Задача 1: Дележка яблок.

На столе стоит корзина с пятью яблоками.

Вопрос: Поделите 5 яблок между 5 людьми так, чтобы каждый получил по яблоку, и одно яблоко осталось в корзине.

За решение задачи начисляется 2.5 балла.

Отправить ответ (код задачи: APPLES).

Задача 2: Считаем треугольники.

Взгляните на рисунок.

Примечание: Внимательно, не торопитесь с ответом...

Вопрос: Сколько треугольников можно насчитать на рисунке?

За решение задачи начисляется 3 балла.

Задачу прислал(а): Рак Антон Павлович.

Отправить ответ (код задачи: TRIANGLES).

Задача 3: Квадрат из прямоугольника.

У вас есть прямоугольник со сторонами 12 на 27 см.

Вопрос: Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы можно было сложить квадрат.

За решение задачи начисляется 3.5 балла.

Отправить ответ (код задачи: SQUARE2).

Задача 4: Спор трёх мудрецов.

Жили в одно время три мудреца и завязался у них спор, кто же из них самый мудрый. Долго они спорили и пререкались, пока не решили обратиться к старому хитрому колдуну. Тот, выслушав их, ответил: "Вот у меня мешок, а в нем 5 колпаков, 3 белых и 2 черных. Я посажу вас на пеньки, каждого на против двух других, завяжу глаза и надену каждому на голову по колпаку, остальные спрячу в мешок. Затем развяжу глаза и кто первым сообразит, какой колпак у него на голове, тот и будет самым мудрым". Как сказал колдун, так и сделал, причем всей троице надел белые колпаки. Долго мудрецы думали, глядя друг на друга, пока наконец один из них не воскликнул: "Я знаю, на мне белый колпак!". И когда он объяснил, как догадался, остальные признали его самым мудрым.

Вопрос: Как же он догадался?

За решение задачи начисляется 6 баллов.

Задачу прислал(а): Надежда Евдокимова.

Отправить ответ (код задачи: SAGES).

Задача 5: Шахматы и домино.

Поставьте две пешки на противоположные угловые поля шахматной доски.

Примечание: Одна костяшка домино закрывает собой две любые соседние клетки доски.

Вопрос: Можно ли покрыть оставшуюся часть доски костяшками домино так, чтобы вся доска была покрыта? Если да - как? Если нет - почему?

За решение задачи начисляется 6 баллов.

Отправить ответ (код задачи: DOMINO).

Задача 1: Уникальное умножение (1 балл).

4*1738=6952
Можете не проверять, не обманываю... К чему это я? В этом примере используется 9 цифр кроме нуля по 1 разу.

Примечание: Баллы начисляются за каждый найденный пример отдельно.

Вопрос: Есть ли еще (кроме названного) примеры умножения вида X*Y=Z, чтобы 9 цифр были использованы по 1 разу каждая?

Правильный ответ: Произведений, где используются 9 цифр кроме нуля, всего 9:
4*1738=6952 (использован как пример)
4*1963=7852
12*483=5796
18*297=5346
27*198=5346
28*157=4396
39*186=7254
42*138=5796
48*159=7632

Комментарий: P.S. Естественно, x*y=z и y*x=z - это одно и тоже, поэтому считался как один пример.

Правильных ответов: 37 из 40 (92.5%).

Задача 2: Бассейн (2.5 балла).

Есть круглый бассейн. От его бортика в направлении точно на север отплыла рыба. Проплыв 6 метров, она опять столкнулась с бортиком. Тогда рыба повернула на восток, проплыла еще 8 метров и опять столкнулась с бортиком.

Вопрос: Каков диаметр бассейна?

Правильный ответ: 10 метров.

Комментарий: Гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника всегда проходит через центр окружности, а значит является её диаметром. В нашем случае катеты равны 6 и 8 метров, а значит гипотенуза а-ля диаметр - 10 метров.

Правильных ответов: 74 из 76 (97.4%).

Задача 3: Искусственный отбор (3.5 балла).

Итак... - начал говорить ведущий соревнований. - В теннисном турнире сто двадцать семь участников, в первом туре сто двадцать шесть игроков составят шестьдесят три пары, победители которых выйдут в следующий тур, и еще один игрок выходит во второй тур без игры. В следующем туре - шестьдесят четыре игрока сыграют тридцать два матча.

Примечание: В случае ничьи игра продолжается до победы одного из игроков.

Вопрос: Сколько всего матчей понадобится, чтобы определить победителя?

Правильный ответ: 126 матчей.

Комментарий: Можно идти сложным путём - суммировать матчи на каждом этапе, т.е. 63 + 32 + 16 и т.д. Но есть способ проще. 127 участников, 1 должен остаться чемпионом, в каждом матче "выпадает" 1 участник, значит надо сыграть 127 - 1 = 126 матчей.

Правильных ответов: 69 из 75 (92%).

Задача 4: Зачем искать простые числа? (4 балла).

Я придумал такую функцию f(x), которая даёт простые числа при любых натуральных значениях переменной x.

Вопрос: Повторите подвиг, напишите такую (или другую) f(x), дающей простые числа при любых натуральных x.

Правильный ответ: f(x)=17*1^x, f(x)=13+0^x, f(x)=(-1)^x+4.

Комментарий: ...и еще кучу примеров можно привести. Любая из них даёт на выходе только простые числа.
P.S. Были варианты f(x)=n, где n - любое простое число. Варианты засчитаны, так как идея верная, но всё же разве константа является функцией от переменной x?..
P.P.S. Один из участников прислал кусок программного кода для нахождения простых чисел. Ответ оригинальный, но вот если бы его можно было записать в виде f(x)=… - то он был бы даже засчитан.
P.P.P.S. А вот один из участников прислал такие варианты: f(x)=x²+x+41, f(x)=2x²+29 - на скорую руку проверил - работает. А вот почему? Предлагаю в дискуссионном листе выразить свои мысли по этому поводу.

Правильных ответов: 36 из 44 (81.8%).

Задача 5: Озёрная гладь - она и не гладь вовсе (5 баллов).

Спокойная гладь озера кажется плоскостью. Но вы прекрасно знаете, что эта поверхность куполообразна. Перед вами два круглых озера: одно диаметром 1 км, второе - 10 км.

Примечание: Для справки: радиус Земли = 6380 км.

Вопрос: Во сколько раз высота купола второго озера больше высоты купола первого?

Правильный ответ: в 100 раз (1.96см для 1 км и 1.96м для 10 км).

Комментарий: Привожу ответ автора задачи как есть:
h=R-Rcos(a/2), где R - радиус земли, a - угол под которым виден диаметр озера из центра Земли.
С косинусом при таких малых углах считать плохо, так что зная 2sin²(x)=1-cos(2x) получим h=2Rsin^2(a/4).
Т.к. углы очень малы то h=(R*a²)/8.
a₁=(1/pi*6380)*180= 0,009; a₁₀=(10/pi*6380)*180= 0,09.
h₁₀/h₁=a₁₀²/a₁²=(0,09/0,009)²=100.

Ответ: в 100 раз.

Задачу прислал(а): Сергей.

Правильных ответов: 47 из 58 (81%).

Задача 6: Один коврик из двух (6 баллов).

У моей соседки до переезда было два квадратных коврика в клетку - один 6х6 клеток, второй 8х8. Клетки были двух типов, расположенных в шахматном порядке. Соседка, переехав, не нашла им применения в новой квартире, но ей бы пригодился коврик побольше чем эти два. Она отдала эти два коврика в мастерскую и ей там сделали из этих двух ковриков новый коврик, размером 10х10, при этом разрезав изначальные коврики между клеток не более чем на 2 части каждый…

Вопрос: Повторите такой ход - разрежьте два коврика не более чем на 2 части каждый не разрезая клеток, а потом составьте из частей один ковёр 10х10 клеток.

Правильный ответ: Один из вариантов:

Комментарий: Шашечки! Как же шашечки? Очень много вариантов пришло, где части после разрезания поворачивали на 90 градусов, и в результирующем ковре шахматного порядка уже не наблюдалось. Само собой, такие варианты не приняты - соблюдение шахматного порядка было обязательным условием.
P.S. Переворачивание ковра вверх ногами тоже не годится - кто сказал, что рисунок есть и на второй стороне?

Правильных ответов: 17 из 36 (47.2%).

Ниже представлена общая таблица итогов по прошлому выпуску. Тёмно-зелёным цветом отмечены верные ответы, красным - неверные.

Страница рассылки: http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.voltage
Архив рассылки: http://subscribe.ru/archive/rest.brain.voltage
Одноимённый дискуссионный лист: http://groups.yahoo.com/group/brace-brain.