Задача #23: Соотношение возрастов #2 (5 баллов).

Одноимённая задача из предыдущего выпуска вызвала интерес, поэтому я решил загадать ещё одну похожую... Как оказалось, решение не было столь трудным, поэтому за эту задачу даётся не 7, а всего 5 баллов, что тоже неплохо.

Теперь мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь. Когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам вместе будет 63 года. Сколько лет теперь каждому из нас?

Не забывайте вкратце (или полностью) писать свои рассуждения по поиску решения.

Прислать ответ ведущему

Задача #24: Смекалка кузнеца Хечо (4 балла).

Путешествуя прошлый летом по Грузии, мы иногда развлекались тем, что придумывали всевозможные необыкновенные истории, навеянные каким-нибудь памятником старины.
Как-то раз подошли мы к одинокой древней башне. Осмотрели её, присели отдохнуть. А был среди нас студент-математик; он тут же придумал занятную задачу:
"Назад тому лет 300 жил здесь князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жёны богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги князевы.
Рассвирепел князь и решил назавтра казнить обоих, на ночь же приказал их запереть вот в эту высокую, мрачную, заброшенную, недостроенную башню, а вместе с ними ещё и служанку Дариджан, девочку-подростка, которая помогала им бежать.
Не растерялся в башне Хечо, осмотрелся, поднялся по ступенькам в верхнюю часть башни, в окно выглянул - прыгать невозможно, разобьёшься. Тут заметил Хечо около окна забытую строителями верёвку, перекинутую через заржавленный блок, укреплённый повыше окна. К концам верёвки были привязаны пустые корзины, к каждому концу - по корзине. Хечо вспомнил, что при помощи этих корзин каменщики поднимали вверх кирпич, а вниз спускали щебень, причём, если вес груза в одной корзине превышал вес груза в другой примерно на 5-6 кг (в переводе на современные меры), то корзина довольно плавно опускалась на землю; другая корзина в это время поднималась к окну.
Хечо на глаз определил, что Дариджан весит около 50 кг, служанка не более чем 40 кг. Свой вес Хечо знал - около 90 кг. Кроме того, он нашёл в башне цепь весом в 30 кг. Так как в каждой корзине могли поместиться человек и цепь или даже 2 человека, то им всем троим удалось спуститься на землю, причём спускались они так, что ни разу вес опускающейся корзины с человеком не превышал веса поднимающейся корзины более чем на 10 кг.
Как они выбрались из башни?"

Прислать ответ ведущему

Задача #25: В три хода (2 балла).

Положите на стол 3 кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, а в другую - 7, а в третью - 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Это возможно, так как общее число спичек - 24 - делится на 3 без остатка; при этом требуется соблюдать такое правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то и добавить к ней можно только 6, если в кучке 4 спички, то и добавить к ней можно только 4.
Задача решается в 3 хода.

Прислать ответ ведущему

Задача #26: Кошки (1 балл).

Скажите, сколько в комнате кошек, если в каждом из четырёх углов комнаты сидит по одной кошке, напротив каждой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?

Прислать ответ ведущему

Задача #27: Слон и комар (3 балла).

Один любитель математических развлечений, занимаясь как-то различными преобразованиями алгебраических выражений, пришёл к странному выводу, что вес слона равен весу комара! Он рассуждал следующим образом:

Пусть x - вес слона, а y - вес комара. Обозначим сумму этих весов через 2v:

x + y = 2v.

Из этог равенства можно получить ещё два:

x - 2v = - y   и   x = - y + 2v.

Перемножим почленно последние два равенства:

Извлекая квадратный корень из обеих часте последнего равенства, получим: x - v = y - v, или x = y, то-есть вес слона (x) равен весу комара (y).

Разберитесь-ка, в чём тут дело?

Прислать ответ ведущему

Итого можно набрать: 15 баллов.
За правильное решение всех задач выпуска начисляется бонус в размере 20%, т.е. 3 балла.

Задача #18: 100% экономии.

Условие задачи: Некто узнал о трёх изобретениях: одно из них экономит 30% топлива, другое - 45%, третье - 25%. Этот человек решил применить все три изобретения сразу, предполагая сэкономить 30% + 45% + 25% = 100% топлива. Но разве это так? Сколько процентов экономии он получит на самом деле?

Ответ: Никакими изобретениями нельзя довести экономию топлива до 100%, так как энергия не может возникнуть "из ничего". Подсчёт следует производить так. Пусть до применения изобретений расходуется 100 кг топлива. После применения изобретения, экономящегося 30%, топлива будет расходоваться 70 кг. Второе изобретение экономит 45% от 70 кг топлива, т.е. снижает расход топлива до 0.55 х 70 = 38.5 кг. Следующее изобретение экономит 20% от 38.5 кг топлива, т.е. снижает расход топлива до 0.75 х 38.5 кг = 28.875 кг. Общая экономия топлива равна 100 кг - 28.875 кг = 71.125 кг, что и составляет 71.125% экономии.

Количество правильных ответов: 14 из 22 (64%).

Правильно ответили и получили по 3 балла: Roman Surkov, Дмитриевский Сергей, Alex 3.14, Tatura, Dark Lady, Анна, Лиза, Vasilij Nakvasuyk, Сынтин А.В., .gluck, черкасов, Comar, old83@bk.ru, Солохин.

Задача #19: Деревянные кубики.

Условие задачи: Представьте себе деревянный куб со сторонй 3 дм, вся поверхность которого окрашена в чёрный цвет.
а) Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 дм?
б) Сколько получится таких кубиков?
в) Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
г) Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
д) Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
е) Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
ж) Сколько кубиков будет неокрашенных?

Ответ: а) Шесть разрезов; б) 27 кубиков; в) ни одного; г) восемь - столько, сколько вершин у куба; д) двенадцать - столько, сколько рёбер у куба; е) шесть - столько, сколько граней у куба; 7) один.

Количество правильных ответов: 19 из 21 (90%).

Правильно ответили и получили по 3 балла: Roman Surkov, Sergey Suvorov, Svet, Аббясова Ирина, Дмитриевский Сергей, astra, Alex 3.14, Tatura, Анна, Лиза, Vasilij Nakvasuyk, Сынтин А.В., .gluck, черкасов, Comar, old83@bk.ru, Солохин, Berezovskiy@nwgsm.com, Oksana Suvorova.

Задача #20: Соотношение возрастов.

Условие задачи: Сейчас мне и вам вместе 86 лет. Число моих лет составляет 15/16 от возраста, который вы будете иметь тогда, когда мой возраст составит 9/16 от того числа лет, которое вы имели бы, если бы дожили до такого возраста, который в два раза больше числа моих лет в тот момент, когда я могу быть вдвое вас старше.
Сколько лет мне и сколько вам?

Ответ: Мне 75 лет, вам - 11 лет.

Подробно рассказывать о решении не буду, иначе будет проще решить аналогичную задачу из этого выпуска... :)

Количество правильных ответов: 12 из 14 (86%).

Правильно ответили и получили по 7 баллов: Roman Surkov, Alexis, Svet, Дмитриевский Сергей, Tatura, Анна, Vasilij Nakvasuyk, Сынтин А.В., .gluck, Comar, old83@bk.ru, Oksana Suvorova.

Задача #21: Вопросы для школьников.

Условие задачи: Чисто математическая формулировка должна быть достаточно полной, но без ненужных слов. Краткость и точность математического языка является его отличительной и в то же время красивой чертой.
Найдите ненужные слова в следующих знакомых вам математических предложениях:
а) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
б) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий ему острый угол содержит 30 градусов.

Ответ: а) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. б) Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол содержит 30 градусов.

Честно говоря, не думал, что эта задача окажется трудной... Некоторые вообще присылали предложения без изменений.

И хотя за задачу давался всего 1 балл, она не позволила многим получить бонус.

Количество правильных ответов: 5 из 18 (28%).

Правильно ответили и получили по 1 баллу: Roman Surkov, Svet, Лиза, Сынтин А.В, old83@bk.ru.

Задача #22: Возраст ребёнка.

Условие задачи: Возраст ребёнка, увеличенный на 3 года, даёт число, из которого точно извлекается квадратный корень, и если действительно извлечь корень из этого числа, то получится возраст ребёнка, уменьшеный на 3 года.
Сколько лет ребёнку?

Ответ: 6 лет.

Квадратный корень из числа 4 - это всё-таки 2, а не -2, несмотря на то, что -2 в квадрате - это 4! Некоторые пришли к выводу, что ребёнок ещё не родился. :)

Количество правильных ответов: 18 из 20 (90%).

Правильно ответили и получили 1 балл: Roman Surkov, Sergey Suvorov, Alexis, Svet, Дмитриевский Сергей, astra, Alex 3.14, Tatura, Dark Lady, Анна, Лиза, Vasilij Nakvasuyk, Сынтин А.В., .gluck, черкасов, Comar, old83@bk.ru, Шешуков А.И.

"Реальные" баллы начнут засчитываться только с начала зимнего сезона (с декабря 2005 года). В столбце "За прошлый выпуск" указано количество баллов, полученное участником за решение задач из прошлого выпуска, ответы на которые даны чуть выше. В столбце "Баллы" указано суммарное число баллов каждого участника.

Как и говорил, за правильное решение всех задач выпуска начислено +3 балла (итог - 18). Бонус получили: 3 участника (выделены фиолетовым цветом).

Страница рассылки: http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.voltage
Архив рассылки: http://subscribe.ru/archive/rest.brain.voltage
Одноимённые дискуссионные листы: http://subscribe.ru/catalog/rest.brain.overload; http://groups.yahoo.com/group/brace-brain.

На этом прощаюсь с Вами ровно на одну неделю. До встречи!

Ведущий рассылки, Андрей Ерёмин.