"Математические олимпиады и олимпиадные задачи"

Новости сайта "Математические олимпиады и олимпиады и олимпиадные задачи"

Поступления ЗАдачной БазЫ

• Задачи Математической олимпиады США 2001 года в переводе М.Гольденберга (прислал Александр Эвнин -- спасибо!)
• Задачи олимпиады ЮМШ 1999 года

Математические соревнования

Математическая олимпиада США

По результатам олимпиады выбираются 12 победителей, которые приглашаются на церемонию награждения в Вашингтон. Шестеро из них будут составлять команду Соединённых Штатов на Международной математичекой олимпиаде.

В отборочных соревнованиях принимают участие более 400 тысяч школьников. К участию в олимпиаде допускаются:

• Лучшие 120 учеников 9-12 класса (grade);
• Следующие 20 учеников 11 класса или младше;
• Следующие 20 учеников 10 класса или младше;
• Следующие 20 учеников 9 класса или младше;
• По одному учащемуся от штатов, представителей которых нет в первых четырёх группах.

Олимпиада ЮМШ

Олимпиада состоит из трёх туров: заочного, районного и городского. В заочном и районном турах могут принимать участие все желающие, победители приглашаются на городской тур. Городской тур поводится в традиционной для Санкт-Петербурга "устной" форме.

В целом, структура районного и городского туров олимпиады ЮМШ напоминает структуру городской олимпиады, однако есть и ряд отличительных черт. Во-первых надо отметить особый стиль задач олимпиады восьмого класса. На ней задачи группируются в сюжеты, в каждом из которых очережная задача является или продолжением предыдущей, или предложением взглянуть на тот же объект с другой стороны. По мнению организаторов олимпиады, такая форма в той или иной степени моделирует исследовательскую работу.

Во-вторых внимания заслуживает принцип, согласно которому в городском туре не могут принимать участие те ребята, которые уже завоёвывали дипломы серьёзных олимпиад. Для них проводится особый тур, называемый "Олимпиада победителей олимпиад" (или, другими словами, тур для профессионалов).

Примеры задач

Олимпиада США 2001 года

Задача 1. Каждый из 8 ящиков содержит 6 шаров. Каждый шар окрашивается в один из n цветов так, что ни в одном из ящиков нет шаров одного цвета и никакие два цвета не встречаются вместе более, чем в одном ящике. Найти наименьшее n, для которого это возможно.

Задача 2. Каждой точке плоскости сопоставлено вещественное число так, что выполнено следующее свойство: для всякого треугольника число, сопоставленное центру вписанной в него окружности, совпадает со средним арифметическим чисел, сопоставленных его вершинам. Доказать, что всем точкам плоскости сопоставлено одно и то же число.

Олимпиада ЮМШ

Заочный тур

Задача 3. Маленький мальчик постоянно узнает новые слова. По рабочим дням (с понедельника по пятницу) его родители на работе и он за день узнает всего 7 слов, в выходные же дни он узнает по 13 новых слов. Однако, каждое десятое слово, которое он узнает, является синонимом ровно одного из предыдущих. Мальчик родился в понедельник утром. К какому количеству слов он не будет знать синонимы через 100 дней после своего рождения?

Задача 4. Даны 30 гирь массами 1 г, 2 г,..., 30 г. Убрали 16 гирь таких, что их общая масса равна трети массы всех гирь. Всегда ли можно оставшиеся гири разделить на две кучки одинакового веса?

Задача 5. а) Из доски 13 x 13 клеток вырезали угловую клетку. Можно ли получившуюся фигурку разрезать на прямоугольники 1 x 4?
б) Удастся ли разрезать, если была вырезана клетка, соседняя с угловой по диагонали?
в) Решите исходную задачу в случае, если вырезана центральная клетка.
г) Разберите случай, когда вырезается клетка, соседняя (по стороне) со стоящей на краю доски.
д) При каких местоположениях вырезаемой клетки оставшуюся часть на заданные прямоугольники разрезать можно, а при каких - нельзя?

Районный тур

Задача 6. В какое наименьшее количество цветов надо покрасить клетки доски 6 x 18 клеток для того, чтобы у любой клетки было хотя бы два соседа разного цвета, и две клетки одного цвета никогда не стояли рядом?

Задача 7. а) У продавца есть много гирек весом 21 г, 35 г, 15 г. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах отвесить 139 г. товара (класть гирьки на чашу с товаром запрещается, других гирек у продавца нет)?
б) Можно ли отвесить 331 г, если есть много гирек весом 33 г, 77 г, 21 г?
в)Возможно ли отвесить 6667 г гирьками весом 252 г, 308 г, 396 г, 693 г?
г) Какое наименьшее количество гирек требуется, чтобы уравновесить 793 г, если есть много гирек весом 33 г, 77 г, 21 г?

Городской тур

Задача 8. Найдите наименьшее натуральное число, имеющее сумму цифр 17, оканчивающееся на 17 и кратное 17 одновременно.

Задача 9. В узлах сетки 3 x 100 стоят красные точки (в каждой строке - 100 точек и в каждом столбце - 3 точки). Сколько можно провести прямых, проходящих ровно через 3 красные точки?

Олимпиада победителей олимпиад

Задача 10. На столе лежит 1999 спичек. За ход первый игрок может взять либо 5, либо 8 спичек; второй - либо 4, либо 6 спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш, и как он должен для этого играть?

Роман Семизаров.
roma7@zaba.ru
http://zaba.ru