Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

"Математические олимпиады и олимпиадные задачи"

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "О деньгах, инвестициях и личных финансах" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Роман Семизаров

Статистика

4.485 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

"Математические олимпиады и олимпиадные задачи"


Служба Рассылок Subscribe.Ru проекта Citycat.Ru

Здравствуйте, друзья.

Новости сайта Математические олимпиады и олимпиадные задачи

Опубликованы полные результаты финального тура XXVII Всероссийской математической олимпиады, которая проходила около двух недель назад в Твери.

Поступления ЗАдачной БазЫ

В ЗабУ добавлены задачи следующих соревнований:

Примеры задач

Всероссийская олимпиада

Задача 1.
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой группе сумма чисел больше?

Задача 2.
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Задача 3.
На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответсвенно. Докажите, что центр O описанной около треугольника ABC окружности лежит на окружности, описанной около треугольника KBM.

Задача 4.
Найдите все натуральные числа n такие, что для любых двух взаимно простых делителей a и b числа n число a+b-1 также является делителем n

Задача 5.
Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа a и b, что для любого действительного x будет выполняться неравенство a f(x)+b g(x)>0.

Балканская математическая олимпиада

Задача 1.
На медиане AD неравнобедренного треугольника ABC взята точка E. Точка F - проекция точки E на прямую BC, точка M лежит на отрезке EF, точки N и P~-- проекции точки M на прямые AC и AB соответственно. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы углов PMN и PEN параллельны.

Задача 2.
Докажите, что если у пятиугольника все внутренние углы равны, а все стороны имеют рациональную длину, то пятиугольник правильный.

Задача 3.
Куб размера 3x3x3 разбит на 27 кубических ячеек со стороной 1. Одна из ячеек пуста, в остальных лежат кубики, в некотором порядке пронумерованные числами 1,2,...,26. Разрешённый ход состоит в передвижении кубика в соседнюю пустую ячейку (две ячейки считаются соседними, если они имеют общую грань). Существует ли такая конечная последовательность разрешённых ходов, при которой для любого k=1,..., 13 кубики k и 27-k поменяются местами?

Задача недели

Перед Вами задача последнего конкурса. Подробности можно найти на сайте математического центра СПбГДТЮ и в специальной рассылке.

Конкурс N 9.
Сумма положительных чисел p и q равна 1. Докажите, что (1 - pn)m + (1 - qm)n >= 1.

Попытайтесь найти наиболее красивое решение.

Роман Семизаров.
roma7@zaba.ru
http://problems.lgg.ru

http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru
В избранное