в натуральных единицах) и макроэкономических показателей РФ.

Роль государства в экономике оцениваем по доле расходной части бюджета в валовом внутреннем продукте. На основе данных Всемирного банка демонстрируем монотонное возрастание в течение ХХ в. роли государства в экономике в 11 экономически развитых странах в сравнении с ситуацией в России.

Даем представление об эконометрическом анализе демографических процессов. Обсуждаем демографические прогнозы в экономике и их значение для экономики и управления.

Для контроля знаний предусмотрено 6 самостоятельно выполняемых контрольных работ:

1. Интервальное оценивание вероятностей (с доверительной вероятностью 0,95) и проверка гипотезы о равенстве вероятностей (на уровне значимости 0,05).

2. Метод наименьших квадратов.

3. Индекс инфляции.

4. Анализ экспертных упорядочений.

5. Аддитивно-мультипликативная модель оценки рисков.

6. Вычисление медианы Кемени.

Домашнее задание 1. Соберите информацию о максимально возможной цене (в руб.), которую потребители готовы заплатить за определенный товар или услугу (выбор товара или услуги осуществляется обучающимся самостоятельно или из списка, предлагаемого преподавателем). Опросите не менее 50 человек (не считая отказавшихся от ответа). Постройте выборочную функцию спроса. Найдите розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены.

Домашнее задание 2. Методом наименьших квадратов восстановите (теоретическую) функцию спроса, используя линейную аппроксимацию. Рассчитайте доверительные границы для функции спроса. Постройте на одном графике восстановленную и выборочную функции спроса. На основе восстановленных зависимостей найдите розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены, и сопоставьте с результатами оптимизации на основе таблицы выборочной функции спроса (домашнее задание 1). Проделайте аналогичные расчеты, используя степенную аппроксимацию. Ответ на вопрос: "Какая из двух аппроксимаций позволяет более точно приблизить функцию спроса?" - дается на основе сравнения остаточных сумм квадратов.

Второй семестр начинаем с эконометрических методов управления качеством. Обсуждаем статистический приемочный контроль - выборочный контроль, основанный на теории вероятностей и математической статистике, его необходимость и эффективность. Вводим планы контроля по альтернативному признаку. Внимание уделяем, прежде всего, планам одноступенчатого контроля. Анализ плана контроля основан на оперативной характеристике - вероятности приемки партии в зависимости от входного уровня дефектности. Риски поставщика и потребителя и соответствующие им приемочный и браковочный уровни дефектности задают две выделенные точки на кривой оперативной характеристики. Расчеты для плана (n,0) упрощаются при применении разложения в ряд.

Рассматриваем методы синтеза планов. Контроль с разбраковкой - процедура контроля, согласно которой забракованная партия проходит сплошной контроль. Находим средний выходной уровень дефектности (СВУД) как функцию входного уровня дефектности. Максимум СВУД достигается и называется его пределом (ПСВУД). Проводим расчет ПСВУД для плана (n,0) путем решения задачи оптимизации. Выбор плана контроля на основе ПСВУД осуществляется на основе простой формулы, вытекающей из применения второго замечательного предела математического анализа.

Синтез одноступенчатого плана контроля по заданным приемочным и браковочным уровням дефектности проводим на основе асимптотических соотношений, вытекающих из теоремы Муавра-Лапласа.

На основе письма главного инженера химического комбината формулируем проблему обнаружения эффекта (проверки однородности) в связанных выборках. Рассматриваем три варианта обнаружения эффекта путем проверки соответствующих статистических гипотез. Проверку гипотезы о том, что медиана разностей результатов измерений для двух приборов равна 0, проводим с помощью критерия знаков. Асимптотический метод проверки гипотезы строим на основе теоремы Муавра-Лапласа.

Проверку равенства 0 математического ожидания разностей результатов измерений для двух приборов проводим с помощью непараметрического критерия на основе отношения выборочного среднего к выборочному среднему квадратическому отклонению. Его асимптотическое распределение находим с помощью Центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Гипотеза абсолютной однородности (отсутствия эффекта) эквивалентна гипотезе симметрии распределения относительно 0. Для её проверки применяем критерий типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения. Правило принятия решения строится на основе асимптотического распределения статистики типа омега-квадрат. Предлагаем табличный алгоритм для расчета значения рассматриваемой статистики.

Обсуждаем невозможность устранения погрешностей измерений и вычислений, сходство и различие математических, реальных и компьютерных чисел.

Парадокс Зенона "Куча" демонстрирует, что невозможность описания расплывчатых величин с помощью однозначно заданных чисел была выявлена еще в Древней Греции. Французский математики Эмиль Борель предложил использовать для описания размытых величин функцию принадлежности (1956). В 1965 г. Л.А. Заде ввел операции над функциями принадлежности и тем самым заложил основы теории нечетких множеств (fuzzy sets - переводят как нечеткие, размытые, расплывчатые, туманные, пушистые множества).

Рассматриваем описание неопределенностей с помощью теории нечетких множеств. Доказываем формулы алгебры нечетких множеств, выявляем сходство и различие с обычной алгеброй множеств. Доказываем законы де Моргана в алгебре нечетких множеств. Рассматриваем треугольные нечеткие числа. Обсуждаем "удвоение математики" путем замены обычных множеств и чисел на нечеткие.

Вводим понятие случайного множества как случайной величины в пространстве подмножеств (конечного) множества. Вводим распределения случайных множеств и вероятности накрытия. Подробно рассматриваем случай подмножеств конечного множества из трех элементов.

Описываем сведение теории нечетких множеств к теории случайных множеств. Для нечеткого множества с носителем из трех элементов строим случайное множество, для которого вероятности накрытия совпадают со значениями функции принадлежности исходного нечеткого множества.

Погрешности измерения описываем как интервальные данные. Вводим операции над интервальными числами.

Изучаем основную модель статистики интервальных данных. Вводим базовое понятие нотны - максимально возможного отклонения значения функции, вызванного интервальностью статистических данных. Выводим правила расчета асимптотической нотны (для малой абсолютной погрешности и малой относительной погрешности).

Формулируем основные результаты статистики интервальных данных, в том числе базовое понятие рационального объема выборки.

Рассчитываем асимптотическую нотну, рациональный объем выборки и доверительные интервалы при оценивании математического ожидания с помощью среднего арифметического и при оценивании дисперсии с помощью выборочной дисперсии.

Для управления инвестиционными проектами необходимо сравнение потоков платежей. Для этого используется чистая текущая стоимость NPV как характеристика финансового потока. Необходимо изучать устойчивость (чувствительность) выводов по отношению к отклонениям коэффициентов дисконтирования и величин платежей. Обсуждаем влияние интервальности дисконт-факторов на величину NPV. Разрабатываем и применяем алгоритм расчета погрешности NPV.

Рассматриваем основные математические методы классификации. Исходим из триады: построение классификаций (кластер-анализ, распознавание образов без учителя и другие синонимы) - анализ классификаций (в рамках статистики нечисловых данных) - использование классификаций (дискриминантный анализ, диагностика, распознавание образов с учителем).

Лемма Неймана-Пирсона дает оптимальный способ диагностики в случае двух классов, основанный на отношении плотностей распределения вероятностей, соответствующих этим классам. Описываем непараметрический дискриминантный анализ на основе непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы. В качестве инструментов диагностики предлагаем различные варианты непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы, прежде всего ядерные оценки.

Рассматриваем линейный дискриминантный анализ, в котором диагностика на два класса проводится с помощью "индексов" - линейных функций от координат. Обсуждаем характеристики качества алгоритмов диагностики. Демонстрируем невозможность использования такой характеристики, как "вероятность правильной классификации". Рекомендуем применять в качестве такой характеристики "прогностическую силу". Указываем асимптотическое распределение и доверительные интервалы для прогностической силы. Даем способ статистической проверки возможности использования прогностической силы на основе проверки гипотезы о совпадении ее значений для двух критических порогов алгоритма диагностики.

Обсуждаем, чем схожи и чем различаются задачи группировки и кластер-анализа. Вводим агломеративные иерархические алгоритмы ближнего соседа, дальнего соседа и средней связи. Построение дендрограмм для таких алгоритмов. На примере метода k-средних обсуждается проблема остановки алгоритма.

При обсуждении элементов теории и применений рейтингов рассматриваем рейтинги, интегральные показатели, обобщенные показатели (используем эти термины как синонимы).

Бинарные рейтинги сводятся к задаче диагностики на два класса, для оценки различающей возможности рейтингов используем прогностическую силу.

Рассматриваем построение интегрального показателя в задачах принятия решений. На примере деловой игры "Таня Смирнова выбирает место работы" обсуждаем экспертные методы построения системы факторов (в том числе иерархической - единичные, групповые и обобщенный показатели), системы весов факторов, оценки объектов экспертизы по факторам.

В конце курса естественно обсудить эконометрику в целом, в то время как ранее рассматривались лишь отдельные вопросы этой науки.

Кратко рассказываем об истории эконометрики (от переписи военнообязанных во времена Моисея до настоящего времени).

Обсуждаем структуру статистической науки (математическая статистика - прикладная статистика - статистические методы в предметных областях). Эконометрика - это статистические методы в конкретной предметной области - в экономике и управлении. Выделяем специфические черты эконометрики по сравнению с другими предметными областями (неотрицательность рассматриваемых величин, которая дает еще один довод в пользу использования непараметрических методов; большое значение методов сбора и анализа субъективных экспертных методов и др.).

Выделяем четыре этапа развития теории статистики (описательная, параметрическая, непараметрическая, нечисловая), указываем характерные для того или иного этапа методы анализа данных и временные промежутки. По видам данных статистика делится на четыре области (статистика чисел, многомерный статистический анализ, временные ряды, статистика нечисловых данных). В статистике выделяют три основные задачи (описание данных, оценивание, проверка гипотез). В настоящее время наблюдаем пять точек роста статистической науки: непараметрика, информационные технологии (бутстреп), устойчивость, статистика интервальных данных, нечисловая статистика.

Отечественная научная школа в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики [11] основана на новой парадигме математических методов исследования [9], другими словами, на современной парадигме эконометрики XXI в., в отличие от учебников [4, 16], подготовленных в духе старой парадигмы середины ХХ в.

Для контроля знаний предусмотрено 6 самостоятельно выполняемых контрольных работ:

1. Статистический приемочный контроль - анализ и синтез планов.

2. Проверка однородности для связанных выборок.

3. Нечеткость и интервальность.

4. Расчет погрешности чистой текущей стоимости NPV.

5. Кластер-анализ с помощью агломеративного иерархического алгоритма ближнего соседа.

6. Построение интегрального показателя.

Домашние задания проводится по теме "Индекс инфляции и метод наименьших квадратов".

Домашнее задание 1 состоит в сборе данных о ценах на продуктовые товары, входящие в потребительскую корзину Института высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана [1]. Для этого необходимо выбрать и зафиксировать места сбора информации о ценах, конкретные объекты наблюдения (марки тех конкретных товаров, мониторинг цен на которые проводится). Затем проводится сбор данных по ценам за пять моментов времени, попадающие в заданные интервалы (примерно 1 раз в 2 недели).

Домашнее задание 2 посвящено анализу собранных данных. Вначале необходимо провести расчет пяти наборов индексов инфляции по 10 товарным группам, выделенным в используемой потребительской корзине. Затем следует рассчитать пять общих индексов инфляции (по всей корзине) двумя способами: на основе теоремы сложения и как отношение стоимостей потребительской корзины, сравнить полученные результаты.

После получения набора индексов инфляции необходимо по первым четырем индексам инфляции спрогнозировать значение пятого индекса методом наименьших квадратов. Скажем подробнее. По первым четырем наборам индексов инфляции по 10 товарным группам и четырем общим индексам инфляции методом наименьших квадратов необходимо рассчитать точечные и интервальные прогнозы (т.е. доверительные границы) для зависимости индекса инфляции от времени (т.е. для тренда) и для индивидуальных значений на пятый момент времени, предварительно выбрав модель динамики цен (обычно используют линейную модель тренда).

Рассчитав индексы инфляции по товарным группам и общие для различных начальных моментов времени, можно проверить выполнение теоремы умножения.

Подводя итоги, следует сравнить прогнозы с реальными индексами инфляции (по товарным группам и общим), сделать выводы о динамике индексов инфляции и о возможности их прогнозирования.

Как показано выше, основные составляющие современной эконометрики представлены в разработанном нами учебном курсе. Целесообразно именно его преподавать во многих университетах и вузах другого профиля, оставив в прошлом устаревшие учебники [4, 16] и им аналогичные. В таких учебниках из всех базовых тем современной эконометрики рассматривается лишь одна - метод наименьших квадратов (конечно, гораздо подробнее, чем в нашем курсе и чем необходимо специалистам в области экономики и управления).

Как показано в [13], современная эконометрика - неотъемлемая составляющая научного обеспечения искусственного интеллекта и цифровой экономики. Разнообразные применения эконометрических методов при решении практических задач экономики и управления рассмотрены в сотнях тысяч исследований, из которых в качестве примеров укажем на [2, 3].

В современных условиях эконометрика как научная, практическая и учебная дисциплина становится всё более востребованной.

1. Агаларов З.С,, Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. - М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и К", 2021. - 380 с.

2. Емельянова Е.А., Орлов А.И. Методы прогнозирования продаж на предприятиях оптовой торговли // Контроллинг. 2018. No.1 (67). С. 68-76.

3. Загонова Н.С. Разработка организационной системы информационной поддержки управления продуктовыми инновациями на промышленных предприятиях на основе эконометрических методов : 08. 00. 05 : дис. кэн / Загонова Н. С. ; МГТУ им. Н. Э. Баумана. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 160 л. 

4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2004. - 576 с.

5. Орлов А.И. Эконометрическая поддержка контроллинга // Контроллинг. 2002. No.1. С. 42-53.

6. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учебник для вузов. - М.: Экзамен, 2004. - 576 с.

7. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 4-е, доп. и перераб. Учебник для вузов.- Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 572 с.

8. Орлов А.И. Анализ экспертных упорядочений // Научный журнал КубГАУ. 2015. No.112. С. 21-51.

9. Орлов А.И. О новой парадигме математических методов исследования // Научный журнал КубГАУ. 2016. No.122. С. 807-832.

10. Орлов А.И. Характеризация средних величин шкалами измерения // Научный журнал КубГАУ. 2017. No.134. С. 877-907.

11. Орлов А.И. Отечественная научная школа в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики // Контроллинг. 2019. No.73. С. 28-35.

12. Орлов А.И. Метод ценообразования на основе оценивания функции спроса // Научный журнал КубГАУ. 2020. No.158. С. 250 - 267.

13. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование и искусственный интеллект в организации производства в эпоху цифровой экономики // Инновации в менеджменте. 2021. No. 2(28). С. 36-45.

14. Орлов А.И., Орлова Л.А. Применение эконометрических методов при решении задач контроллинга // Контроллинг. 2003. No.4(8). С. 50-54.

15. Орлов А.И., Орлова Л.А. Эконометрика в обучении контроллеров // Контроллинг. 2004. No.3 (11). С. 68-73.

16. Эконометрика : учебник для вузов / И.И. Елисеева [и др.] ; под редакцией И.И. Елисеевой. - М.: Издательство Юрайт, 2020. - 449 с.