Напряги мозг! (выпуск 34; выпуск задач от 22.06.06)
Напряги мозг!
Выпуск задач от 22.06.2006
Да уж, дамы и господа…
лето на носу… купаться,
загорать, гулять - какие
тут задачки? Ведущие, хоть
и с трудом, но пробились
к вам… думайте теперь
вы :-)
1. 4 мяча
Есть 4 мяча… Допустим, баскетбольных…
Вопрос: Положите их так, чтобы каждый касался трех остальных.
Королевская праздничная речь: "Чтобы увековечить нашу великую победу над Испанской Армадой,
которая сделала Наше Величество Номером Один в Европе, мы сочинили следующую официальную загадку. Придумайте два числа, состоящих
только из единиц, которые, если их сложить вместе или умножить друг на друга, дадут один и тот же результат. Молю Бога, чтобы
никто из вас не лишился головы, пытаясь найти ответ."
Три брата получили 24 яблока, причем каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет
три года тому назад. Самый младший, мальчик очень смышленый, предложил братьям такой обмен яблоками: Я, - сказал он,
- оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну; после этого пусть наш средний
брат тоже оставит себе половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату половину, а затем и старший брат пусть оставит
себе половину всех имеющихся у него яблок, а остальные разделит между мной и средним братом поровну. Братья, не подозревая
коварства в таком предложении, согласились удовлетворить желание младшего. В результате... у всех оказалось яблок поровну.
Каждый раз после прочтения "Понедельник начинается в субботу", достаю чистую тетрадь и начинаю
размышления (очень хочется поймать авторов на ошибке). Вот и сейчас, предыдущая тетрадь куда-то задевалась. И я опять достал
новую. Условия просты: Один из героев Янус Полуэктович Невструев един в двух лицах: "А-Янус" – живет, как и все
мы, в обычном времени: После завершения вторника у него начинается среда. После завершения среды – начинается четверг.
И так далее. Второй герой - "У-Янус" – живет в кусочно-отрицательном времени: После завершения пятницы ровно в полночь
у него начинается четверг. После завершения четверга – у него начинается среда. И так далее. Переход осуществляется
каждый день точно в полночь. В течение каждого дня оба лица Януса живут рядом друг с другом в обычном "положительном" времени. Я
отчетливо помню, что уже несколько раз приходил в своих рассуждениях к двум логичным утверждениям: 1. ПОНЕДЕЛЬНИК НАЧИНАЕТСЯ
В СУББОТУ. 2. ПОНЕДЕЛЬНИК ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В СУББОТУ.
- Сколько за штуку? - спросил покупатель в магазине. - Двадцать рублей, - ответили ему. -
Если я возьму двадцать, сколько с меня? - Сорок рублей. - Я возьму сто двадцать. - Прекрасно. С вас шестьдесят рублей.
Передо мной большой перекресток. Я хожу туда-сюда по прямой, по поперечной и по диагональным
дорогам и, как ни странно, всегда прихожу к дому номер 1110.
Вопрос: Что у меня в руках и что я делаю?
Примечание: Думаю, многим это приходилось делать от безделья или от любопытства.
Хотите, докажу, что в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе? Почему не может
быть? На самом деле может, если второй катет равен нулю. Но я докажу на примере треугольника, у которого второй катет НЕ
равен нулю. Смотрим. Имеем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B (можете, в принципе, нарисовать это на бумаге
для наглядности). В нём мы провели среднюю линию MN к стороне AB... Затем провели биссектрису AS из угла A, а точку пересечения
MN и AS назвали P. из этой точки P опускаем две высоты на стороны AC и AB (PD и PE соответственно). Плюс соединим точку P
с точками B и C. Должен получиться примерно такой же рисунок. А теперь я докажу, что катет AB равен гипотенузе AC. Всё еще
не верим? Читаем ниже. А) Внимательно следим за ходом рассуждения, где-то я Вас буду накалывать. Итак, рассмотрим треугольники
BPM и CPM: оба прямоугольные (углы при вершине M прямые, так как средняя линия MN параллельна катету BA, а значит, перпендикулярна
катету BC), и стороны у них попарно равны: MP - общая сторона, а BM=CM из определения средней линии... по двум сторонам и
углу между ними заключаем: треугольник CPM равен треугольнику BPM - Верим или не верим? Доверяем, но проверяем! Равенство
1 (Р1): CPM=BPM - ДОКАЗАНО Б) Теперь рассмотрим треугольники AEP и ADP: углы при вершине A - равны, так как AS - биссектриса,
углы при вершинах D и E - так же равны, они прямые, так как PD и PE - высоты. Можем заключить, что и углы при вершине P так
же равны, ведь сумма углов треугольника всегда 180 градусов. Плюс сторона AP у них общая, а значит, по стороне и двум прилежащим
углам можно утверждать, что треугольник APD равен треугольнику APE. всё верно? Пока не наколол? Или уже чепуху несу? Равенство
2 (Р2): APD=APE - ДОКАЗАНО Теперь внимательно...... ОЧЕНЬ внимательно....... Рассмотрим треугольники BEP и CDP: оба
прямоугольные, так как угол при вершине в точках D и E - прямой (PD и PE - высоты), гипотенузы CP и BP - равны из Р1, а катеты
PD и PE равны из Р2... по простейшей формуле a2+b2=c2 (сумма квадратов катетов равна квадрату
гипотенузы) заключаем и то, что в этих прямоугольных треугольниках и вторая пара катетов равна (DC=EB). Утверждая равенство,
можно заключить, что треугольник BEP равен треугольнику CDP Равенство 3 (Р3): BEP=CDP - ДОКАЗАНО Всё верно?
Я же честный, как я могу вас обманывать? Знаю, что треугольники совсем не похожи. Но они равны! Читаем предыдущий абзац.
Ладно, продолжим: из Р2 следует, что AD=AE из Р3 следует, что DC=EB Возьмём эти два равенства и сложим: AD+DC=AE+EB AD+DC
- это же наша гипотенуза AC, а AE+EB - это соответственно катет AB. И что получилось? AC=AB Катет равен гипотенузе.
Вот и верь после этого математикам!
Вопрос: Покажите (процитируйте, прокомментируйте) ту часть доказательства,
в которой я Вас обвёл (по крайней мере, попытался) вокруг пальца.