Почти полностью переписан скрипт tasks.cgi, заведующий доступом к
задачной базе, в частности существенно изменился дизайн генерируемых страниц.
Кроме того, приняты меры по увеличению скорости работы и
уменьшению нагрузки на сервер.
В настоящее время ведётся работа по развитию базы, причём не только
в плане увеличения количества задач. В связи с этим очень хочется,
узнать мнение постоянных пользователей: чего не хватает, чем
стоило бы заняться в первую очередь...
Или, может быть, всё уже идеально, надо только задачи добавлять?
Пишите на zaba7@bigfoot.com и в
Гостевую книгу.
Нам важно знать Ваше мнение, чтобы расходовать время и силы с максимальной
эффективностью.
Задачи отборочного тура Санкт-Петербургской математической олимпиады.
Отборочный тур оказался довольно сложным, что можно увидеть по
результатам.
Для попадания в команду Санкт-Петербурга на Всероссийской олимпиаде
девятиклассникам достаточно было решить 4 задачи, десятиклассникам и
одиннадцатиклассникам - три задачи. Решившие соответственно три и две задачи
продолжат выяснять отношения на перебое по варианту зональной олимпиады
на следующей неделе.
Обращает на себя внимание, что девятиклассники написали
вариант гораздо лучше, чем десятиклассники (задачи у них были одни и те же).
Более того, все семеро восьмиклассников, выступавших за девятый класс,
решили не менее двух задач, что удалось только восьмерым из двух десятков
участвовавших десятиклассников.
Неравенство треугольника.
Неравенство треугольника традиционно является первой
геометрической темой в кружках математики, и серию задач по
геометрии в этом сборнике открывают задачи на его применение.
Кроме неравенства треугольника, в них могут понадобиться
несложные дополнительные построения и некоторое представление о
симметрии и равенстве фигур.
Геометрические задачи.
Геометрия в седьмом классе еще мало знакома школьникам, и
поэтому эта глава больше похожа на приложение к школьному
учебнику, чем на олимпиадный сборник. По этой же причине она не
разбита на более мелкие части. Сюда включены задачи на равенство
треугольников, суммы углов, теорему Фалеса, площади, а также
некоторые свойства окружностей.
Комбинаторная геометрия.
Комбинаторная геометрия~-- одна из самых красивых областей
математики. Простота формулировок в ней часто сочетается со
сложностью и неожиданностью решений. Даже среди приводимых ниже
задач для младшеклассников есть такие, от которых "один шаг" до
сложных теорем и нерешенных проблем.
Всего добавлено 130 задач. Всего задач теперь 5390.
Задачи выпуска
Сегодня мы публикуем несколько не очень простых задач только что прошедшего
оторочного ткра Санкт-Петербургской олимпиды.
Если Вы решите хоть одну задачу из этих задач, присылайте решение
по адресу zaba7@bigfoot.com. Мы с благодарностью добавим лучшие
из них в базу.
Задача 13.
В стране n городов, из некоторых ведут дороги в города
той же страны или за границу (при этом два города могут соединяться
более чем одной дорогой).
Известно, что из любого города выходит не более n дорог,
и из любых двух городов, не соединенных между собой,
выходит в сумме не более n дорог.
Докажите, что всего дорог (внешних и внутренних)
не более n(n+1)/2.
Задача 14.
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n таких, что
наибольший простой делитель числа n4+1 больше 2n.
Задача 15.
Внутри остроугольного треугольника ABC выбираются произвольная точка M
такая, что сумма углов AMC и ABC равна 180 градусам. Прямые AM и CM
пересекают стороны BC и BA соответственно в точках D и E. Докажите,
что описанные окружности треугольника BDE проходит через некоторую
фиксированную точку, не зависящую от выбора точки M (отличную от B).