Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по дискретной математике

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 106 RSS
←   Июнь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru/issues/8/19/525
Открыта: 17-04-2009

Автор
Калашников О.А.

Статистика

106 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Дискретная математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 528
∙ повысить рейтинг >> 		Лысков Игорь Витальевич
Статус: Младший модератор
Рейтинг: 412
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 343
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Дискретная математика

Выпуск № 124 от 13.06.2009, 17:05
Администратор рассылки: Alexey G. Gladenyuk, Управляющий
В рассылке: подписчиков - 104, экспертов - 37
В номере: вопросов - 1, ответов - 2

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 169130: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите, пожалуйста, решить задачу: ...

Вопрос № 169130:

Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите, пожалуйста, решить задачу:


Отправлен: 08.06.2009, 17:03
Вопрос задал: Болдырев Тимофей, Посетитель
Всего ответов: 2
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

Имеем (x1/2 + x1/3 + x1/6)6 = ((x1/6)3 + (x1/6)2 + x1/6)6 = [x1/6((x1/6)2 + x1/6 + 1)]6. (1)

Положим t = x1/6. Тогда x = t6, x2 = t12, а выражение (1) принимает вид [t(t2 + t + 1)]6, или
t6(t2 + t + 1)6. (2)

Очевидно, что коэффициент при x2 в разложении исходного полинома равен коэффициенту при t12 в разложении полинома (2) по степеням t. Поскольку полином (2) является произведением t6 на (t2 + t + 1)6, то необходимо найти коэффициент при t6 в разложении полинома (t2 + t + 1)6 по степеням t.

Согласно формуле полинома,
(t2 + t + 1)6 = Σ k1 + k2 + k3 = 6 C6(k1, k2, k3) (t2)k1 ∙ tk2 ∙ 1k3,
где суммирование проводится по всем наборам (k1, k2, k3) таких неотрицательных целых чисел, что
k1 + k2 + k3 = 6.
В свою очередь,
C6(k1, k2, k3) = 6!/(k1! ∙ k2! ∙ k3!) - число перестановок с наборами (k1, k2, k3), где k1 + k2 + k3 = 6.

Число k3 может принимать значения от 0 до 6. Рассмотрим возникающие при этом случаи, учитывая, что при любом k3 имеем 1k3 = 1, и нас интересуют такие k1 и k2, что (t2)k1 ∙ tk2 = t6, или 2k1 + k2 = 6:

1) k3 = 0, тогда должны выполнятьс я условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 6.
Следовательно, k1 = 0, k2 = 6,
C6(0, 6, 0) = 6!/(0! ∙ 6! ∙ 0!) = 6!/6! = 1; (3)

2) k3 = 1, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 5.
Следовательно, k1 = 1, k2 = 4,
C6(1, 4, 1) = 6!/(1! ∙ 4! ∙ 1!) = 6!/4! = 5 ∙ 6 = 30; (4)

3) k3 = 2, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 4.
Следовательно, k1 = 2, k2 = 2,
C6(2, 2, 2) = 6!/(2! ∙ 2! ∙ 2!) = 720/8 = 90; (5)

4) k3 = 3, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 3.
Следовательно, k1 = 3, k2 = 0,
C6(3, 0, 3) = 6!/(3! ∙ 0! ∙ 3!) = 720/36 = 20; ( 6)

5) k3 = 4, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 2.
Следовательно, k1 = 4, k2 = -2 – отрицательное число, не удовлетворяющее условию разложения (числа должны быть неотрицательными!);

6) k3 = 5, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 1.
Следовательно, k1 = 5, k2 = -4 – отрицательное число, не удовлетворяющее условию разложения;

7) k3 = 6, тогда должны выполняться условия
2k1 + k2 = 6,
k1 + k2 = 0.
Следовательно, k1 = 6, k2 = -6 – отрицательное число, не удовлетворяющее условию разложения.

Искомый коэффициент найдется как сумма коэффициентов (3) – (6):
C = 1 + 30 + 90 + 20 = 141.

Ответ: 141.

Идея решения, думаю, Вам понятна. Проверьте выкла дки.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 09.06.2009, 20:45

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250716 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Lang21, Профессионал :
    Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

    Еще один способ решения.

    Заменой x1/6= t задача сводится к нахождению коэффициента при t6 полинома
    (1 + t + t2)6 (см. предыдущий ответ).

    Рассмотрим, как при перемножении 6 скобок (1 + t + t2) получается член t6.

    1. Из каждой скобки берется t:
    6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (сумма показателей сомножителей равна 6),
    таким способом получается 1 член в произведении.

    2. Из одной из скобок берется t2, из оставшихся 5 скобок 4 раза берется t, из оставшейся одной скобки берем 1:
    6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1.
    t2 можно выбрать 6 способами, t можно выбрать C45 способами, всего 6*C45 = 30.
    (Здесь и далее CkN - число сочетаний из N по k).

    Аналогично находим:

    3. 6 = 2 + 2 + 1 + 1, число способов C26 * С24 = 15* 6 = 90.

    4. 6 = 2 + 2 + 2, число способов C36 = 20.

    Суммируя, получим:
    1 + 30 + 90 + 20 = 141.

    Ответ отправил: Lang21, Профессионал
    Ответ отправлен: 10.06.2009, 09:29

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 250733 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.1 RC от 10.06.2009
    В избранное