Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математический кружок

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Работа и обучение за рубежом для студентов и не только!" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Роман Александрович Семизаров

Статистика

2.740 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Математический кружок Занятие 20. Разнобой


Служба Рассылок Subscribe.Ru

Здравствуйте, друзья.

Разбор

Задача 162.

Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно 22? 28? 350? 730?
Решение. Оно может быть равно только 28.
22 делится только на одно однозначное число (на 1), 350 делится на 1, 2, 5 и 7, но даже произведение 7 x 7 x 7 равно только 343. А 730 больше даже чем 9 x 9 x 9

Задача 163.

Можно ли в прямоугольной таблице расставить натуральные числа так, чтобы в каждом столбце сумма чисел была больше 100, а в каждой строке - меньше 5?
Конечно, можно. Один из простейших примеров - таблица из одного столбца и 101-й строки, целиком заполненная единицами.

Задача 164.

Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел (не обязательно различных) быть равными а) 999? б) 1999?
а) Да. Например 333 x 3 x 1 x 1 x x...x 1 x 1 (663 единицы).

б) Нет. 1999 - простое число, поэтому множителями могут быть лишь оно само и единица...

Задача 165.

Площадь прямоугольника меньше 1 кв.м. Может ли его периметр быть больше 1 км?
Да. Например, прямоугольник 500 м x 1 мм.

Задача 168.

Фирма проработала год, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. За каждые два подряд идущих месяца прибыль оказалась отрицательна (то есть фирма заработала меньше чем потратила). а) Могло ли случиться, что прибыль за весь весь год оказалась положительна? б) А за первые 11 месяцев?
а) Нет, не могло. Год можно разбить на 6 периодов по 2 месяца, прибыль за каждый период отрицательна, значит и вся прибыль отрицательна. б) Могло. Например, пусть в месяцы с чётным номером фирма зарабатывала 100 рублей, а в остальные месяцы теряла по 101 рублю.

Задача 169.

В однокруговом футбольном турнире за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. "Спартак" одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?
Да, мог. Пусть, например, в турнире кроме Спартака участвовало 10 команд, которые все сыграли между собой вничью. Спартак же пусть выиграл 2 матча, а остальные проиграл. Тогда Спартак набрал 4 очка, а остальные команды как минимум по 10.

Задача 170.

Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?
а) Нет, нельзя. Разобьём доску на 8 вертикалей, в каждой вертикали стоит не более одной ладьи. Значит, всего на доске стоит не более 8 ладейб.

б) Можно. Например, так. 

 _ _ _ _ _ _ _ _
|_|С|С|С|С|С|С|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|_|
|С|С|С|С|С|С|С|С|

Задача 171.

Какое наибольшее число ладей (слонов, королей, ферзей, коней) можно расставить на доске так, чтобы они не били друг друга?
Каждая из этих зти задачи (как и любая задача с вопросом "какое наибольшее" и "какое наименьшее") состоит из двух задач. В данном случае надо
  • Привести пример расстановки,
  • Доказать, что больше расставить нельзя.

Ладьи. Ответ: 8. Воcемь ладей можно расставить, например, вдоль главной диагонали. Девять или больше расставить нельзя (см. предыдущую задачу).
Слоны. Ответ: 14. Как расставить 14 слонов, мы уже знаем, осталось доказать, что 15 или больше расставить нельзя. Разобьём доску на 15 диагоналей, идущих "вправо-вверх". Два слона на одной диагонали стоять не могут, значит всего на доске может стоять не больше 15 не бьющих друг друга слонов, причём, если их ровно 15, то на каждой диагонали стоит по слону. Но это означает, что на верхней левой и правой нижней клетке стоит по слону, а они бьют друг друга.
Ферзи. Ответ: 8. Доказать, что больше восьми ферзей расставить несложно, а пример может быть, например, таким: 
 _ _ _ _ _ _ _ _
|_|_|_|Ф|_|_|_|_|
|_|Ф|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|Ф|
|_|_|_|_|Ф|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|Ф|_|
|Ф|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|Ф|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|Ф|_|_|

Кони. Ответ: 32. Пример: кони занимают все белые клетки. Доказательство, что больше 23 коней расставить нельзя: разобьём клетки на 32 пары так, чтобы клетки из одной клетки пары можно было попасть в другую ходом коня...

Новые задачи. Разнобой.

187. Имеются двое песочных часов: одни на 7 минут, а другие -- на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

188. Можно ли числа от 1 до 17 выписать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым числом?

189. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 прямых рядов по три дерева в каждом?

190. Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной.

В этой фразе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, причём цифра 0 -- ... раз, цифра 1 -- ... раз, цифра 2 -- ... раз, цифра 3 -- ... раз, цифра 4 -- ... раз, цифра 5 -- ... раз, цифра 6 -- ... раз, цифра 7 -- ... раз, цифра 8 -- ... раз, цифра 9 -- ... раз''.

191. Два человека бегут вниз по ступеням эскалатора метро, идущего вниз. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек?

192. В квадрате 3 x 3 находится 9 лампочек. За одну операцию можно переключить все лампочки, находящиеся в каком-нибудь квадрате 2 x 2. Сколько различных узоров можно получить из погасшего'' состояния?

193. Можно ли в вершинах и на серединах сторон правильного восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах любой стороны равнялась числу в его середине? Каждое из чисел можно использовать ровно 1 раз.

194. У Кощея есть куб, в каждой вершине которого вставлено по алмазу. Известны веса этих алмазов: 1 карат, 2 карата, ..., 8 карат. Кощей предлагает Ивану-Царевичу следующую игру: он называет сумму весов алмазов на каждом ребре. Если после этого Иван сможет правильно определить, в какой вершине какой алмаз, то он получает драгоценный куб, а если нет, то распрощается с жизнью. Стоит ли Ивану соглашаться на такую игру?

195. На доске выписаны целые числа от 1 до 14, каждое по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма точный квадрат, то выигрывает второй, иначе первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Роман Семизаров
roma7@zaba.ru
http://zaba.ru
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное