Математический кружок Занятие 6. Чётность. Несколько задач посложнее.

Здравствуйте, друзья.

Разбор некоторых задач

28. Ответ: нет, не могло. Если хотя бы одно из двух данных чисел чётно, то их произведение будет чётным, а если они оба нечётны, то чётной будет их разность. Значит результат должен быть чётным.

31. а) Нет, этого добиться нельзя. Сначала количество решек сверху было нечётным. Переворачивание одной монеты меняет чётность количества решек, значит после переворачивания двадцати монет, число решек останется нечётным. Значит чётное число решек, в том числе и ноль, получить нельзя.

б) В этом случае добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх, возможно. Сначала перевернём все монеты, кроме первой, потом - все, кроме второй, потом - все, кроме третьей, и т.д. После 20 операций каждая монета будет перевёрнута по 19 раз, а, значит, будет лежать орлом вверх.

33. Нет, не может. Возьмём какого-то конкретного человека и представим, что он с каждым из остальных 99-ти дружинников дежурил ровно по одному разу. Но на каждом дежурстве с ним дежурят два человека, поэтому он подежурит с чётным числом дружинников.

34. Обозначим через x, на сколько сторона второго по величине квадрата больше стороны самого маленького квадрата. Тогда сторона второго по величине квадрата равна 1+x. Сторона правого нижнего квадрата равна 2+x, так как его сторона равна сумме сторон двух меньших квадратов. Точно также, сторона правого верхнего квадрата равна 3+x, а левого верхнего - 4+x. Но из рисунка видно, что сторона последнего из рассмотренных квадратов на x больше стороны искомого квадрата. Ответ: 4.

Из решения видно, что, пользуясь данными задачи, невозможно определить стороны остальных квадратов (они зависят от x). Многие, отвечая эту задачу, говорили: из рисунка видно, что сторона второго по величине квадрата равна 2''. Такого рода наблюдения, конечно, неверны: рисунок задаёт лишь взаимное расположение квадратов.

36. Ответ: Три карточки - все кроме первой.

Чтобы утвержение было неверным, необходимо, чтобы нашлась карточка, на одной стороне которой написано чётное число, а на другой - не была бы написана гласная буква. Первая карточка таковой, очевидно, быть не может, а остальные - могут (на нижней стороне второй и третьей карточек могут оказаться чётные числа, а на нижней стороне четвёртой не быть гласной буквы).

Новые задачи

Чётность. Несколько задач посложнее

46. По кругу расставлены нули и единицы (и те, и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на 0, а остальные числа - на 1. Такую операцию проводят несколько раз. Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук? Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

47. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

48. Петя купил общую тетрадь из 96 листов и пронумеровал страницы числами от 1 до 192 по порядку. Хулиган Вася вырвал 25 листов и сложил 50 написанных на них чисел. Мог ли он в сумме получить число 2000?

49. Имеется таблица 1999 x 2001. Известно, что сумма чисел в любой строке нечётна. Докажите, что найдется столбец, сумма чисел в котором тоже нечётна.

50. На доске написаны числа от 1 до 2001. Разрешается производить следующую операцию: стереть два соседних числа и на их месте записать их разность. Может ли на доске остаться один 0?

Разнобой

51. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5, а бабушка - за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя).

52. Среди 5 деталей 4 стандартных, одинаковой массы, одна бракованная, отличающаяся по массе от остальных. Имеется еще одна отмеченная деталь (эталон). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах найти бракованную деталь?

53. В ряд стоят лжецы и рыцари. 7 человек на вопрос: "Верно ли, что все люди справа от Вас - рыцари, а слева - лжецы" ответили "да", а остальные - "нет". Сколько в ряду могло стоять лжецов?

54. Трое жильцов готовят обед на одной печи. Жилица - назовем ее для удобства Тройкиной - положила в общую печь 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 рублей. Как должны они поделить между собой эту плату?