Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математический кружок

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Работа и обучение за рубежом для студентов и не только!" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Сентябрь 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Автор
Роман Александрович Семизаров

Статистика

2.740 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Математический кружок


Занятие 4. Четность

Чередование

Разберём решение задачи 21.

Задача 21. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных в кольцо. Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?

Решение. Если шестерёнка вращается по часовой стрелке, то её соседи вращаются против часовой стрелки. Это означает, что если пронумеровать шестерёнки по кругу, то шестерёнки с чётными номерами будут вращаться в одну сторону, а с нечётными - в другую. Но тогда выходит, что шестерёнки с номерами 1 и 11 вращаются в одну сторону, чего не может быть.

Разберём ещё одну задачу, посложнее.

Задача 22. Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

Решение. При каждом ходе шахматный конь меняет цвет поля, на котором стоит, то есть с чёрной клетки прыгает на белую, а с белой - на чёрную. Поэтому на чётных ходах конь будет попадать на клетку того же цвета, что и поле a1, а при нечётных - на клетку другого цвета. Значит вернётся он после чётного числа ходов.

Задача 23. За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.

Задача 24. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно по одному разу?

Задача 25. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

Задача 26. На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 2001 раз. Могут ли после этого все шайбы остаться на исходных местах?

Разбиение на пары

Задача 27. Можно ли нарисовать 9-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Задача 28. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90 грвдусов каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов.

Задача 29. Все костяшки домино выложили в цепь по правилам. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков оказалось на другом?

Задача 30. На доске 25 x 25 расставлено 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

Задача 31. Пусть расположение шашек в предыдущей задаче симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

В избранное