Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математический кружок

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Работа и обучение за рубежом для студентов и не только!" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Октябрь 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Роман Александрович Семизаров

Статистика

2.740 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Математический кружок Разбор некоторых задач


Служба Рассылок Subscribe.Ru

Здравствуйте, друзья.

Выпуск получается довольно большим, поэтому я разбиваю его на две части. Сегодня - немного разбора, завтра (через несколько часов) - остальные материалы.

Задача 26.

На доске 25 x 25 расставлено 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Шашки, не стоящие на диагонали, разбиваются на пары симметричных, поэтому таких шашек чётное число. Всего же шашек 25 (нечётное число), поэтому не может случиться так, чтобы на диагонали не было шашек.

Задача 27.

Пусть расположение шашек в предыдущей задаче симметрично относительно обеих диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
Первый способ. Шашек, не стоящих на первой диагонали, чётное число, значит шашек, стоящих на этой диагонали нечётное число. Но шашки, которые стоят на первой диагонали, но не стоят на второй, разбиваются на пары симметричных относительно второй диагонали, Поэтому хоть одна шашка должна стоять на обеих диагоналях, то есть в центре.

Второй способ. Диагонали бьют доску на четыре равные части. Поскольку расположение симметрично, в этих частях поровну шашек (считаем, что, если шашка стоит на диагонали, то пол-шашки стоит в одной части и пол-шашки -- в другой). Но всего половинок'' шашек 25 x 2=50, а это число не делится нацело на 4.

Задача 29.

Можно ли разменять 25 тугриков десятью купюрами достоинством в 1, 3 и 5 тугриков?

Ответ: Нет, нельзя. Сумма десяти нечётных чисел всегда является нечётным числом. Это можно доказать, например, разбив слагаемые на пары: сумма чисел в каждой паре будет чётной, поэтому вся сумма тоже будет чётной.

Задача 32.

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки $+$" и $-$" так, чтобы в результате получился 0?
Нет, нельзя. Чётность результата не зависит от того, где мы будем ставить плюс'', а где минус''. Сумма всех чисел нёчетна (среди них 5 нечётных чисел, сумма которых нечётна и 5 чётных, сумма которых чётна), значит, ставя плюсы и минусы, мы можем получить только нечётное число. А 0, который надо получить,~-- число чётное.

То, что сумма чисел должна быть чётной, можно объяснить и несколько по-другому. Для того, чтобы получился 0, сумма чисел, перед которыми стоит плюс'' (считая самое первое число) должна быть равна сумме чисел, перед которыми стоит минус''.

Задача 37.

Мама послала Алешу в магазин за покупками, вручив ему кошелек с деньгами. Половину денег Алеша уплатил за молоко и сыр. Доехав за 3~р.\ на автобусе до магазина, половину оставшихся денег и еще 1~р.\ он уплатил за книгу. На половину того, что еще осталось, Алеша купил тетрадей. Выйдя из магазина, он купил мороженое за 4~р., оставив деньги лишь на обратный проезд на автобусе. Сколько денег мама дала Алеше?
Это простая задача на анализ с конца. Ответ: ((3+4) x 2+1) x 2+3=33 рубля.

Задача 39.

Микрокалькулятор позволяет делать с введённым в него числом две операции: умножать на 2 или переставлять его цифры. Можно ли получить из числа~1 число 68?
Анализ с конца с небольшим перебором. Число 68 можно получить только из чисел 86 и 34. Число 86 можно получить только из чисел 68 и 43. Число 43 можно получить только из числа 34. Число 34 можно получить только из чисел 17 и 43. Число 17 можно получить только из числа 71. Число 71 можно получить только из числа 17. Таким образом, любое число из набора (17, 34, 43, 68, 71, 86) можно получить только из другого числа этого набора.

Роман Семизаров
roma7@zaba.ru
http://zaba.ru
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу 		Рейтингуется SpyLog
В избранное