Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Декабрь 2019   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

kovalenina
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 247
∙ повысить рейтинг » 		Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 152
∙ повысить рейтинг » 		Лангваген Сергей Евгеньевич
Статус: Советник
Рейтинг: 39
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2603
Дата выхода:06.12.2019, 16:15
Администратор рассылки:Гордиенко Андрей Владимирович (Профессионал)
Подписчиков / экспертов:113 / 107
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 197272: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Объясните, пожалуйста, почему в этом задании нужно возводить в квадрат. Я не понимаю решения. Заранее спасибо за объяснение. ...

Консультация # 197272:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Объясните, пожалуйста, почему в этом задании нужно возводить в квадрат. Я не понимаю
решения. Заранее спасибо за объяснение.

Дата отправки: 01.12.2019, 07:57
Вопрос задал: pelageya.romanyuk2002 (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, pelageya.romanyuk2002!
Дано: Сумма векторов а→ + b→ + с→ = 0 , |а| = 10, |b| =12 , |с| = 14 .
Вычислить сумму скалярных произведений векторов S = a→·b→ + b→·с→ + а→·с→ .

Решение : "Суммой нескольких векторов а→ + b→ + с→ называется вектор d→ , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника" (аннотация из учебной статьи "Сложение и вычитание векторов" Ссылка1 )
Согласно условию задачи сума векторов а→ + b→ + с→ равна нулю. Значит, конец по следнего вектора совпадает с началом первого, образуя замкнутый треугольник.

Задача не имела бы решения, если бы один из векторов был длиннее суммы 2х других. Но используя Основные неравенства треугольника
a+b>c ; a+c>b ; b+c>a убеждаемся , что задача имеет решение в виде треугольника, построение которого возможно.
Зная длины всех сторон треугольника, можно всегда вычислить все остальные элементы треугольника и решить задачу несколькими способами.

Решим задачу самым простым для понимания способом с использованием теоремы косинусов в треугольнике :
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(A)
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(B)
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(C)

cos(A) = (b2 + c2 - a2) / (2·b·c) = (144+196-100) / (2·12·14) = 5/7 = 0,714
cos(B) = (a2 + c2 - b2) / (2·a·c) = (100+ 196-144) / (2·10·14) = 19/35 = 0,543
cos(C) = (a2 + b2 - c2) / (2·a·b) = (100+144-196) / (2·10·12) = 48/240 = 1/5 = 0,2

Согласно Определению "Скалярным произведением двух ненулевых векторов a→ и b→ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними" (см Ссылка2 )
a→·b→ = |a|·|b|·cos(C) = 10·12·0,2 = 24
b→·c→ = |b|·|c|·cos(A) = 12·14·5/7 = 120
a→·c→ = |a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = 76

Сумма 3х скалярных произведений :
S = a→·b→ + b→·c→ + a→·c→ = 24 + 120 + 76 = 220

Сделаем простую проверку : сумма всех углов в тр еугольнике должна равняться 180° :
A = arccos(cos(A)) = 44,4°
B = arccos(cos(B)) = 57,1°
C = arccos(cos(C)) = 78,5°
A+B+C = 180,0° - проверка успешна!

Решения похожих задач : Ссылка3 , Ссылка4 , Ссылка5

Однако, несмотря на то, что сумма всех углов в треугольнике верна и проверена, мой Ответ в первой попытке решения +220 - НЕ правильный. Также неправильное решение на странице znanija.com/task/7768877 , по примеру которой я решал Вашу задачу.
Ст модератор Лысков Игорь Витальевич разъяснил нам отличие треугольника от векторов : цитирую : "Чтобы найти скалярное произведение, надо вывести оба вектора из одной точки! А тогда все углы получаются ТУПЫМИ! Соответственно, все косинусы - отрицательными!"
Большое Спасибо Игорю Витальевичу за помощь! Но Вам нельзя ссылаться на авторитет кого-либо в своём Ответе Вашим преподавателям (за ссылку на авторитет научного сотрудника мне снизили Оценку моей дипломной работы в 1975г, я запомнил это пожизненно).
На поисковом сайте я задал запрос : смысл скалярного произведения векторов . Привожу ответы:

На ru.wikipedia.org/wiki/Скалярное_произведение : Скалярное произведение… - операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат… В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов a и b определяется как прои зведение длин этих векторов на косинус угла между ними: (a,b) = |a|·|b|·cos(Alfa)
Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора"

На "Геометрический смысл скалярного произведения" Ссылка >> \ "Связь с проекциями" мы видим подтверждение предпочтительности работы именно с проекциями векторов друг на друга : Алгебраическое значение проекции вектора a на вектор b вдоль прямой, перпендикулярной b , очевидно, равно
|prba| = |a|·cos(a,b)
Аналогично |prab| = |b|·cos(a,b) .
Таким образом, скалярное произведение a·b = |a|·|prab| = |b|·|prba|

На Ссылка >> \ Пример1 : В равностороннем треугольнике ABC длины сторон равны 1. Вычислить AB→·BC→ + BC→·CA→ + CA→·AB→
AB→·BC→ + BC→·CA→ + CA→·AB→ = |AB|·|BC|·cos(AB,BC) + |BC|·|CA|·cos(BC,CA) + |CA|·|AB|·cos(CA,AB) = 1·1·cos(2·pi/3) + 1·1·cos(2·pi/3) + 1·1·cos(2·pi/3) = -3/2


Таким образом, мы запоминаем главное отличие: углы внутри треугольника - острые, а их смежные углы в векторных проекциях - тупые! Поэтому, после нахождения косинусов острых углов треугольника, надо перейти к отрицательным косинусам смежных углов между векторами. И тогда
a→·b→ = -|a|·|b|·cos(C) = 10·12·0,2 = -24
b→·c→ = -|b|·|c|·cos(A) = 12·14·5/7 = -120
a→·c→< /sup> = -|a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = -76

Сумма 3х скалярных произведений
S = a→·b→ + b→·c→ + a→·c→ = -24 -120 - 76 = -220
Исправленный Ответ : Сумма 3х скалярных произведений равна -220 .

Вы спрашивали "почему в этом задании нужно возводить в квадрат" - на доказательство правильности второго решения методом "Скалярный квадрат" моего старого ума не хватает, и мой лимит времени исчерпан.
Если Вам очень нужно такое доказательство, то никто не запретит Вам задать свой вопрос повторно со ссылкой на эту консультацию и уточнением о том, что задача уже решена, и Вы просите только разъяснение альтернативного метода.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 02.12.2019, 14:02
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное