RusFAQ.ru: Математика
| Информационный Канал Subscribe.Ru |
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика
Выпуск № 57
от 03.11.2005, 10:54
| Администратор: | Tigran K. Kalaidjian |
| В рассылке: | Подписчиков: 72, Экспертов: 16 |
| В номере: | Вопросов: 1, Ответов: 1 |
Вопрос № 28489: Помогите пожалуйста с задачкой!!!!!!! Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины A(2;1) и уравнения его медиан: 7x - 20y + 22 = 0, x + 4y - 22 = 0. Спасибо....
| Вопрос № 28.489 |
|
Помогите пожалуйста с задачкой!!!!!!! Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины A(2;1) и уравнения его медиан: 7x - 20y + 22 = 0, x + 4y - 22 = 0. Спасибо. |
| Отправлен: 29.10.2005, 11:51 Вопрос задал: Авельчев Антон Евгеньевич (статус: 1-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0) |
| Отвечает: Ayl Здравствуйте, Авельчев Антон Евгеньевич! Ну смотри. Что мы знаем о медианах? Знаем мы то, что сторона, на которую опущена медиана, делится точкой пересечения пополам; то, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке; и то, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Вооружась этими знаниями, приступим к решению. Введем обозначения: Вершины треугольника: A, B, C Медианы: AM, BN, CK Точка пересечения медиан: O Прямые, содержащие стороны треугольника: AB=c; AC=b; BC=a Прямые, содержащие медианы: AM=m; BN=n; CK=k Координаты точки A нам заданы. Прямой подстановкой в уравнения медианных прямых убеждаемся, что эта точка не принадлежит ни одной из них, т.е. эти прямые содержат медианы BN и CK, т.е. соответствуют прямым n и k. Находим точку пересечения прямых n и k, что даст нам точку пересечения медиан O: {7x-20y+22=0; x+4y-22=0 Из второго уравнения выражаем x через y и подставляем в первое: x=22-4y => 7*(22-4y)-20y+22=0 => y=11/3 => x=22/3 Т.о., координаты точки O равны (22/3; 11/3) Определяем координаты точки M из того факта, что AO = 2OM: x(M) = (3x(O)-x(A))/2; y(M) = (3y(O)-y(A))/2 x(M) = 10; y(M) = 5 Точка M лежит на прямой a. Примем, что прямая 7x-20y+22=0 является прямой k и, следовательно, содержит вершину C, а прямая x+4y-22=0 является прямой n и содержит вершину B. Если сделать чертеж, то мы увидим, что при таких обозначениях вершина B будет иметь координату X меньше, чем точка M, а вершина C - больше. Запишем уравнение прямой a в общем виде: y = a*x+b Нам нужно найти такие значения a и b, чтобы: 1. Точка M принадлежала этой прямой 2. Расстояние от точки M до точки пересечения этой прямой и прямой n было бы равно расстоянию от точки M до точки пересечения этой прямой и прямой k. Для случая 1 можно написать выражение: y(M) = a*x(M)+b, т.е. 5=10a+b (1) Для второго случая достаточно записать выражение для равенства проекций отрезков MB и CB на ось X. Для этого определим координаты точек пересечения прямой a с прямыми k и n через неизвестные a и b: B(x,y) = a^n ====== n: x+4y-22=0 <=> y=-0.25x+5.5 a: y=ax+b {y(B)=-0.25*x(B)+5.5; y(B)=a*x(B)+b a*x(B)+b=-0.25*x(B)+5.5 <=> x(B)=(5.5-b)/(a+0.25) y(B)=-0.25*((5.5-b)/(a+0.25))+5.5 C(x,y) = a^k ====== k: 7x-20y+22=0 <=> y=0.35x+1.1 a: y=ax+b {y(C)=0.35*x(C)+1.1; y(C)=a*x(C)+b a*x(C)+b=0.35*x(C)+1.1 <=> x(C)=(1.1-b)/(a-0.35) y(C)=0.35*((1.1-b)/(a-0.35))+1.1 Т.к. точка B находится левее точки M, то длина проекции отрезка BM на ось OX равна x(M)-x(B): x(BM) = 10-(5.5-b)/(a+0.25) Аналогично, т.к. точка C находится правее точки M, то длина проекции отрезка CM на ось OX равна x(C)-x(M): x(CM) = (1.1-b)/(a-0.35)-10 Приравниваем эти длины: x(BM)=x(CM) 10-(5.5-b)/(a+0.25) = (1.1-b)/(a-0.35)-10 и выражаем b через a: b = (20*a^2-8.6*a-0.1)/(0.1-2*a) и подставляем это выражение в уравнение (1), составленное для того факта, что точка M принадлежит прямой a: 10*a+b=5 10*a+(20*a^2-8.6*a-0.1)/(0.1-2*a)=5 откуда получаем, что a=0.25 b=5-10*a => b=2.5 Т.о., уравнение для прямой a имеет вид: y=0.25x+2.5 Вычисляем координаты точек B и С: x(B)=(5.5-2.5)/(0.25+0.25)=3/0.5=6 y(B)=-0.25*6+5.5=-1.5+5.5=4 Точка B имеет координаты (6; 4) x(C)=(1.1-2.5)/(0.25-0.35)=(-1.4)/(-0.1)=14 y(C)=0.35*14+1.1=4.9+1.1=6 Точка C имеет координаты (14; 6) Ответ: координаты вершин треугольника равны: A(2;1), B(6;4), C(14;6) --------- Трудное - то, что можно сделать немедленно. Невозможное - то, для выполнения чего требуется немного больше времени |
| Ответ отправил: Ayl (статус: Профессор) Отправлен: 31.10.2005, 14:54 |
© 2001-2005, RusFAQ.ru, Россия, Москва. Все права защищены.
Идея, дизайн, программирование, авторское право: Калашников О.А.
Subscribe.Ru
Поддержка подписчиков
Другие рассылки этой тематики
Другие рассылки этого автора
Подписан адрес:
Код этой рассылки:
science.exact.mathematicsfaq
Архив рассылки
Отписаться
Вспомнить пароль
| В избранное | ||
