Напряги мозг

  Все выпуски  

Напряги мозг Ответы к выпуску задач от 24 декабря 2012 г.


От ведущей Приветствую всех в Новом 2013 году!
Благодарю тех, кто даже в новогодние выходные выделил время на решение задач выпуска!
Особенно хочу отметить участника JoKa Fern Lowd, который первый и единственный до подсказки, выползшей в новогоднем выпуске, совершенно точно ответил на вызвавшую затруднение задачу "Группировка чисел".
Держите свою заслуженную медаль!
Кстати, подсказка была сделала не нарочно, но ничего менять не стала - новогодний подарок =)
Ответы к выпуску задач от 24 декабря 2012 г.
Сезон: зима 2012/2013
Математика Быстрый салат
Для салата на обед понадобилось 3 ингридиента: огурцы по 20 рублей за килограмм, помидоры за 40 рублей килограмм и перец по 70 рублей за килограмм. Всех ингридиентов было взято целое число килограмм. В итоге мы получили 8 килограмм салата общей стоимостью 320 рублей.
Вопрос: Сколько каждого ингридиента потребовалось для салата?
Баллы: 2.0 Правильных ответов: 96.43% (27 из 28)
Мнение участников: 0 (+0/-0)
Код задачи:
QUICKSALAD
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: 2 кг перца, 3 кг помидоров, 3 кг огурцов
Комментарий: Так как каждого ингридиента было взято целое число килограм, перца может быть 1, 2, 3 или 4 килограмма. Более 4 килограмм быть не может из-за цены (поэтому с перца и начали), менее 1 кг быть не может, так как по условию перец в салате всё же есть. 1 и 3 кг не подходят, так как в этом случае на 2 других ингридиента приходится нечётное число десятков рублей, которые ценами 20 и 40 рублей будет не покрыть без остатка. 4 кг перца быть не может, так как на оставшиеся 4 кг ингридиентов остаётся 40 рублей, что тоже невозможно. Получается, перца было 2 кг. Оствшиеся 180 рублей однозначно делятся между помидорами (3×40) и огурцами (3×20)
А также отвечали...
∙ огурцов взяли 0 кг, помидор - 8 кг, перец - 0 кг
...для салата на обед понадобилось 3 (!) ингридиента
Математика Пешком или на авто?
Инженер, работающий за городом, ежедневно приезжает на станцию в 8 часов 30 минут. Точно в это же время к станции подъезжает "Жигули" и, не задерживаясь, отвозит инженера на завод.
Однажды инженер приехал на станцию в 8 часов и, не дожидаясь автомобиля, пошёл пешком к заводу. Встретив на пути "Жигули", он сел в неё и приехал на завод на 10 минут раньше, чем обычно.
Вопрос: Сколько было на часах в момент встречи инженера с "Жигулями" и во сколько раз медленнее он идёт пешком, чем едет на автомобиле?
Комментарий: Скорости автомобиля и пешехода считать постоянными, время на разворот и "подбирание" пассажира автомобилем не учитывать
Баллы: 3.0 Правильных ответов: 88.89% (16 из 18)
Мнение участников: 2 (+2/-0)
Код задачи:
CAR
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: 8:25, в 5 раз.
Комментарий: Обозначим место встречи автомобиля с инженером как Х. Автомобиль приехал на завод на 10 минут раньше обычного, при этом автомобиль не проехал расстояние от Х до станции и обратно. Таким образом, от Х до станции и обратно до Х автомобиль проехал бы за 10 минут, а путь в одну сторону - 5 минут. Значит, в месте Х он был за 5 минут до назначенного времени, т.е. в 8:25. Инженер прошёл пешком время от 8 часов, когда он был на станции, до 8:25, когда встретился с жигулями, то есть затратил на путь от станции до Х 25 минут. Это в 5 раз больше, чем потребовалось бы жигулям, потому как скорость инженера в 5 раз меньше.
А также отвечали...
∙ Следовательно, инженер идет пешком в 5 раз медленнее, чем едет автомобиль (шустрик).
...или Жигуль-черепашка...
Задачу прислал(а) Кое-кто из прошлой жизни клуба
Комбинаторика Разноцветный квадрат
У вас есть 25 карточек пяти цветов, по пять карточек каждого цвета. В каждой одноцветной группе карточек все карточки пронумерованы цифрами от 1 до 5. Таким образом нет двух идентичных карточек.
Вопрос: Разложите карточки в квадрат так, чтобы ни на одной вертикали, горизонтали и диагонали не встречалось двух идентичных цветов и двух одинаковых цифр.
Баллы: 4.5 Правильных ответов: 75.00% (15 из 20)
Мнение участников: 2 (+2/-0)
Код задачи:
COLORED_SQUARE
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ:
Логика Шифр
Паоувюойлдясстьетпчектьяисодптткбель
Вопрос: ?
Баллы: 4.5 Правильных ответов: 100.00% (15 из 15)
Мнение участников: 2 (+2/-0)
Код задачи:
CODE
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: 14
Комментарий: Один из древнейших шифров, известный как Квадрат Цезаря. Суть шифра в том, что фраза, состоящая из числа букв, равного квадрату натурального числа, записывается к строки по длине корня квадратного из общего числа букв, потом переписывается снова в строку, но из квадрата берутся уже столбцы. Пример:
ВЕЛОСИПЕД ВЕЛ
ОСИ
ПЕД
ВОПЕСЕЛИД
Шифр простой, и как Вы уже могли догадаться, расшифровывается он точно также, как шифруется. Посмотрим, что было в задаче:
Паоувюойлдясстьетпчектьяисодптткбель Паоувю
ойлдяс
стьетп
чектья
исодпт
ткбель
Посчитайтесколькобудетдевятьплюспять
Задачу прислал(а) Кое-кто из прошлой жизни клуба
Логика Половина точек
На плоском листе бумаги чётное число точек. Некто захотел провести прямую, не проходящую ни через одну из этих точек и делящую лист так, что с каждой стороны от этой прямой находится ровно половина этих точек.
Вопрос: Как ему это сделать?
Комментарий: У вас в наличии только карандаш и линейка.
Баллы: 4.5 Правильных ответов: 83.33% (10 из 12)
Мнение участников: -1 (+0/-1)
Код задачи:
HALF_DOTS
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: Проведём прямые через все пары точек. Выберем точку А, не лежащую ни на одной из этих прямых. Проведём произвольную прямую, проходящую через точку A и не проходящую ни через одну из начальных точек. Если число точек с двух сторон от этой прямой одинаково, она и является искомой. Если это не так, то в одной полуплоскости, образованной этой прямой, точек больше половины, в другой - меньше половины. При непрерывном вращении этой прямой относительно точки A в плоскости листа число точек в полуплоскости меняется единичными скачками, так как точка A по способу построения не лежит на одной прямой ни с какими двумя поставленными на листе точками. При повороте на 180 градусов полуплоскости меняются местами, число точек в полуплоскости большее половины сменяется числом меньшим половины, а значит, при каком-то угле поворота проходит значение равное половине количества всех точек. Нам нужно поворачивать прямую от начального положения до тех пор, пока это не произойдёт.
Комментарий: При реальном построении нам можно поворачивать линейку вокруг точки A, отсчитывая как меняется число точек с одной стороны от линейки до тех пор, пока оно не станет равным половине общего числа точек.
А также отвечали...
∙ Проведем через каждые 2 точки прямую. Если точек 2N, то прямых получится не более N(2N-1), то есть конечное число. Значит существует прямая, которая непараллельна ни одной из этих прямых. Даже бесконечно много таких прямых, но мы выберем одну L. Далее через каждую точку проведем прямую, параллельную выбранной. Все вновь проведенные прямые различны из-за выбора прямой L. На каждой прямой лежит ровно одна точка из 2N отмеченных. Эти 2N прямых разбивают плоскость на 2N-1 полос и 2 полуплоскости. Возьмем среднюю их 2N-1 полос (с каждой стороны N-1 полос) и проведем в ней еще одну прямую, параллельную L. Она искомая: с каждой стороны от неё лежит по N параллельных ей прямых, а значит и по N выбранных точек.
∙ 1. Проводим прямые через все пары 2k точек.
2. Выделяем несколько точек, образующих каркас выпуклого многоугольника, содержащего в пределах своих границ все заданные точки. (если все точки лежат на одном отрезке, будем считать его частным случаем многоугольника)
3. Выбираем произвольную точку ВНЕ этого многоугольника, не лежащую ни на одной из проведенных прямых.
4. Из этой точки проведем 2k (несовпадающих!) лучей через заданные точки. Перенумеруем лучи по порядку.
5. Проводим прямую через выбранную точку между к-ым к+1-ым лучом. Каждая полуплоскоть от нее будет содержать по k точек.
∙ провести линию ровно по середине листа (на линии точки не лежат)
интересный подход =)
Задачу прислал(а)  C  JoKa Fern Lowd (jok∗.by)
Комбинаторика Яблони и вишни в ряд
Садовник сажает яблони и вишни. Он хочет посадить 20 деревьев в ряд так, что никакие 2 вишни не стояли подряд и 3 яблони не стояли подряд.
Вопрос: Сколькими способами он может это сделать?
Баллы: 4.5 Правильных ответов: 75.00% (9 из 12)
Мнение участников: 0 (+0/-0)
Код задачи:
APPLE_AND_CHERRY_TREES
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: 465 способов
Комментарий: Рассмотрим варианты размещения деревьев. Вишни могут стоять только одиночно, окружённые яблонями или крайней по соседству с яблоней. Яблони могут представлять группы из 1 или 2 яблонь. Количество групп яблонь и вишен может различаться на 1 или быть равным. Таким образом, минимальное число вишен может быть 6 (если есть при этом 7 групп яблонь по 2), а максимальное - 10 (и 10 групп яблонь по 1). Получается, нам надо определить варианты количеств мест для групп яблонь, а потом для каждого варианта выяснить количество распределений яблонь по группам. Составим таблицу размещений:
Вишен Яблонь Групп
яблонь
Групп х1
яблонь
Групп х2
яблонь
Двойное
размещение
Итого
вариантов
10 10 11 12 -1    
10 10 10 10 0 да 2
10 10 9 8 1 нет 9
9 11 10 9 1 нет 10
9 11 9 7 2 да 72
9 11 8 5 3 нет 56
8 12 9 6 3 нет 84
8 12 8 4 4 да 140
8 12 7 2 5 нет 21
7 13 8 3 5 нет 56
7 13 7 1 6 да 14
7 13 6 -1 7    
6 14 7 0 7 нет 1
6 14 6 -2 8    
6 14 5 -4 9    

Давайте разберемся, что же тут написано =). Первый столбец - число вишен, как мы уже выяснили, от 10 до 6. Второй столбец - число яблонь. Их, естественно, 20 минус число вишен. Третий столбец - Групп яблонь. Их может быть на 1 больше групп вишен (так как вишни могут быть только в группе по 1, число вишен равно числу групп вишен), столько же или на 1 меньше групп вишен. Все варианты (+1/0/-1) рассмотрены в таблице. Далее два столбца, групп яблонь с разделением на одиночные и двойные, чтобы число групп и число яблонь соответствовало ранее заданным значениям. Если у нас получились на этом этапе отрицательные числа - данная комбинация невозможна. Предпоследний столбец - Двойное размещение. Если у нас число групп яблонь и вишен равны, мы можем каждую комбинацию распределения яблонь представить дважды - начиная с группы яблонь и группы вишен. Если же число групп отличается, то с краю может быть только определённая группа, и число вариаций - 1. Последний столбец. Количество размещений двух типов элементов без учёта порядка равно (n+m)!/(n!m!), где n и m это наши группы х1 и х2. Если при этом возможно двойное размещение, результат удваиваем. Сумма последнего столбца и есть искомый результат.

Эта задача была на олимпиаде Свердловской области (к вопросу о географии) в 2000 году.
А также отвечали...
∙ 72
∙ 425
∙ 558
Задачу прислал(а) Galkin Serg (gho∗.ru)
Логика Группировка чисел
Первая группа чисел пуста. Во второй всего одно натуральное число - число 1. Числа четыре, пять и шесть находятся в группах четыре, пять и шесть, но не единственные в своих группах. В группе 7 есть одно однозначное число, а в группе 8 первый раз встречается четырёхзначное число. Ноль тоже принадлежит одной из групп, эта группа не ноль. Группа ноль не имеет смысла.
Вопрос: Какое максимальное натуральное число в группе 10?
Баллы: 7.0 Правильных ответов: 83.33% (5 из 6)
Мнение участников: 2 (+2/-0)
Код задачи:
NUMBERS_GROUPING
Понравилась ли Вам задача? Да Нет
Правильный ответ: 11111
Комментарий: Числа сгруппированы по количеству сегментов 7-сегментного цифрового индикатора. Такие индикаторы можно увидеть практически во всех калькуляторах, на электронных часах, во многих банках для обозначения курсов валют, на заправках для индикации цен на бензин, а также в новогодней задаче про спички =)

Любое натуральное n+1 разрядное число больше n-разрядного, поэтому для начала выясним максимальное число разрядов для числа в ответе. Нам для этого нужна цифра с минимальным числом сегментов. это 1 с двумя сегментами. в группе 10 может быть 5 единиц (10 сегментов для обозначения числа 11111). Любые другие числа в группе 10 меньше этого числа.
А также отвечали...
∙ PS. Спасибо за новогодний подарок! Я был слеп, как крот.
Но как отвечали участники...
Зеленым цветом отмечены верные ответы, серым - неверные,
оранжевым - участник, приславший эту задачу (если таковой есть).
Если Вы не согласны с решением ведущей не засчитать (или, наоборот, засчитать)
Ваш ответ на какой-либо вопрос, пишите магистрам и ведущей.
Ваш ответ будет пересмотрен и, вполне возможно, решение изменится.
Если Вы уверены в своей правоте и готовы это доказать - не стесняйтесь!
Группировка чисел
83.33% (5 из 6)
Яблони и вишни в ряд
75.00% (9 из 12)
Половина точек
83.33% (10 из 12)
Шифр
100.00% (15 из 15)
Разноцветный квадрат
75.00% (15 из 20)
Пешком или на авто?
88.89% (16 из 18)
Быстрый салат
96.43% (27 из 28)
Участник Баллы: 2.0 Баллы: 3.0 Баллы: 4.5 Баллы: 4.5 Баллы: 4.5 Баллы: 4.5 Баллы: 7.0 Итог
Aleksey D. Tetyorko (ale∗.ru) +2.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +20.0
brigadir2015 (bri∗.ru) +2.0 +2.0
Galkin Serg (gho∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +7.0 +30.0 +6.0 = +36.0
 C  JoKa Fern Lowd (jok∗.by) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +7.0 +30.0 +6.0 = +36.0
Kirill A. Zhigulov (kzh∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +9.5
offtopic (sum∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +14.0
RAM (ram∗.com) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +23.0
 M  C  Sasha (sta∗.com) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +7.0 +30.0 +6.0 = +36.0
Tatiana (vel∗.ru) +2.0 0.0 0.0 0.0 +2.0
Александр Тарасов (tar∗.ru) +2.0 +2.0
Александр Тимофеев (a.t∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +18.5
Валиева Юлия (yus∗.ru) 0.0 +0.0
Вера Соловьева (bep∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 0.0 +9.5
Дмитрий Кондрашечкин (kon∗.ru) +2.0 0.0 +2.0
Иванов Иван (wsx∗.ru) +2.0 +2.0
   Игорь Бердышев (ber∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +7.0 +30.0 +6.0 = +36.0
Кирилл Венский (ven∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 0.0 0.0 +18.5
Кудрявцев Сергей (kud∗.ru) +2.0 +2.0
Лей Декер (dek∗.ru) +2.0 +2.0
Ляна (ber∗.net) 0.0 +0.0
Мальков Алексей (amb∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +14.0
Наталья Маслова (nat∗.ru) +2.0 +4.5 +6.5
   Николай Василенко (ste∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +23.0
Олег Свидрук (swi∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 0.0 +4.5 +18.5
руслан Кон (rko∗.ru) +2.0 0.0 0.0 +2.0
Удод Ю.В. (goo∗.ua) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +14.0
Чероченко Виктор (alp∗.ru) +2.0 0.0 +2.0
Юлия (ulc∗.ru) +2.0 +3.0 +4.5 +4.5 +4.5 +4.5 +7.0 +30.0 +6.0 = +36.0
 ♀  Юля (ju-∗.ru) +2.0 +3.0 0.0 +4.5 +9.5
Общее мнение участников о выпуске: 7 (+8/-1)
Верных ответов за выпуск: 87.39% (97 из 111)
Решив все задачи, можно было заработать 36.0 балл(а)(ов) (с учётом бонуса 20% за решение всех задач выпуска)
Для связи:
Ведущая: Kate
«Напряги Мозг» (2005-2013)
Это всего лишь игра...

В избранное