Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

"Математические олимпиады и олимпиадные задачи"

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "О деньгах, инвестициях и личных финансах" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Роман Семизаров

Статистика

4.485 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

"Математические олимпиады и олимпиадные задачи"


Служба Рассылок Subscribe.Ru проекта Citycat.Ru
Здравствуйте, друзья.

Поступления ЗАдачной БазЫ

Сегодня, 2.03.2001 в ЗАдачную БазУ добавлены задачи из первых трёх глав сборника "Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения", составленного Сергеем Ивановым: Уровень сложности задач примерно соответствует кружкам математики 6-9 классов, хотя многие из них будут интересны и старшеклассникам. Сборник составлен по материалам кружка, занимавшегося в Ленинградском дворце пионеров в 1989-90 годах под руководством С.В.Иванова и С.К.Смирнова, которые, в свою очередь, опирались на своих предшественников и учителей. Следует учитывать следующие обстоятельства:
  • Кружок, о котором идёт речь, был весьма сильным кружком с ярко выраженной олимпиадной направленностью.
  • Помимо решения задач на занятиях объяснялся также теоретический материал, знание которого предполагается во многих главах.
  • Задачи внутри глав расположены примерно в том порядке, в котором они предлагались на кружке

Чётность

В этой главе собраны задачи, в которых четность является главной идеей. В их решениях часто используются следующие полезные соображения:
  • если преметы разбиты на пары, то их общее количество четно,
  • если предметы двух сортов расставлены по кругу и чередуются, то их четное число,
  • четность суммы нескольких чисел определяется четностью количества нечетных слагаемых,
  • знак произведения определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Отметим, что идея четности встречается и в других главах. Много задач, связанных с ней, помещено в главы "Инварианты" и "Замощения".

Принцип Дирихле

Формулировка принципа Дирихле очень проста: "в n клеток нельзя посадить больше n кроликов, если в клетке помещается только один кролик". Однако многие сложные задачи решаются с помощью этого принципа - нужно только правильно указать, что является "кроликами", а что - "клетками".

Принцип Дирихле имеет многочисленные обобщения. Вот два из них:

  • если kn+1 предметов разбиты на k групп, то в одной из групп не меньше n+1 предметов,
  • если сумма n чисел больше nk и m меньше n, то можно выбрать m из этих n чисел с суммой больше mk (например, это m самых больших чисел набора).
Конечно, не все задачи этой главы укладываются в описанные схемы. Некоторые из них, например, используют "зацикливание" последовательностей, в которых каждый член определяется по предыдущему (иногда даже можно доказать, что цикл начинается с самого начала). Во многих задачах принцип Дирихле примеяется вместе с другими идеями. Более тонкие применения принципа Дирихле можно найти во многих "задачах на прямоугольных досках" и "задачах с числами".

Инварианты

Все задачи этой главы имеют похожие условия. В них описываются некоторые действия (операции), совершаемые над каким-то объектом, и требуется доказать, что чего-то этими операциями добиться нельзя. Решение состоит в отыскании некоторого свойства, которое сохраняется при операциях, но отсутствует в конечном состоянии. Такие свойства называются инвариантами. В близком родстве с инвариантами состоят полуинварианты - величины, которые все время увеличиваются (или все время уменьшаются) при операциях. Несколько задач на полуинварианты можно найти в теме "Смесь".

Обратите внимание на задачи 28, 30, 31 и 37. Они посвящены важному понятию "четность перестановки".

Задачи выпуска

Решения задач присылайте по адресу zaba7@bigfoot.com.

Задача 7. (С.В.Иванов. МК, задачник 1-2 года. Чётность) В квадрате 25 x 25 стоят числа 1 и -1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

Задача 8. (С.В.Иванов. МК, задачник 1-2 года. Принцип Дирихле) Доказать, что среди 11 бесконечных десятичных дробей найдутся две, совпадающие в бесконечном числе разрядов.

Задача 9. (С.В.Иванов. МК, задачник 1-2 года. Инварианты) В ряд выписаны числа от 1 до 1991. Разрешается брать любые 4 числа и переставлять их в обратном порядке. Можно ли такими операциями получить ряд 1991, 1990, ..., 2, 1?

Роман Семизаров.
roma7@bigfoot.com
http://problems.lgg.ru

http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru
Поиск
В избранное