Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математический кружок

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Работа и обучение за рубежом для студентов и не только!" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Роман Александрович Семизаров

Статистика

2.740 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Математический кружок Занятие 19. Раскраска.


Служба Рассылок Subscribe.Ru

Здравствуйте, друзья.

Сегодня при решении каждой задачи надо будет некоторым образом раскрасить доску в два или больше цветов. Для примера мы приводим решения нескольких первых задач.

В версии занятия, помещённой на нашем сайте, для наглядности добалены несколько картинок, в рассылке же картинки опущены.

Задача 175. Из доски 10 x 10 выпилены две клетки, находившиеся в противоположных углах. Можно ли такую испорченную доску распилить на двуклеточные прямоугольники (доминошки)?

Решение. Раскрасим доску в шахматном порядке. До выпиливания было поровну белых и чёрных клеток, значит после выпиливания клеток одного из цветов стало меньше. Но каждая доминошка занимает одну белую клетку и одну чёрную клетку, значит если бы доску можно было разбить на доминошки, белых и чёрных клеток было бы поровну. Стало быть, разбить доску на доминошки нельзя.

Задача 176. Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 - вертикально?

Решение. Раскрасим доску в белый и чёрный цвет "зеброй" (чётные вертикали будут чёрными, а нечётные - белыми) и предположим, что нам удалось выложить доску доминошками. Каждая вертикальная доминошка покрывает две чёрных клетки или ни одной чёрной клетки, а каждая горизонтальная - ровно одну чёрную клетку. Значит вертикальные доминошки накроют чётное число чёрных клеток, а горизонтальны - нечётное (а именно - 17). Получается, что всего доминошки покрыли нечётное число клеток. Но на доске 32 чёрных клетки.

Задача 177. Можно ли выложить квадрат 8 x 8, используя 15 прямоугольников 1 x 4 и один уголок вида 

       _
 _ _ _| |
|_ _ _ _|  ?

Указание. Здесь тоже работает раскраска зеброй.

Задача 178. Можно ли выложить прямоугольник 6 x 10 прямоугольниками 1 x 4?

Решение. Применим раскраску "в горошек" - покрасим в чёрный цвет те клетки, которые находятся на пересечении чётных вертикалей и чётных горизонталей, а остальные - в белый. Каждый прямоугольник занимает чётное количество чёрных клеток, значит все вместе они тоже занимают чётное число чёрных клеток. Кроме того, проходит шахматная раскраска крупными квадратами 2 x 2 и диагональная четырёхцветная раскраска.

Задача 179. Можно ли сложить квадрат 6 x 6 с помощью 11 прямоугольников 1 x 3 и одного трёхклеточного уголка?

Задача 180. На каждой клетке доски 5 x 5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.

Задача 181. Из доски 8 x 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники 3 x 1?

Задача 182. Фигура "верблюд" ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом "верблюда" с произвольного поля на соседнее?

Задача 183. Можно ли доску размером 10 x 10 покрыть фигурами вида 

   _
 _|_|_
|_|_|_| ?

Задача 184. Дана доска 12 x 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 x 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и переставить одну из них симметрично относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 x 3 в правом нижнем углу?

Задача 185. В каждой клетке квадрата 9 x 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.

Задача 186. Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.

Роман Семизаров
roma7@zaba.ru
http://zaba.ru
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное